Автор: Пользователь скрыл имя, 06 Мая 2015 в 13:19, дипломная работа
Целью данной работы явилась необходимость представления решения математических задач в графическом виде. Очень часто решение задачи в графическом виде сложно представить на обыкновенном листе бумаги, и в тоже время это можно сделать с помощью компьютерных математических систем. В данной работе такая проблема решается с помощью компьютерной системы MathCAD. Выбор данной темы обоснован тем, что в настоящее время большинство пользователей испытывают огромные затруднения при работе с компьютерными математическими программами для решения математических задач.
X-Y Plot@ (декартов график) – создание шаблона двумерного графика декартовой системы координат;
Polar Plot (полярный график) – создание шаблона графика полярных координат;
3D Plot Wizard (мастер трехмерной графики) – запуск мастера для построения трехмерных графиков с заданными свойствами;
Surface Plot (график поверхности) – создание шаблона для построения трехмерного графика;
Contour Plot (контурный график) – создание шаблона для контурного графика трехмерной поверхности;
3D Scatter Plot (точечный график) – создание шаблона для графика в виде точек в трехмерном пространстве;
Vector Field Plot (векторное поле) – создание шаблона для графика векторного поля на плоскости;
3D Bar Chart (трехмерная гистограмма) – создание шаблона для изображения в виде совокупности столбиков в трехмерном пространстве.
Графики в системе Mathcad могут иметь различные размеры и перемещаться в окне редактирования документа. Для вывода шаблона двумерной графики в декартовой системе координат служит команда X-Y Plot или клавиша @. Она выводит в текущее положение курсора шаблон двумерного графика. Напоминанием, что это обычный график на плоскости с воображаемыми (или действительно нарисованными) осями X (горизонтальная) и Y (вертикальная), расположенными под прямым углом друг к другу.
Каждая точка графика в декартовой системе координат характеризуется своими координатами x и y = f(x). Точки соединяются друг с другом разнообразными линиями. Могут быть показаны исходные точки графика в виде жирных точек, квадратиков, кружков и т.д., возможны также построения на одном рисунке графиков нескольких функций.
Незаполненный шаблон графика представляет собой большой пустой прямоугольник с шаблонами ввода данных в виде темных маленьких прямоугольников, расположенных около осей абсцисс и ординат будущего графика. В них необходимо ввести выражения, задающие координаты точек графика по осям X и Y.
Если график уже построен, то при его выделении появляются крайние места ввода с автоматически введенными числами, которые служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, то есть задают масштаб графика. Масштаб графика можно задавать самостоятельно.
Для наиболее распространенных графиков в декартовой системе координат Mathcad предусматривает два способа построения графиков функций одной переменной f(x):
- упрощенный способ без задания ранжированной переменной x (пределы изменения x автоматически задаются от –10 до 10);
- обычный способ с заданием ранжированной переменной x.
Напомним, что для упрощенного построения двумерного графиков некоторой функции f(x) надо ввести выражение для правой части этой функции, отметить его курсором ввода (синим уголком) и затем вывести шаблон двумерного графика. Останется ввести x в место ввода горизонтальной оси и, отведя указатель мыши в сторону и щелкнув левой кнопкой, получить готовый график. Таким же образом можно строить на одном рисунке и графики нескольких функций – просто опишите их у вертикальной оси, используя запятые для разделения функций. Графики будут построены линиями разного типа и цвета.
При обычном способе построения графиков необходимо ввести саму функцию и интервал изменения ее аргумента ( например x). Впрочем, простые функции, если они в дальнейшем не используются, можно указать непосредственно в шаблоне графика. Далее надо приблизительно наметить место верхнего левого угла графика и установить на это место курсор. Затем следует выбрать соответствующую команду меню или нажать клавишу @.
Начинающие пользователи обычно задают
ранжированную переменную x целочисленной, например: x:= -15..15. При
этом они забывают, что в данном случае
график задается небольшим числом значений
x: -15,-14,-13,…,-1,0,1,2,3,…,14,
Чтобы построить график в автоматическом режиме вычислений, достаточно вывести указатель мыши за пределы графического объекта и щелкнуть левой кнопкой. При построении во время вычислений ординат функций область графика покрывается зеленной штриховкой, затем графики функций появляются в шаблоне.
Если что-либо в построенном графике не вполне удовлетворяет пользователя, можно применить описанные ниже операции изменения формата графиков. Эти операции позволяют изменять заданные по умолчанию параметры графиков. Заметим, что окно задания форматов графиков появляется, если дважды щелкнуть мышью на графике, либо щелкнуть один раз, если график выделен. Графики можно перемещать по полю окна документа и изменять их размеры.
Обширные возможности форматирования графиков дает окно форматирования, которое появляется, если дважды щелкнуть мышью на графике, либо один раз, если график выделен. Кроме того, ряд команд форматирования графиков имеется в контекстном меню. Оно появляется при щелчке на графике правой кнопкой мыши.
Допускается строить двумерные графики с параметрическим заданием функций по осям координат. При этом в местах ввода могут стоять произвольные функции одной переменной x. На рисунке показаны 4 графика наглядно иллюстрирующих, что, в сущности, двумерная графика – это графика с параметрическим заданием функции по осям координат. Два первых графика иллюстрируют эффект от перемены функций, заданных по осям X и Y. В результате функция синуса оказывается повернутой на угол 90°. На третьем графике показано построение параметрически заданной окружности по формулам R cos(x) и R sin(x), где R=0.8 – радиус окружности. На последнем графике показано построение спирали по формулам x·cos(x) и x·sin(x).
Все графики, представленные на рисунке, строятся после задания независимой переменной x как ранжированной. Однако можно и не задавать переменную x. В этом случае диапазон ее изменений автоматически устанавливается в интервале от –10 до 10.
Здесь можно применить и трассировку графиков.
Если щелкнуть в области графика правой кнопкой мыши, появляется контекстное меню. В нем есть интересная команда Trace(трассировка). Ее можно найти также в подменю Graph(график) меню Format(формат).
Эта команда выводит окно трассировки двумерных графиков. Трассировка начинает работать после выделения графика. При этом в окне графика появляется большое перекрытие из двух черных пунктирных линий. С помощью указателя мыши его можно перемещать по графику с дискретностью, определяемой заданным шагом изменения абсциссы x. При этом координаты текущей точки ближайшей кривой графика.
Кнопки Copy X и Copy Y позволяют занести соответствующие координаты текущей точки графика в буфер обмена. Кнопка Close завершает трассировку и закрывает окно трассировки.
Если установлен флажок Trace Data Point, то при трассировке указатель автоматически устанавливается на точку ближайшей кривой, отслеживая ее ход. При снятом флажке указатель может быть установлен в любую точку графика, при этом координаты этой точки отображаются в окне трассировки.
Просмотр участков двумерных графиков.
Некоторые графики представляют собой довольно любопытные кривые. Выбор в контекстном меню команды Zoom(масштаб) ведет к открытию диалогового окна, с помощью которого можно увеличить любой участок графика. Для того чтобы воспользоваться этим окном, надо предварительно выделить фрагмент графика функций.
При этом в окне просмотра отображаются минимальные и максимальные значения X и Y, определяющие область просмотра. Кнопки Zoom, Unzoom и Full View позволят увеличить выделенную часть графика, снять выделение и вернуться к просмотру всего графика.
В полярной системе координат каждая точка задается углом w и длиной его радиус-вектора R(w). График функции обычно строится при изменении угла w в определенных пределах, чаще всего от 0 до 2p. Команда Polar Plot(полярный график) выводит шаблон таких графиков. Этот шаблон имеет форму окружности и содержит места ввода данных.
Перед построением таких графиков надо задать приделы изменения ранжированной переменной w. После вывода шаблона следует ввести w в место ввода снизу и функцию R(w) в место ввода справа, а также указать нижний предел изменения длинны радиус-вектора R(w) – R min – в место ввода справа снизу и верхний предел – R max – в место ввода справа сверху.
Надо также отметить возможность прямого построения графиков функций в полярной системе координат без определения диапазона изменения независимой переменной x.
При прямом построении графика достаточно просто заполнить место ввода функции. Саму функцию надо описать ее уравнениями, которые вписываются в соответствующие место ввода. Можно также задать построение графика нескольких функций в одном шаблоне. Стоит щелкнуть мышью вне области графика, как последний будет построен.
В отношении графиков, построенных в полярной системе координат, также возможны их трассировка и просмотр выделенного фрагмента в увеличенном виде.
Большие возможности дает способ задания поверхностей – в параметрическом виде. При этом приходится формировать три матрицы X,Y и Z и указывать их в шаблоне в виде (X,Y,Z). Блок матриц надо указывать в скобках, поскольку в противном случае Mathcad попытается построить три поверхности по данным матриц X,Y и Z.
На рисунке показаны построенные таким способом сферы – одна при параметрах формирования, заданных по умолчанию, другая – после простого форматирования путем введения обрамляющего параллелепипеда, применения алгоритма удаления невидимых линий и использования функциональной окраски, зависящей от значений координаты x.
Подобный способ построения пространственных фигур открывает новые возможности для наглядной визуализации трехмерных объектов различной формы.
Параметрическая форма задания трехмерных фигур открывает еще одну возможность – представление объемных фигур с вырезом. Такие фигуры отличаются повышенной наглядностью, ибо в вырезе видна внутренняя поверхность фигур. Все, что надо для такого построения, - ограничить диапазон изменения параметрических углов, сделав его меньше обычного 2π.
Рекомендуется внимательно сравнивать представленные рисунки. Вся разница заключается в уменьшении диапазона изменения индекса j – на первом рисунке он меняется от 0 до N-4, а на втором – от 0 до N.
Mathcad 2000 обладает принципиально новой возможностью – допускается построение трехмерных графиков без задания матрицы аппликат поверхностей. В результате построение выполняется столь же просто, как и построение двумерных графиков.
Единственным недостатком такого упрощенного метода построения поверхностей является неопределенность в масштабировании, поэтому для получения приемлемого вида графиков требуется форматирование.
Описанный выше метод быстрого построения поверхности может иметь множество вариантов. Один из них – задание поверхности в векторной параметрической форме. Примером такого построения является фигура, напоминающая «бублик».
Обратите внимание на особую наглядность задания поверхности в такой форме с помощью единственной формулы и простоту построения графика. В данном случае не требуется никаких промежуточных операций для создания исходного графика. Вид графика можно улучшить, используя форматирование и поворот графика мышью.
Построение объемных фигур с помощью функции Polyhendron.
В Mathcad 2000 PRO появилась новая функция для построения объемных фигур полиэдров – Polyhendron(“name”), где name – имя фигуры. Имя ряда фигур можно задавать явно, например Polyhedron (“cube”) для куба, но можно задавать его и в виде “ # N ”, где N – номер фигуры. Рисунок иллюстрирует применение данной функции в месте ввода данных шаблона для построения графиков трехмерных поверхностей.
Построенная фигура может форматироваться, как и другие графики трехмерной поверхности, а также вращаться, приближаться и удаляться с помощью мыши.