Транспортно-производственная модель с целочисленными и непрерывными переменными

Но  если сахарная свекла залеживается на складах завода и теряет сахаристость, то эффект будет обратным. Этим и  можно объяснить, что выход сахара из переработанного сырья первого  сельхозпредприятия на первом сахарном заводе - 11,2, а на втором заводе - 12%. Такая  же закономерность и по перерабатываемому  сырью второго и третьего сельхозпредприятий.

Сахарные заводы, как правило, не калькулируют себестоимость сахара в разрезе поставщиков сырья, но учет указанных факторов в рассматриваемой задаче может оказать существенное влияние на размещение и специализацию производства продукции двух отраслей - сельскохозяйственного производства и сахарной промышленности и в конечном счете может стать хорошим стимулом для сельскохозяйственных предприятий по развертыванию селекционной работы и освоению новейших технологий выращивания сахарной свеклы.

По данным таблиц 7 построим расширенную  модель экономикоматематической задачи и запишем систему ограничений в развернутом виде.

Как видно, матрица задачи содержит 15 ограничений и 17 переменных величин. Она приведена к виду общей задачи ЛП и ее можно решать точным симплексным методом. Результат решения и анализ полученных результатов будут даны ниже. Сейчас запишем условие задачи в развернутом вид.

C=23.13*X₁+18.4*X₂+26.1*X₃+

+(4.85+32.1)*Y₁₁+(5.6+2.4)*Y₂₁+(5.1+32.4)*Y₃₁+

+(5.3+29.9)*Y₁₂+(4.9+22.4)*Y₂₂+(6.1+30.1)*Y₃₂+

+7.82*Z₁₁₁+8.1*Z₂₁₁+8.3*Z₁₁₂+

+8.9*Z₂₁₂+8.4*Z₁₂₁+9.1*Z₂₂₁+9.3*Z₁₂₂+10*Z₂₂₂ (min)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X_i, Y_ij, Z_ipk ≥0

Таблица 7 - Расширенная модель производственно - транспортной задачи с непрерывными переменными.

Переменные       Ограничения	Предприятия поставщики сырья, т				Мощности заводов, перерабатывающих сырье. Способы их транспортных связей с  поставщиками.
	1	2	3		Завод 1					Завод 2
	X1	X2	X3		Y11		Y21		Y31	Y12		Y22		Y32
1)максимальный объем производства  сырья в 1-м хозяйстве, т	1
2)максимальный объем производства  сырья в 2-м хозяйстве, т		1
3)максимальный объем производства  сырья в 3-м хозяйстве, т			1
4)сохряняя мощность 2-ого завода					1		1		1
5)распределение сырья 1-ого предприятия,  т	1				-1					-1
6) распределение сырья 2-ого предприятия,  т		1					-1					-1
7) распределение сырья 3-его предприятия,  т			1						-1					-1
8)производство и распределение  сахарного песка 1-ого завода, т					0,112		0,117		0,102
9) производство и распределение  патоки 1-ого завода, т					0,051		0,056		0,047
10) производство и распределение  сахарного песка 2-ого завода, т										0,12		0,19		0,11
11) производство и распределение  патоки 2-ого завода, т
12)потребность в сахарном песке  1 потребителя, т										0,055		0,06		0,05
13) потребность в патоке 1 потребителя,  т
14) потребность в сахарном песке  2 потребителя, т
15) потребность в патоке 2 потребителя,  т
Затраты по производству и транспортировке сырья и готовой продукции	23,13	18,4	26,1		36,95		29,7		37,5	35,2		27,3		36,2
Переменные       Ограничения	Потребности потребителей в продукции  заводов и способы их транспортных связей												Объем и тип ограничений
	Потребитель 1							Потребитель 2
	Виды продукции							Виды продукции
	Сахарный песок, т			Патока, т				Сахарный песок, т		Патока, т
	Z111	Z211		Z112		Z212		Z121	Z221	Z122	Z222
1)максимальный объем производства  сырья в 1-м хозяйстве, т													≤3000
2)максимальный объем производства  сырья в 2-м хозяйстве, т													≤2100
3)максимальный объем производства  сырья в 3-м хозяйстве, т													≤4180
4)сохряняя мощность 2-ого завода													≥6200
5)распределение сырья 1-ого предприятия,  т													≥0
6) распределение сырья 2-ого предприятия,  т													≥0
7) распределение сырья 3-его предприятия,  т													≥0
8)производство и распределение  сахарного песка 1-ого завода, т	-1							-1					≥0
9) производство и распределение  патоки 1-ого завода, т				-1						-1			≥0
10) производство и распределение  сахарного песка 2-ого завода, т		-1							-1				≥0
11) производство и распределение  патоки 2-ого завода, т						-1					-1		≥0
12)потребность в сахарном песке  1 потребителя, т	1	1											=649
13) потребность в патоке 1 потребителя,  т				1		1							=279
14) потребность в сахарном песке  2 потребителя, т								1	1				=519
15) потребность в патоке 2 потребителя,  т										1	1		=200
Затраты по производству и транспортировке сырья и готовой продукции	7.82	8.1		8.3		8.9		8.4	9.1	9.3	10		=>min

Рисунок 1 – Решении задачи 2

 

X₁=3000, X₂=2100, X₃=4172.6

Y₁₁=2027.5, Y₃₁=4172.6, Y₁₂=972.5, Y₂₂=2100

Z₁₁₁=133.7, Z₂₁₁=515,3

Z₁₁₂=99.5, Z₂₁₂=179.5

Z₁₂₁=519, Z₁₂₂=200

Остальные переменные

Y₂₁=Y₃₂=Z₂₂₂=Z₂₂₁=0

C(X*,Y*,Z*)=553745

Представим эти результаты в  виде таблицы

Таблица - 8 Прогнозируемый объём производства и распределения сырья (сахарной свёклы)

Сельхоз - предприятия	Объём производства сырья, т	Объём поставки сырья предприятиями заводам, т
		первому	второму
1	3000	2027,5	972,5
2	2100	-	2100
3	4172,6	4172,6	-
итого	9272,6	6200,1	3072,5

 

 

 

Таблица 9 - Прогнозируемый объём производства и распределение продукции (песка сахарного и патоки)

Заводы	Производимая  продукция	Объем производства продукции, т	Величина  поставки продукции потребителям, т
			первому	второму
1	Сахарный  песок	652,5	133,7	519
	Патока	299,5	99,5	200
2	Сахарный  песок	515,5	515,3	-
	Патока	179,5	179,5	-
итого	Сахарный  песок	1168	649	519
	Патока	479	279	200

 

Как видно, с целью сокращения транспортных расходов первое сельхозпредприятие целесообразно  прикрепить к обоим заводам. Второе - ко второму, а третье - к первому  заводу. Что касается готовой продукции, то первый потребитель должен ее получать от первого и второго заводов, а второй - только от первого.

Рисунок 2 – Решение двойственной задачи 2

 

Наиболее перспективным районом  производства сырья является зона расположения второго сельхозпредприятия. На каждую дополнительно произведенную в этом хозяйстве тонну сахарной свеклы гарантируется снижение совокупных затрат на 27,1 ден. ед. (двойственная оценка – 27,1, а верхняя граница ее устойчивости - 827 т). Себестоимость производства сахарной свеклы в третьем хозяйстве самая высокая (26,1 ден. ед.). Удельные транспортные расходы лишь по маршруту 3-1 (третье хозяйство - первый завод) на 0,5 ден. ед. ниже, чем по маршруту 2-1 (второе хозяйство - первый завод). Однако себестоимость производства 1 т сахарной свеклы здесь выше, чем во втором хозяйстве на 7,7 ден. ед. Кроме того, в сырье этого хозяйства самый низкий процент содержания сахара, что вызывает дополнительные затраты на его производство. Сокращение производства сырья в этом хозяйстве обеспечивает уменьшение совокупных затрат в размере 7,45 ден. ед. в расчете на 1 т, естественно, в рамках нижней границы устойчивости двойственной оценки.

Двойственная оценка 9-го ограничения – 1213,4 и 11-го 1212,8. На такую величину можно снизить совокупные затраты соответственно на первом и втором заводах при увеличении на 1% выхода патоки из перерабатываемого сырья. Как видно, на втором заводе оценка этого продукта на 0,6 ден. ед. ниже, чем на первом. Объясняется это меньшим дефицитом патоки на данном заводе в связи с несколько большим ее выходом из 1 т переработанного сырья. Заметим, что на втором заводе сырье не залеживается и не теряет свои первоначальные свойства. Здесь оно более оперативно перерабатывается.

Двойственные оценки 8-го и 10-го ограничений  соответственно составляют 0,3 и 0 т. Повышение сахаристости свеклы в данных условиях даст или очень малый или нулевой эффект. Однако этот эффект будет резко возрастать при повышении коэффициента выхода патоки из перерабатываемого сырья или уменьшении потребности в патоке.

 

3.в. Пример 3: Необходимо произвести прогноз производства

бетонных плит и определить объём  их перевозок для строительства 8 - этажных домов, с учётом минимизации  общей суммы производственных и  транспортных расходов. Возьмем два  предприятия железно- бетонный завод и Мост - строй по каждому из которых разработана два альтернативных варианта их развития производства, и три потребителя «Добродом», «Панорама», «Ревьера». Определить объёмы производства по вариантам, потребность в продукции потребителей, а также удельные производственные и транспортные расходы.

Таблица 10 - Исходные данные для однопродуктовой производственнотранспортной задачи в дискретной постановке

Предприятия	Варианты их развития	Объем производства продукции	Удельные производственные затраты, ден.ед.	Потребители
				1	2	3
				Потребность в продукции, ед
				3700	1400	2500
				Удельные транспортные расходы, ден.ед.
Завод железо-бетонных изделий	1	2200()	250	40	30	27
	2	2400()	280	40	30	27
Мост-строй	1	1500()	190	25	35	31
	2	2000()	210		35	31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^{0 или 1}

Для целочисленных моделей включая  и производственно-транспортную задачу в дискретной постановке пока не создано точных метода их решения. В этой связи зачастую пользуются приближенными методами, которые не гарантируют получение оптимального решения. Но в любом случае оно всегда является близким к оптимальному.

Для решения подобных задач можно  использовать два подхода.

Первый подход заключается в  том, что производственно-транспортная задача решается в два шага. Сначала  она приводится к виду общей задачи линейного программирования и решается точным (симплексным) методом. В результате может быть получено нецелочисленное  значение переменных Х\,

что противоречит нашему условию. На втором шаге нецелочисленное решение доводится до целочисленного методом, основывающимся на идеях дельта-метода А. Г. Аганбегяна. Этот метод особенно эффективен, когда количество переменных в задаче значительно превосходит количество ограничений.

При втором подходе для решения  задачи с самого начала используется приближенный метод. Он эффективен в  том случае, когда размерность  задач невелика, а заполняемость матрицы значащими коэффициентами не очень плотная.

Воспользуемся первым подходом, построим первую симплексную таблицу №12.

Таблица 12 - Расширенная модель однопродуктовой производственно - транспортной задачи в дискретной постановке

Переменные               Ограничения	Предприятие и варианты их развития							Варианты прикрепления предприятий
	Варианты развития первого предприятия			Варианты развития второго предприятия				Первое предприятие
								Возможные прикрепления по:
	1	2		1		2		1 варианту развития					2 вариату развития
	X11	X12		X21		X22		X111		X121		X131	X112		X122	X132
1)согласование объемов производства  и сбыта продукции	2200							-1		-1		-1
2) согласование объемов производства  и сбыта продукции		2400											-1		-1	-1
3)согласование объемов производства  и сбыта продукции				1500
4)согласование объемов производства  и сбыта продукции						2000
5)удовлетворение потребностей  потребителей в продукции								1					1
6)удовлетворение потребностей  потребителей в продукции										1					1
7)удовлетворение потребностей  потребителей в продукции												1				1
8) ограничение целочисленности вариантов развития первого предприятия	1	1
9)ограничение целочисленности вариантов развития первого предприятия				1		1
Затраты по производству и транспортировке  продукции ден.ед.	550000	672000		285000		420000		40		30		27	40		30	27
Переменные               Ограничения	Варианты прикрепления предприятий													Объемы и типы ограничений
	Второе предприятие
	Возможные прикрепления по:
	1 варианту развития						2 вариату развития
	X211		X221		X231		X212		X222		X232
1)согласование объемов производства  и сбыта продукции														≥0
2) согласование объемов производства  и сбыта продукции														≥0
3)согласование объемов производства  и сбыта продукции	-1		-1		-1									≥0
4)согласование объемов производства  и сбыта продукции							-1		-1		-1			≥0
5)удовлетворение потребностей  потребителей в продукции	1						1							≥3700
6)удовлетворение потребностей  потребителей в продукции			1						1					≥1400
7)удовлетворение потребностей  потребителей в продукции					1						1			≥2500
8) ограничение целочисленности вариантов развития первого предприятия														=1
9)ограничение целочисленности вариантов развития первого предприятия														=1
Затраты по производству и транспортировке  продукции ден.ед.	25		35		31		25		35		31			min