операцияларын тұжырымдар алгебрасында сияқты анықтаймыз. Тұжырымдар есептелімінің формулалары тұжырымдар алгебрасының ережелері бойынша есептелетін 1 немесе 0 мәндерінің біреуін ғана қабылдайды.

   Тұжырымдар  есептелімі формуласының мәні түсінігін  енгіземіз. А – тұжырымдар есептелімінің формуласы, х₁,х₂,…,х_n – өзара әртүрлі А формуласына енетін айнымалылар болсын. а₁, а₂,…,а_n арқылы бұл айнымалыларының мәндер тобын белгілейміз. (а₁, а₂,…,а_n) векторы 2ⁿ мән қабылдайтыны айқын.

   Келесі  үш теорема орынды.

   Теорема 1. Әрбір тұжырымдар есептелімінде дәлелденетін формула тұжырымдар алгебрасында тепе-тең ақиқат болады.

   Теорема 2. (шығарылу туралы). А – тұжырымдар есептелімінің қандай да бір формуласы болсын; х₁,х₂,…,х_n  – А формулаға енетін айнымалылардың тобы; а₁, а₂, …, а_n – бұл айнымалылар мәндерінің кез келген бекітілген тобы. Н арқылы формулалардың ақырлы жиынынын белгілейміз:

, где 

Онда:

1. Егер R_a1,a2,..,an(A)=1 болса, онда H├A .
2. Егер R_a1,a2,..,an(A)=0 болса, онда H├ , мұнда R_a1,a2,..,an(A) – А формуланың а₁, а₂,…,а_n топтағы мәні.

 

Теорема 3. Тұжырымдар алгебрасының әрбір тепе-тең ақиқат формуласы тұжырымдар есептелімінде дәлелденетін формула болады. 

      Тақырып бойынша тесттер

 

1. формуланың рангін табыңыз

7

6

5

4 

2. формуланың рангін табыңыз

 8

6

7

5 

_{3. Дұрыс құрылған формуланы көрсетіңіз:}

 

 

 

4. Келтірілген өрнектердің қайсысы формула болады?

Барлық жауаптар дұрыс

 

5. формула үшін алмастыру нәтижесін жазыңыз

 

6. формула үшін алмастыру нәтижесін жазыңыз

 

Глава 3. предикаттар логикасы

   3.1 Предикат ұғымы

 

   Анықтама  1. x₁, x₂, …, x_n – пәндік айнымалылардың символдары болсын. Пәндік айнымалылардың (x₁, x₂, …, x_n) топтары пәндік аймақ деп аталатын W жиыныны тиісті болсын. W пәндік аймағында анықталған n-орынды предикат деп,  W-ның тұжырымдар жиынына бейнелеуін айтады.

   Мысалдарды  қарастырар алдын n-орынды предикаттарға  квазианықтама берейік:

   Анықтама. «n  айнымалыға тәуелді және келесі қасиетке ие болған баяндамалы байланысты сөйлемі: айнымалылардың орнына анық мәндер қойылғанда ақиқат немесе жалған болсын».

   Мысал 1. D(x₁, x₂) = «x₁ натурал саны x₂ натурал санына бөлінеді (қалдықсыз)» - N N жиынында анықталған екі орынды предикат. Түсінікті, D(4, 2)=1, D(3, 5)=0.

   Мысал 2. Q(x) = «х₂<-1, x R» - R нақты сандар жиынында анықталған бір орынды предикат. Q(-1)=0, Q( )=0. Q(x) – тепе-тең жалған екендігі түсінікті, яғни Q(x) 0.

   Мысал 3. R(x, y, z)= «x²+ y² z; x, y, z R» - R³ жиынында анықталған үш орынды предикат. R(1, 1, -2)=0, R(1, 1, 2)=1.

   Мысал 4. S(x, y) = «sin2ху>-3; x, y R» - екі орынды тепе-тең ақиқат предикат.

   Р(x₁, x₂, …, x_n) - W аймағында анықталған n-орынды предикат болсын_{. Онымен келесі түрде анықталған екі жиынды байланыстырамыз:}

   _IP={( x₁, x₂, …, x_n )Î W _{| Р(}x₁, x₂, …, x_{n)=1} – Р предикаттың ақиқаттық жиыны,}

   _LP={( x₁, x₂, …, x_n)Î W _{| Р(}x₁, x₂, …, x_{n)=0} – Р предикаттың жалғандық жиыны.}

   _{Анықтама  2. Р –} W-да анықталған предикат болсын. Егер _IP=W _{(LP=Æ) болса, онда Р тепе-тең ақиқат, егер LP=}W _{(IP=Æ) болса, онда Р тепе-тең жалған предикат деп аталады.}

   _{Егер  IP ¹} W _{және LP ¹ Æ болса, онда Р орындалатын предикат деп айтамыз.}

    R³ кеңістікте 3 мысалдағы      R(x, y, z) предикаттың  _{IP  және LP жиындарын көрсетейік (1 сурет)}.                                                         

                                                                     z                        I_P 
 
 

1 сурет

                                

                                                                                           у

                                                х                                                                   

      3.2 Предикаттарға логикалық амалдарды қолдану

 

   Анықтама  3. _{Р –} W-да анықталған предикат болсын. Р предикаттың терістеуі дегеніміз _{белгіленетін және} W-да _{келесі түрде анықталған предикат:}

         

   P және Q – W-да анықталған предикаттар болсын_.

   P және Q _{предикаттардың дизъюнкциясы (конъюнкциясы, импликациясы, эквиваленциясы) дегеніміз былай белгіленетін , ( ( , , PQ), , ) және -да келесі түрде анықталатын предикат:}

   

   ( )

   ( )

   ( ) 

   Анықтама  4. Егер _{аймағына тиісті кез келген (} x₁, x₂, …, x_n ) пәндік айнымалылардың топтары үшін _Р( x₁, x₂, …, x_n ) _Q( x₁, x₂, …, x_n ) болса, онда P және Q предикаттар _{аймағында анықталған пара-пар предикаттар деп аталады (P Q).} 

   Теорема 1. _{аймағында анықталған} n – орынды предикаттардың жиыны предикаттардың бульдік алгебрасық құрайды, яғни олар үшін бульдік алгебраның келесі 19 негізгі тепе-теңдіктер орынды_: 

   _{Мұнда 1 – -дағы тепе-тең ақиқат предикаттың, ал 0 – тепе-тең жалған предикаттың белгілері.}

   Бұл теореманың дұрыстығы айқын. Өйткені предикаттарға қолданылатын амалдар тұжырымдарға қолданылатын амалдар көмегімен енгізілген, ал тұжырымдар бульдік алгебраны құрайды.

      3.3 Кванторлық амалдар

 

   Предикаттарды тұжырымдарға түрлендіретін амалдарды  қарастырайық. М жиынында анықталған Р(х) предикат берілсін. Егер “а” – М жиынының қандай да бір элементі болса, онда Р(х) предикатта х орнына а ны қою берілген  предикатты Р(а) тұжырымға айналдырады. Мұндай предикатты бірлік деп атайды. Мысалы, Р(x): “х – жұп сан” – предикат, ал Р(6) – ақиқат тұжырым, Р(3) – жалған тұжырым.

   Жоғарыда  айтылғанды n – орынды предикаттарға жалпылау мүмкін: егер барлық х_i, i= , пәндік айнымалылардың орнына олардың мәндері қойылса, онда тұжырым алынады.

   Квантификация амалдарын қарастырамыз. Бұл амалдардар да предикаттарды тұжырымдарға айналдырады.  

   Жалпылау  кванторы 

   Р(х) – W жиынында анықталған предикат болсын. Бұл предикатқа предикат тепе-тең ақиқат болғанда ғана ақиқат болатын тұжырымын сәйкестікке қоямыз. тұжырымы былай оқылады: “Кез келген х үшін Р(х) ақиқат ”. тұжырымы Р(х) предикатқа х айнымалы бойынша жалпылау кванторын ілу көмегімен алынған деп айтады.

     символын жалпылау кванторы деп атайды. Р(х) предикатқа х айнымалы бос болып, ал тұжырымға – х жалпылау кванторымен байланған болып енеді деп айтады.  

   Бар болу кванторы 

   P(x) –  W жиынында анықталған предикат болсын. Бұл предикатқа предикат тепе-тең жалған болғанда ғана жалған болатын тұжырымын сәйкестікке қоямыз. тұжырымы былай оқылады:“ P(x) ақиқат болатын х табылады”. символын бар болу (табылу) кванторы деп аиаймыз. тұжырымы Р(х) предикатқа х айнымалы бойынша бар болу кванторын ілу көмегімен алынған деп айтады. х айнымалы бұл квантормен байланған болады.

   Кванторлық амалдарды көп орынды предикаттарға да қолдануға болады. Мысалы, W жиынында екі орынды P(x,y) предикаты берілсін. Предикаттың айнымалыларына кванторларды іліп, мынадай тұжырымдарды алуға болады:

   

    3.4  Предикаттар логикасының формуласының ұғымы

 

Предикаттар логикасында келесі символдарды пайдаланамыз: