Исследование линейной и нелинейной моделей планирования производства

2.1 Линейная  модель оптимального планирования  производства

Описание  задачи планирования

Рассмотрим  следующую экономическую ситуацию. Предприятие выпускает продукцию  n видов, потребляя ресурсы m видов. Предполагаются известными: матрица А норм потребления ресурсов (матрица имеет m строк и n столбцов); вектор В принадлежит R^m лимитов ресурсов (вектор имеет m строк);

 вектор Р коэффициентов дохода от реализации  продукции рассматриваемым предприятием (вектор имеет n столбцов). Требуется найти сбалансированный по ресурсам план выпуска продукции, дающей максимальный доход предприятию.

Основные  предположения при разработке модели

В данном случае предполагаются выполненными условия "линейной" экономики: затраты  ресурсов и прибыль предприятия  при выпуске продукции пропорционально  возрастают по каждому изделию в  отдельности; нормы расходов ресурсов и показатель прибыли по каждому  изделию не зависят от масштабов  производства в целом.

 Кроме  того, предполагается, что руководство  предприятия при планировании  номенклатуры выпускаемых изделий  и их объемов руководствуется  исключительно интересами получения  максимальной прибыли. Считаем,  что спрос на изделия неограничен,  а "портфель заказов" формируется  на основе оптимального плана.

Математическая  форма модели

Перейдем  к формированию условий модели планирования. Пусть неотрицательный вектор x принадлежит R в степени n - план предприятия, тогда ограничение по ресурсам записывается в виде:

А*х<=В,           (2.1)

Условие не отрицательности компонентов плана  имеет вид:

x>=0,           (2.2)

Записываем  целевую функцию задачи планирования. Условие максимизации прибыли примет вид:

z = Р*х ->  max.          (2.3)

Задачи с  условиями типа (2.1)-(2.3) называются  задачами производственного планирования. В общем случае они записываются c помощью задач выпуклого программирования. В данном случае (2.1)-(2.3) является задачей линейного программирования.

Числовые  значения параметров модели

Во всех вариантах задачи планирования выбраны: число n равное 8 и число m равное 10. Числовые данные каждого варианта отличаются целевой функцией, матрицей ограничений и значением вектора лимитированных ресурсов. Соответствующие данные приведены в таблицах 1-3

Таблица 1

3,82

3,66

6,00

4,97

2,94

6,29

3,99

4,73

 

Задание матрицы норм потребления  ресурсов.

 Таблица 2

0,53	0,55	0,63	0,76	0,61	0,74	0,67	0,75
0,58	0,66	0,75	0,76	0,58	0,64	0,68	0,65
0,77	0,79	0,53	0,54	0,67	0,55	0,74	0,6
0,66	0,63	0,57	0,55	0,52	0,55	0,54	0,51
0,73	0,74	0,62	0,62	0,69	0,61	0,74	0,63
0,64	0,78	0,68	0,7	0,72	0,8	0,58	0,64
0,67	0,8	0,61	0,72	0,76	0,58	0,66	0,75
0,66	0,77	0,53	0,55	0,59	0,74	0,7	0,62
0,57	0,64	0,58	0,76	0,54	0,64	0,53	0,54
0,56	0,78	0,5	0,7	0,68	0,76	0,57	0,56

 

 

 

 

 

Задание вектора лимита ресурсов.

 Таблица 3

160

154

165

153

162

165

156

157

159

155

 

После того как данные будут введены в  таблицу, следующим шагом будет  введение вектора x (плана предприятия), т.к. мы еще не знаем оптимального вектора выпуска, заполним его, к примеру, цифрами 10, (т.е. первоначально планируется выпускать по 10 единиц каждого товара) далее следует найти вектор R=A₁₁·x₁+A₁₂·x₁+..+A_nm·x_n для того чтобы в последующем использовать его при вводе ограничений. После этого надо посчитать прибыль, которая получается при первоначальном плане, по формуле Z=P₁·x₁+P₂·x₂+..+P_n·x_n. Затем посредством функции «Поиск решения», в которой для начала необходимо указать какое значение мы хотим максимизировать (в данном случае это значение переменной Z), а также ввести ограничения: 1) R₁<В₁, R₂<B₂,…,R_m<B_m       2) вектор x> 0 посчитать оптимальный план выпуска, дающий максимальную прибыль.

Вектор x в данном примере имеет следующие значения:

Показатели  прибыли имеют следующие значения:

 

0
0
106,7961
0
0
115,4733
0
0

 

Максимальная  прибыль равна 1367,104 ед.

 

 

 

Результаты исследования модели на чувствительность

Проведем исследование модели на чувствительность. Для этого необходимо после запуска задачи на решение в окне "Результаты поиска решения" выделить два типа отчетов: "Результаты" и "Устойчивость".

Отчет по результатам  состоит из трех таблиц:

1) таблица  1 содержит информацию о целевой  функции;

2) таблица  2 содержит информацию о значениях  переменных, полученных в результате  решения задачи;

3) таблица  3 показывает результаты оптимального  решения для ограничений и  для граничных условий. (см. Приложение 1)

Если ресурс используется полностью (то есть ресурс дефицитный), то в графе "Статус" ("Состояние") соответствующее ограничение указывается как "связанное"; при неполном использовании ресурса (то есть ресурс недефицитный) в этой графе указывается "не связан". В графе "Значение" приведены величины использованного ресурса.

Для граничных  условий в графе "Разница" показана разность между значением переменной в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием. Так, если на ресурс наложено ограничение типа ≥, то в графе "Разница" дается количество ресурса, на которое была превышена минимально необходимая норма. Если на ресурс наложено ограничение типа ≤, то в графе "Разница" дается количество ресурса, которое не используется при реализации оптимального решения.

2.2 Нелинейная модель оптимального распределения ресурсов

Описание  задачи распределения ресурсов

Задача  распределения ресурсов рассматривается  для 10 предприятий. Центр осуществляет управление этими промышленными  предприятиями, выпускающими однотипную продукцию. Обозначим через Рi объем продукции, выпускаемой предприятием i, i=1,2,...,10. Результат функционирования центра определяется результатами функционирования отдельных производителей, т.к. центр сам не производит продукции.

Считаем, что  величина продукции, произведенной  i-ым предприятием, определяется объемом фондов Fi и количеством рабочей силы Li, согласно производственной функции Кобба-Дугласа:

Pi=di ·(Fi)ki ·(Li)1-ki,   где i=1,..,10              (2.4)

В выражении (2.4) di и ki характеристики предприятия i (i=1,.. .,10) удовлетворяющие условиям: di > 0 и 1< ki<0, i=1,...,10..

Пусть wi - ставка заработной платы на предприятии i. Тогда доля дохода предприятия i в общей сумме прибыли объединения определится так:

Gi =ci ·Pi - wi · Li,   i=1,. . .,10.   Если  величина  фондов   предприятия фиксирована, то объем продукции Pi однозначно определяется количеством рабочей силы Li.

Центр влияет на работу предприятий распределением дополнительного ресурса, который  полностью находиться в его распоряжении. Если предприятие i получит дополнительный ресурс в количестве Vi, то оно сможет произвести продукцию в объеме

Pi=di· (Fi+Vi)ki · (Li)1-ki,         i=1,2,...,10                      (2.5)

Задача центра состоит в распределении имеющегося в его распоряжении ресурса В, т. е. в определении оптимальных значений величин Vi, i=1,2,...,10, обеспечивающих максимум суммарной прибыли объединения в целом.

Математическая  форма модели

В данной задаче считаем, что используется схема  централизованного планирования, в  рамках которой центр рассчитывает оптимальное распределение ресурсов, оптимальные величины рабочей силы при заданных параметрах модели. Конкретно  центр изменяет Vi и Li, i = 1,2...,10, из условий:

z = max (G1 + G2 +... + Gn)                       (2.6) 
         V1+V2+,...+Vп    В                                     (2.7) 
        Vi Vimin, Li,         i=1,...,10                 (2.8)

Числовые  значения параметров модели

В задаче оптимального распределения ресурсов выбрано число предприятий равное 10 и объем распределяемого ресурса 100единиц.

Данные  параметров c_i и w_i  , значение параметров d_i и k_i, а также параметры F_i и V_i min для каждого предприятия приведены в следующих таблицах:

Таблица 4 Параметры ci и wi целевой функции (6) ( i - индекс предприятия)

сi	1,10	0,90	1,20	0,90	1,00	1,10	0,90	0,90	0,80	1,20
wi	12,70	14,20	12,50	12,20	10,10	13,30	13,70	10,10	11,30	13,6

 

Таблица 5 Параметры di и ki производственной функции (5)

di	10,7	17,8	13,7	11,9	15,9	11,7	10,3	12,8	11,1	15,5
ki	0,717	0,643	0,447	0,72	0,493	0,434	0,408	0,742	0,38	0,64

 

Таблица 6 Параметры Fi и Vi min целевой функции (6) (i - индекс предприятия)

Fi	83	79,22	85,5	83,1	50,1	53	77,5	76,4	82,8	96,8
Vi min	5,41	6,64	7,12	7,56	9,32	6,01	6,04	9,22	7,28	7,98

 

После того, как данные будут введены в  таблицу, следующим шагом будет  введение величин V_i и L_i (значений объема  ресурса и рабочей силы), т.к. мы еще не знаем оптимального объема  ресурса и рабочей силы заполним их, к примеру, цифрами 10, далее следует найти величины P_i и G_i (значений объемов выпускаемой продукции и доли дохода) по формулам: