├А____  .

├

   Бұл жазылу былай оқылады: “Егер А формуласы шығарылатын (дәлелденетін) болса, онда формуласы да шығарылатын (дәлелденетін) болады.

2 Қорытындылау ережесі (ҚЕ).

   Егер  А және А→В формулалары тұжырымдар есептелімінде шығарылатын (дәлелденетін) болса, онда В формуласы да шығарылатын (дәлелденетін) болады. Бұл ереженің схематикалық жазылуы мынадай болады:

├А;├А→В                            (Modus ponens)

                                      ├В

Бұл ереженің дұрыстығы  айқын: егер импликация мен  шарт ақиқат болса, онда импликациядағы қорытынды тек ақиқат болуы мүмкін.

_{2.5  Дәлелденетін формуланың анықтамасы}

 

а) Әрбір аксиома дәлелденетін формула болады.

б) Кез келген В формуласынан х айнымалының орнына алмастыруды қолдану нәтижесінде алынған формула – дәлелденетін формула.

в) А  және дәлелденетін формулаларға   қорытындылау ережесін қолдану нәтижесінде алынған В формуласы – дәлелденетін формула болады.

г) Тұжырымдар есептелімінің ешқандай басқа формуласы дәледенетін болып саналмайды.

   Дәлелденетін  формулаларды шығару процесін формулалардың дәлелдеуі (шығаруы) деп атаймыз. Бұл бір дәлелденетін формуладан әр қадамда аксиомаларды, алмастыру және қорытындылау ережелерін қолдану көмегімен басқа дәлелденетін формулаға өту процесі (белгілі мағынада логика алгебрасындағы тепе-тең түрлендірулердің аналогі), сондықтан қарапайым формуланың шығаруы да көпқадамды, күрделі болуы мүмкін.

_{2.6 Туынды шығару  ережелері}

 
 

Күрделі алмастыру ережесі (КАЕ) 

   Туынды  шығару ережелері, қарастырылған шығару ережелері сияқты, жаңа дәлелденетін формулаларды алуға мүмкіндік береді. Бұл ережелер алмастыру және қорытындылау ережелері көмегімен алынған, сондықтан, олар туынды ережелер деп аталады.

   А – дәлелденетін формула, – айнымалылар, ал – тұжырымдар есептелімінің кез келген формулалары болсын. Онда А формулада айнымалыларын формулаларға алмастыру нәтижесі дәлелденетін формула болады.

КАЕ схематикалық түрде былай жазылады:

├А______

├

Күрделі қорытындылау ережесі 

   Қорытындылау  ережесін де жалпылау мүмкін. Жалпылау нәтижесінде алынған туынды ереже

түрдегі формулаларға қолданылады да былай анықталады:

егер      және   формулалар дәлелденетін болса, онда L формуласы да дәлелденетін формула.  

Күрделі қорытындылау ережесі былай жазылады:

├А₁, ├А₂, …,├А_n, ├A₁→(A₂→(A₃→(...(A_n→L) …))) .

├ L 

Силлогизм ережесі 

   Егер  А→В және В→С формулалары дәлелденетін болса, онда А→С формуласы да дәлелденеді, яғни

├А→В,├В→С .

├А→С 

Контрапозиция ережесі 

   Егер  А→В формуласы дәлелденетін болса, онда формула да дәлелденеді, яғни

├ А →В .

├

   Бұл ереженің мысалында тұжырымдар есептелімінде мұндай тұжырымдардың дәлелдеу жолын көрсетеміз. алмастыруын орындап,

                   ├(А→В)→├(

)                  (1)

дәлелденетін  формуланы аламыз.

Ал шарт бойынша 

                            ├А→В                                                             (2)

– дәлелденетін формула.     

Онда (2) және (1) формулаларынан қорытындылау ережесі бойынша ├ . 

Екі еселі терістеу ережесі 

   а) Егер формуласы дәлелденетін болса, онда формуласы да дәлелденетін.

   б) Егер формуласы дәлелденетін болса, онда формуласы да дәлелденетін.

   Схематикалық жазылулары:      ├ А →     және      ├ →В

                                                         ├                     ├      . 

      2.7 Формулаларды гипотезалардан қорытып шығару

 

   Формулалардың Н={А₁,А₂,…,А_n} ақырлы жиынын қарастырамыз.

   Н жиынынан шығарылатын формула анықтамасы.

   1) A_iÎH формуласы Н-тан шығарылатын формула деп аталады.

   2) Әрбір дәлелденетін формула Н-тан шығарылатын болады.

   3) Егер С және С→В формулалар Н-тан шығарылатын болса, онда В формуласы да Н-тан шығарылатын болады.

   Егер кейбір В формуласы формулалардың Н жиынынан шығарылатын болса, онда бұл былай жазылады: Н├В.

   Н жиыны бос немесе тек дәлелденетін формулалардан тұратын жағдайда Н жиынынан шығарылатын формулалардың класы дәлелденетін формулалардың класымен сәйкес келеді.

   Егер де Н жиынында кем дегенде бір дәлелденбейтін формула болса, онда Н-тан шығарылатын формулардың класы дәлелденетін формулалар класынан кең болады.

   Мысал.

     Формулалардың Н={А, В} жиынынан формуласы шығатынын дәлелдеу керек.

     AÎH және BÎH болғандықтан, дәлелденетін формуланың анықтамасы бойынша

       Н├А,                                   (1) 

       Н├В.               (2)

      және аксиомаларды алып, және алмастыруларды орындаймыз.

     Нәтижесінде Н-тан шығарылатын дәлелденетін формулаларды аламыз, яғни

     Н├(А→А)→((А→В)→(А )),                   (3)

     Н├В→(А→В),             (4)

   А→А формуласы дәлелденетін, онда Н├А→А.                (5)

    (5) және (3) формулалардан қорытындылау ережесі бойынша                                                          Н├(А→В)→(А ))            (6)

алынады.

    (2) және (4) формулалардан қорытындылау ережесі бойынша: 

              Н├А→В .              (7)

   (7) және (6) формулалардан қорытындылау ережесі бойынша:               Н├А .                               (8)

   Соңында (1) және (8) формулалардан

                      Н├             (9)

алынады.

   Формуланың  шығарылатынын дәлелдеуде тек қана қорытындылау ережесін емес, күрделі  қорытындылау ережесін пайдалануға мүмкін екендігі түсінікті. Онда бұл ережені пайдаланып, (9) тұжырымды (5), (7), (1) және (3) тұжырымдардан алуға болады.

   Анықтама. Формулалардың Н ақырлы жиынынан шығаруы деп әрбір мүшесі келесі шарттарды қанағаттандыратын формулалардың В₁,В₂,…,В_к тізбегін айтамыз:

1) ол Н жиынының бір формуласы болады,

2) ол дәлелденетін формула болады,

3) ол В₁,В₂,…,В_к тізбегінің алдынғы кез келген екі мүшесінен қорытындылау ережесі бойынша шығады.

   Алдынғы мысалда көрсеткеніміздей, формулалардың  Н={А,В} жиынынан шығаруы формулалардың келесі ақырлы тізбегі болады:

   А, В, (А→А)→((А→В)→(А )), (А→В), А→А, (А→В)→(А )), А→В, А , . (1,2,3,7,5,6,8 формулалар).

   Егер күрделі қорытындылау ережесін пайдалансақ, онда шығаруды былай жазуға болады:

     А, В, (А→А)→((А→В)→(А )), В→(А→В), А→А, А→В, . (5, 7, 1, 3 формулалар).

   Шығарылатын формула анықтамасынан және формулалар жиынынан шығару анықтамасынан шығарудың келесі қасиеттері келіп шығады:

1) Н жиынынан шығарудың әрбір бастапқы кесіндісі – Н-тан шығару болады.

2) Егер Н тан шығарудың екі көршілес мүшелерінің арасында (басында немесе соңында) кейбір Н тан шығаруді қойсақ, онда формулалардың алынған жаңа тізбегі Н тан шығару болады.

3) Н жиынынан шығарудың әрбір мүшесі Н тан шығарылатын формула болады. Н тан кез келген шығару оның соңғы формуласының шығаруы болады.

4) Егер болса, онда Н тан кез келген шығару W дан шығару болады.

       5) В формуласы Н жиынынан шығарылатын болуы үшін бұл формуланың Н тан шығаруы бар болуы қажетті және жеткілікті.

      2.8  Шығарылу ережелері

 

    Бұл ережелер шығарудың қасиеттерінен  алмастыру және қорытындылау ережелерін қолдану арқылы тікелей келіп  шығады.

   Н және W – тұжырымдар есептелімі формулаларының екі тобы болсын.

Н, W арқылы олардың бірігуін белгілейміз, яғни Н,W= .

   Мысалы, W жиыны тек бір С формуласынан тұратын жағдайда біріктіруді Н, С түрінде жазамыз.

   Негізгі шығарылу ережелерін көрсетейік.  

1. H ├ A              Бұл ереже формулалар жиынынан шығарудың анықтамасынан                                                   H,W├A           келіп шығады: “Егер А формуласы Н тан шығарылатын болса, онда ол тан да шығарылады. ”. 

    2. H,C ├ A,H├C 

                H├A          . 

    3. H,C ├ A, W├C 

               H,W├A       . 

    4. H ├ C→A 

              H,C├A    . 

    5. Дедукция теоремасы:                 H, C├ A  .

                                                               H├C→A

  5A. Жалпыланған дедукция теоремасы:            {C₁, C₁, …, C_k}├ A 

                                                                           ├C₁→(C₂→(C₃→…(C_k→A)…))

  

  6. Конъюнкцияны енгізу ережесі:  H├A,H├B   .

                                                                 H├

 

  7. Дизъюнкцияны енгізу ережесі:                  H,A├C;Н,B├C   .

                                                                                  H, ├C 

      2.9 Тұжырымдар алгебрасы мен тұжырымдар есептелімі арасындағы байланыс

 

   Тұжырымдар  есептелімінің формулаларын тұжырымдар алгебрасының формулалары ретінде қарастыруға болады. Ол үшін тұжырымдар есептелімінің айнымалыларын тұжырымдар алгебрасының айнымалысындай, яғни екі ақиқат және жалған мән қабылдайтын, қарастырамыз.