Алгебралық тұжырымдау туралы түсінік

 
 
 
 
 
 

     Мысалы: «S төбесі және PQ негізімен берілген SPQ  үшбұрышы тең бүйірлі болады, сонда және тек сонда ғана, қашан P= Q» эквиваленциясы ақиқат. “ S төбесі және PQ негізімен берілген SPQ  үшбұрышы тең бүйірлі” және “ S төбесі және PQ негізімен берілген SPQ  үшбұрышында P= Q ” тұжырымдары бір мезгілде ақиқат немесе жалған.

      Эквиваленттілік математикалық дәлелдеуде үлкен роль атқарады. Теоремалардың белгілі бөлігі қажетті және жеткілікті формада құрылады, яғни эквиваленттілік формасында. Бұл жағдайда оның екі элементінің бірі ақиқат немесе жалған екенін біле отырып және эквиваленттіліктің өзінің ақиқаттығын дәлелдеп біз эквиваленттіліктің екінші мүшесінің ақиқат немесе жалған екенін қорытындылаймыз. 

    1.6 Импликация

 

     a және b екі тұжырымның импликациясы деп, егер a ақиқат, ал b – жалған болса жалған және қалған жағдайда ақиқат болатын жаңа тұжырымды айтамыз.

     a, b тұжырым импликациясы былай белгіленеді a® b (a É b  aÞ b) және былай оқылады “егер a, онда b ” немесе «a дан b шығады».  а тұжырымын шарт немесе сілтеме тұжырым, ал b тұжырымын – салдары немесе қорытынды деп атайды.

     a және b екі тұжырымның барлық мүмкін логикалық мәндерінің импликациясы келесі ақиқаттық кестеде көрсетілген:  

     
 
 
 
 
 
 

   Мысалы, “егер 12  6-ға бөлінсе, онда ол 3-ке бөлінеді” тұжырымы ақиқат. Мұнда ақиқат сілтеме және ақиқат қорытынды.

   Импликация  математикалық дәлелдеуде үлкен  роль атқарады. Теоремалардың белгілі  бөлігі қажетті және жеткілікті формада  құрылады. Егер бұл жағдайда a ақиқат болып және a® b импликацияның ақиқаттығы дәлелденген болса, онда b салдардың ақиқат екенін қорытындылаймыз. 

   Логикалық амалдармен алғаш танысқанда импликациядан  басқаның барлығы мейлінше табиғи түрде  енгізілген секілді. Ал импликация анықтамасын  енгізуді қабылдауға біздің санамыз  қарсылық көрсетіп жатқандай болып  көрінеді. Бірақ импликацияның мұндай анықтамасы біздің түйсікті ішкі логикамызға және математикада өте жиі қолданылатын «егер …, онда ххх»  конструкциясына сәйкес келетіндігін көрсететін мысал келтіруге болады. Арифметикадан бір теореманы еске түсірейік - Q(x)= «Егер х натурал саны 4-ке бөлінсе онда, ол 2-ге бөлінеді». Бұл теореманың әділдігіне біз күмән келтіреміз, яғни Q(x ) - қа қандай х натурал санын қойсақ та біз ақиқат айтылым аламыз. Белгілеу енгіземіз: А(х)= «х натурал саны 4-ке бөлінеді», В(х)= «х натурал саны 2-ге бөлінеді».

       Сонда шығатыны:

                 Q(x )= А(x )® В(x )                                       (1) 

   (1) формулаға х=8, 2, 3 мәндерін қоя  отырып келесілерді аламыз: 1® 1, 0®1, 0® 0. (1) формулаға 1® 0 шарты орындалатындай х-тің мәнін қою мүмкін емес (себебі келтірілген теорема әділ).

   Қарапайым тілде «Егер А, онда В» түрдегі  сөйлемде А мен В мазмұны жағынан  байланысты екенін көреміз. Біздің импликация анықтамасында бұл мүлде міндетті емес. Яғни біз мынадай импликацияны қарастыру құқымыз бар: «Егер бүгін бейсенбі болса, онда 2*2=5», бұл бейсенбіден басқа барлық күні ақиқат, ал бейсенбіде жалған.

         

_{1.7 Тұжырымдар алгебрасының формулалары}

 
 

     Тұжырымдарға қолданылатын логикалық амалдары көмегімен берілген тұжырымдардан күрделі тұжырымдарды құруға болады. Операциялардың орындалу реті жақшамен көрсетіледі. Мысалы, x, y, z үш тұжырымдарынан мынадай тұжырымды құруға болады:

   

  және   .

   Қарапайым тұжырымдардан терістеу, конъюнкция, дизъюнкция, импликация және эквиваленция логикалық амалдарды қолдану көмегімен алынған күрделі тұжырым тұжырымдар алгебрасының формуласы деп аталады.

   Тұжырымдар  алгебрасының формулаларын латын алфавиттің бас әріптерімен белгілейміз: A, B, C,…,X, Y, Z,…

   Жазуды  жинақтау үшін формулалардағы амалдарды ретімен орындау келісілген. Басқа барлық операциялардан бұрын конъюнкция орындалады, ал дизъюнкция импликация мен эквиваленттік бұрын орындалады. Бұл амалдардың орындалу ретін анықтайтын жақшалар қойылмауы мүмкін. Егер кейбір формуладан немесе ішформуладан терістеу алынса, ол жағдайда да жақша қойылмайды.

   Демек, жоғарыда келтірілген  және   формулаларды былай жазуға болады:

   

 және

немесе                                     және .

   Логика  алгебрасында формуланың логикалық мәні оған кіретін қарапайым тұжырымдардың логикалық мәндерімен толығымен анықталады. Мысалы, x=1, y=1, z=0 болғанда Ø(xÙy)ÚØz  формуланың логикалық мәні ақиқат болады, яғни Ø(xÙy)ÚØz =1.

   Логикалық амалдар сияқты, формуланың барлық мүмкін болған мәндері оның ақиқаттық  кестесі көмегімен берілу мүмкін.

   Мысалы, ØxÚy®хÙØу  формуласы үшін ақиқаттық кестесінің көрінісі төмендегідей: 

 

   Егер  формуланың құрамына n қарапайым тұжырым енетін болса, онда ол нөл және бірден тұратын 2ⁿ  мән қабылдайды немесе формуланың ақиқаттық кестесі  2ⁿ қатардан тұрады деп айтуға болады.

_1.8 Тұжырымдар алгебрасының пара-пар, тепе-тең ақиқат және тепе-тең жалған формулалары

 

   Егер  логика алгебрасының А және В формулалары  олардың құрамына енетін қарапайым  тұжырымдарының кез келген мәндерінде бірдей мән қабылдаса, онда бұл формулалар пара-пар деп аталады. Формулалардың пара-парлығын º белгісімен белгілейміз, яғни

   А ºВ Û А және В формулалары пара-пар.

   Егер  А формуласы оған кіретін айнымалылардың барлық мәндерінде 1 мәнді қабылдайтын болса, онда бұл формула тепе-тең ақиқат (немесе тавтология) деп аталады.

   Егер  А формуласы оған кіретін айнымалылардың барлық мәндерінде 0 мәнді қабылдайтын болса, онда бұл формула тепе-тең жалған (немесе қарама-қайшылық) деп аталады.

   Пара-парлық және эквиваленттік ұғымдары арасында мынадай байланыс бар: егер А және В формулалар пара-пар болса, онда А«В формуласы – тавтология, және керісінше, егер А«В формуласы тавтология болса, онда А және В формулалары пара-пар болады.

_{1.9 Негізгі тепе-теңдіктер}

 

   Теорема 1 Келесе  тепе-теңдіктер  орындалады:

а® bºØaÚb;

a~b º (а® b)( b® a) º (ØaÚb)( aÚØb) º (ab) Ú (ØaØb)

   Осы тепе-теңдіктердің кез-келгенін ақиқаттық кестесі  көмегімен дәлелдеуге болады.

Келтірілген тепе-тең көрінетіндей, ® және ~ амалдары Ù, Ú арқылы ¬ өрнектеледі. Кейінірек Ú, Ù және Ø арқылы айтылымдар алгебрасының кез-келген амалын өрнектеуге болатыны көрсетіледі. Сол себепті біз басты назарды осы амалдардың қасиеттерін зерттеуге аударамыз. Оларды айтылымдар алгебрасының буль амалдары деп атайды.

   Теорема 2 Айтылымдар алгебрасының булдік амалдары үшін келесі 19 тепе-теңдік орындалады:

   0. – екі еселі терістеу заңы

             – коммутативтік заңдары

           – ассоциативтік  заңдары

           _{– дистрибутивтік заңдары}  

            _{–идемпотенттік  заңдары}

            _{– де Морган заңдары}

            _– 0 мен 1 заңдары

            _– жұту заңдары

             _– үшіншісі өшірілген заңы

       _– қайшылық заңы

 Бұлардың кез-келгенін ақиқаттық  кесте көмегімен дәлелдеуге болады.

1.10 Формулаларды тепе-тең түрлендіру

 

   Тепе-теңдіктерді пайдаланып, формуланы немесе оның бөлігін оған пара-пар формулаға ауыстыруға болады. Мұндай түрлендірулер тепе-тең түрлендірлер деп аталады.

   Тепе-тең түрлендірулер тепе-теңдіктерді дәлелдеу, формуланы берілген түрге келтіру, формуланы ықшамдау үшін қолданылады.

   Егер  А формуланың құрамына оған пара-пар В формулаға қарағанда аз әріптер мен логикалық амалдар кіретін болса, онда А формуласы В дан ықшам деп саналады. Әдетде эквиваленция және импликация амалдары дизъюнкция және конъюнкция амалдарына ауыстырылады, ал терістеу қарапайым тұжырымдардан алынады.