Численное моделирование и анализ переходных процессов в электрической цепи

Нижегородский государственный технический университет

 

 

 

 

Кафедра: «Прикладная  математика»

 

 

 

 

 

Дисциплина: «Информатика»

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

 

Тема: “Численное моделирование и анализ переходных процессов

в электрической  цепи”.

 

 

Вариант № 3

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:                                                           Ст. гр. 10-ТЭП   Ильина О.С                  Проверил:                                                        ОсипенкоН.Н.

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 г. Нижний  Новгород

2011 г. 
Содержание.

1. Введение……………………………………………………………………….….…..3
2. Постановка задачи. ........................................................................................................3
3. Условие задания. ...........................................................................................................4

4.  Вывод системы дифференциальных уравнений………………………………….....5

5.  Описание методов численного решения задачи Коши и методов численного       интегрирования ………………………………………………………………………......6

6.  Моделирование переходных процессов в электрической цепи.. ..............................8

6.1. Блок–схема алгоритма для создания программы в Pascal. ................................8

6.2. Программа и результаты численного моделирования переходных процессов в Pascal ( 2-ая модификация метода Эйлера).............................................................9

6.3. Печать результатов…………………………………………...……….………...10

       Графики зависимости по результатам решения в Pascal……………………..11

6.4. Программа и результаты численного и графического моделирования переходных процессов в пакете MathCAD (метод Рунге–Кутта ). .........................12

6.5. Программа и результаты численного и графического моделирования         переходных процессов в пакете MathCAD (2-ая модификация метода Эйлера)...14

         6.6. Анализ полученных результатов.........................................................................16

7. Решение задачи аппроксимации зависимости I(t) на интервале 0≤ t≤ 0,006…......16

    7.1. Реализация в EXCEL.............................................................................................17

             Кусочная аппроксимация с помощью ф-ции Поиск решения………………..18

     7.2. Реализация в MathCAD.........................................................................................19

    7.3. Анализ полученных результатов.........................................................................22

   8. Расчет количества теплоты, выделившейся на резисторе R4..................................23

      8.1. Реализация в пакете MathCAD............................................................................23

        8.1.1. Реализация в пакете Excel……………………………………………………..26

8.2. Реализация на алгоритмическом языке с иллюстрацией блок-схемы (методом       трапеций, левых и правых прямоугольников)…………..……….............................30

       8.2.1. Программа в Pascal: расчёт теплоты.................................................................32

   8.2.2. Блок-схема (метод Cимпсона) ........................................................................33

      8.2.3. Программа в Pascal(метод Симпсона)............................................................34

     9. Заключение...................................................................................................................35

10. Список литературы.....................................................................................................36

 

 

 

 

 

 

I. Введение.

Существенным элементом  высоких информационных технологий является моделирование и автоматизация обработки данных в различных сферах деятельности как авиации, космической промышленности и т.д. Модель – это подобие реальности, которая с разной точностью отображает картину происходящего. Эффективным средством моделирования является микропроцессорная техника, компьютер и соответствующее программное обеспечение. С помощью программных моделей, проектируемых  объектов  можно определить  основные показатели, характеристики объектов с целью последующего анализа и генерации. Эффективность компьютерного моделирования на этапе проектирования электрической цепи является возможностью  проанализировать характеристики для различных вариантов модификации проектируемого объекта. Задачи, возникающие при изменении различных параметров цепи, сводится к математическому расчету. Попытка учесть в физической модели различных особенности, нюансы, приводит к более сложным математическим моделям, решение которых аналитически невозможны или громоздко и поэтому используют численные методы.

Используя знания дисциплины “Информатика”, предстоит рассчитать электрическую цепь и проанализировать все физические процессы, происходящие при замене элементов на другие.

II. Постановка  задачи.

Дана схема электрической  цепи, содержащая источник переменного  тока, катушку индуктивности, конденсатор, набор резисторов и ключ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Параметры элементов цепи:

- гармонический источник тока; E₀=15В – амплитуда колебаний; - циклическая частота; - линейная частота; - фаза; - текущее время; =30ом, =25ом, =50ом, =1,88ом, =15ом, =50ом – резисторы; L=5,57мГн– катушка индуктивности; С=20мкФ – конденсатор. Параметры задаются по вариантам.

В начальный момент времени t=t₀=0 ключ находится в положении 1. При этом цепь разомкнута, напряжение на конденсаторе и ток на катушке равны нулю (U=0, I=0). Происходит первое переключение ключа (ключ мгновенно переводится в положение 2). При этом происходит заряд конденсатора, меняются значения U и I.

В момент времени t=t₁=0,001с ключ мгновенно переключается в положение 1. Конденсатор разряжается, вновь меняются значения U и I. Анализ схемы заканчивается в момент t=t₂=0,007 с.

III. Условия задания

 

1. Численная реализация систем дифференциальных уравнений (2) и (3):

• в пакете MathCad, используя алгоритм модифицированного метода Эйлера и метод Рунге-Кутта;

• алгоритмическим методом с построением блок-схемы (на языке высокого уровня Pascal);
• анализ результатов. На выходе первого этапа должен быть файл данных содержащий дискретные зависимости от времени величин I, U. Шаг дискретизации должен быть таким, чтобы обеспечить не менее 40 значений величин I и U.

2. Решение задачи аппроксимации зависимости тока от времени

• используя пакет Excel и его возможности (поиск решения, мастер диаграмм с выводом уравнения линии тренда);
• в пакете MathCad, используя алгоритм метода наименьших квадратов;
• анализ полученных результатов с точки зрения аналитической формулы для величины I(t).

3. Численное интегрирование. Необходимо определить количество теплоты, выделяемой на резисторе R₄ за период времени Т₁≤t≤T₂ . Это можно сделать взяв интеграл

    

      где зависимость I(t) берётся по результатам предыдущего этапа.

• алгоритмически с построением блок-схемы и программы на базе методов интегрирования (два метода);
• в MathCad;
• сравнение результатов с оценкой полученных ошибок.

4. Заключение.

5. Список литературы.

                           IV. Вывод системы дифференциальных уравнений.

В соответствии с рисунком запишем  выражения для 1-го и 2-го законов  Кирхгофа для положения ключа 1:

 

 

 

(1)

Систему (1) можно преобразовать, исключив токи I1 и I2. Тогда для величин I и U получим систему дифференциальных уравнений первого порядка:

 

 

(2)

Аналогично может быть получена система дифференциальных уравнений для величин  I и U при  положении ключа 2. В этом случае имеем:

 

  (3)

В интервале t₀ ≤ t ≤ t₁ решается система (3) с начальными условиями I(t₀)=0; U(t₀)=0. В интервале t₁ ≤ t ≤ t₂ решается система (2).В качестве начальных условий для системы (2) I(t1), U(t1) следует использовать соответствующие значения, полученные в результате решения системы (3).

V. Описание  методов численного решения задачи  Коши и методов численного  интегрирования .

 

Решение задачи Коши.

2-ая  модификация метода Эйлера: Основная идея численных методов для задачи Коши состоит в поочередном вычислении ординат по мере нарастания аргумента искомой функции. Каждое последующее значение искомой функции вычисляется через предыдущее. В основе всех методов лежит метод Эйлера – простой. Возьмем точку x=x₀ и разложим искомую функцию в ряд Тейлора:

Положим  x=x₁, чтобы найти y₁:

Пренебрегая слагаемыми начиная со второго  порядка малости, получаем итерационные формулы для  метода Эйлера–простого:

2-ая модификация метода  Эйлера является модификацией данного метода и имеет следующие итерационные формулы:

 

    Метод Рунге-Кутта:

Данный метод является обобщением методов Эйлера и Эйлера с центрированием

Методы численного интегрирования.

Метод левых  прямоугольников.

Метод основан на кусочно–постоянной интерполяции, такой, что на каждом i–ом частичном интервале значение подынтегральной функции заменяется константой равной значению функции на правой границе i–ого частичного интервала.

Составная формула для  вычисления интеграла по методу правых прямоугольников имеет вид:

 

Метод парабол (Симпсона).

Метод основан на интерполяции подынтегральной функции y=f(x) парабол на паре соседних частичных интервалов [x_i-1;x_i],[x_i;x_i+1],  т.е. интерполяционный полином второй степени .

Тогда оказывается, что  частичный интеграл для интерполяционного  полинома вычисляется по формуле:

.

Выбирая число частичных  интервалов n четным, получим суммированием составную формулу для приближенного вычисления всего интервала методом парабол:

 

 

 

 

  

 

 

             

 

 

VI. Моделирование переходных процессов в электрической цепи.

6.1. Блок–схема алгоритма для создания программы в Turbo Pascal.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.2. Программа на алгоритмическом языке Pascal (модифицированный метод Эйлера)

Program Eiler;

 const

t0=0;

t1=0.001;

t2=0.007;

R1=30; R2=25; R3=50; R4=1.88; R5=15; R6=50;

pi=3.141592653589;

L=0.00557; C=0.00002; E0=15;

f=50; w=2*pi*f; fi =5; n=200;

 var

h :real;

ft:text;

t :array[0..n] of real;

i :array[0..n] of real;

u :array[0..n] of real;

k :integer;

FUNCTION e1(t:real):real;

 begin

if t<t1 then e1:=e0+e0*SIN(w*t+fi)

else e1:=0;

 end;

FUNCTION f1(t,i,u:real) :real;

 begin

f1:=(e1(t)*(R2/(R1+R2))-i*(R3*((R5+R6)/(R3+R5+R6))+R4+(R1*R2)/(R1+R2))-u*((R5+R6)/(R3+R5+R6)))/L;

 end;

FUNCTION f2(i,u:real):real;

begin

f2:=(i*((R5+R6)/(R3+R5+R6))-u/(R3+R5+R6))/c;

end;

  BEGIN

assign(ft,'D:\1.txt');

rewrite(ft);

i[0]:=0;

u[0]:=0;

t[0]:=0;

h:=(t2-t0)/n;

writeln(ft,'   t       I       U');

for k:=0 to n-1 do

begin

t[k+1]:=t[k]+h;

i[k+1]:=i[k]+(h/2)*(f1(t[k],i[k],u[k])+f1(t[k]+h,i[k]+h*f1(t[k],i[k],u[k]),u[k]+h*f2(i[k],u[k])));

u[k+1]:=u[k]+(h/2)*(f2(i[k],u[k])+f2(i[k]+h*f1(t[k],i[k],u[k]),u[k]+h*f2(i[k],u[k])));

end;

k:=0;

repeat

writeln(t[k] :3:4,'    ',i[k]:3:5,'    ',u[k]:3:5);

writeln(ft,t[k] :3:4,'    ',i[k]:3:10,'    ',u[k]:3:10);

k:=k+5;

until k>n;

readln;

  close(ft);

  END.

6.3. Печать результатов

 

t                     I                             U

0.0000    0.00000    0.00000

0.0002    0.00587    0.01614

0.0004    0.00928    0.05157