Разрешимость задач на построение с помощью циркуля и линейки

Как и в задаче о трисекции  угла, мы не станем разбирать вопрос о неразрешимости «в общем случае» и проведем соответствующее рассуждение для частных значений длин биссектрис. Удобно считать, что две из них равны, потому что тогда удается свести задачу к исследованию кубического многочлена; если этого предположения не делать, пришлось бы рассмотреть уравнение шестнадцатой к степени. Мы будем опираться на следующую теорему: если отрезки биссектрис двух углов в треугольнике равны, то эти углы также равны, так что треугольник равнобедренный. [3].

Задача 3. Построить равнобедренный треугольник по данным отрезкам биссектрис его углов от вершин до противолежащих сторон.

Воспользуемся одной общей  формулой, вывод которой предоставим читателю.

Пусть дан треугольник  с полупериметром р и углами α,β,γ; когда длина ⍺ биссектрисы угла равна

                                                l_⍺=2p               (8)

 (Подобные же формулы, конечно, справедливы для l_β  и l_γ.)

В нашем случае β=γ; отрезки  l_⍺ и l_β заданы. Можно считать, что l_β=1; длину отрезка l_⍺ для краткости обозначим просто буквой l. Если бы мы могли построить циркулем и линейкой искомый треугольник, то мы могли бы построить также отрезок длины sin

Из формулы (8) мы выведем  сейчас, что число sin является корнем кубического многочлена над полем Q(l) и что при некоторых рациональных значениях величины l этот многочлен неприводим. Таким образом, соответствующая задача неразрешима. (Убедитесь, что тем не менее при всех l, 0<l<ㆀ, искомый треугольник существует)

Применим формулу (8) к  l₃ и отыщем отношение =l, учитывая, что β=γ.Тогда получим

L===             (9)

( мы снова пользовались тем, что треугольник равнобедренный и, значит,          = – β).Положим sin=x; тогда sin=3x — 4x³; cos β=1—2х². Из равенства (9) вытекает, что х является корнем уравнения 

                                                  4x^3-4lx²-3x+2l=0                     (10)

Удобно взять 1 = 3 и произвести замену переменного, положив у=2х —2. Число у является тогда корнем уравнения

y³— 15у — 10 = 0.

Как и прежде, для доказательства неприводимости многочлена           у³—15y—10 достаточно установить, что у него нет рационального корня. Пусть такой корень есть, и он равен , где р, q—взаимно простые целые числа. Тогда

P³= 5q² (Зр + 2q),

следовательно, р=5r, где r — целое число, так что

25r³= q²(15r + 2q).

Но последнее равенство  невозможно, потому что q не делится на 5.

Наконец, разберем вкратце  еще две классические задачи. Для  полного их исследования изложенной выше теории оказывается недостаточно, и некоторые необходимые результаты нам придется принять без доказательства [2].

3.4. Построение правильных многоугольников

Задача 4 Дана окружность радиуса, единица, требуется вписать в нее правильный многоугольник с заданным числом сторон.

Пусть число сторон равно  п: в удобной системе координат  задача сводится к построению корней n-й степени из единицы, т е корней многочлена zⁿ—1 Этот многочлен безусловно приводим: он всегда делится на z—1, и даже на r ∓1, если n четно. Согласно общему правилу, следует разложить многочлен rⁿ— 1 на неприводимые множители, однако мы сначала несколько упростим задачу, пользуясь се геометрическим истолкованием

Пусть n=pq, где р, q—взаимно простые целые числа, oбa не равные единице Покажем, что если можно построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, то можно построить также правые р-угольник и q-угольник, и наоборот, если можно построить правильнее р-угольник и q-угольник, то можно построить и правильней pq-угольник. Первое утверждение очевидно, второе вытекает из того, что если ε₁(l=1,…,q), η_j=(j=1, ….. , q) — все корни из единица р-й и q-й степени соответственно, то попарные произведения ε_iη_j представляют собой все корни из единицы pq-й степени. Отсюда следует, что достаточно разобрать вопрос о многоугольниках с р^к сторонами, где р — простое число, a k≥1—любое целое положительное число.

Если р=2, то при любом k все корни многочлена x²—1 принадлежат допустимым расширениям поля Q(i) (и, значит, поля Q). Читателю полезно проверить это утверждение алгебраически, геометрически оно вытекает из того, что любую дугу можно разделить циркулем и линейкой на 2^к равных частей.

Пусть теперь р≥З. Прежде всего х^р —1 =(х^р — I) (x^p   +……+ 1). Корни первого множителя—это все непервообразные корни из единицы р^к-й степени. Для построения р^k-угольника необходимо уметь строить хотя бы один первообразный корень; этого и достаточно, потому что тогда все остальные корни будут его степенями. Поэтому остается выяснить, принадлежат ли допустимому расширению поля Q (i) (или, что все равно, поля Q) корни многочлена х^р     + х^р +. . +1.

Ответ (по крайней мере, частичный) получить очень легко, если принять без доказательства, что этот многочлен неприводим (существует ряд доказательств этого факта, и все они используют довольно тонкие арифметические соображения,— причиной неразрешимости геометрической задачи, в конечном счете оказываются снова некоторые свойства целых чисел!). Тогда из теоремы 2 следует, что если p^r-1(p— 1)≠2ⁿ, то правильный р^k-угольник нельзя построить циркулем и линейкой.

Тем самым устанавливается, что если р -угольник можно построить, то либо р=2, либо р > 2, и тогда обязательно k =1 и р —1=2ⁿ. Из того, что мы доказали, однако, нельзя заключить, что если р = 2ⁿ+1 — простое число, то правильный р-угольник можно построить циркулем и линейкой. Это утверждение на самом деле справедливо, и оно было впервые доказано Гауссом. При n=1 получается число   р=2¹+1=3; при n = 2—число р =5; при n=3 получаем не простое число 2³+1 = 9; при n= 4 получаем p=17. Возможность построить циркулем и линейкой правильный 17-угольник вообще не была известна до работы Гаусса, и найти такое построение с помощью только геометрической интуиции очень трудно, если не невозможно. В алгебраической формулировке дело сводится к установлению того, что корни 17-й степени из единицы можно выразить через числа поля Q(i) с помощью извлечения квадратных корней; это — задача не легкая, но вполне доступная для изложения даже на этих страницах и, по существу, не требующая никаких дополнительных знаний. Мы, однако, оставим этот вопрос в стороне [5].

3.5. Квадратура круга

Задача 5. Дан круг; построить  квадрат, равновеликий этому кругу.

Мы уже упоминали, что  эта задача тоже неразрешима с  помощью циркуля и линейки. Однако природа этой неразрешимости совершенно не такая, как у разобранных до сих пор задач.

Как обычно, радиус круга  можно считать единичным; дело сводится тогда к построению квадрата площади π, т е. отрезка длины √π. Если бы мы могли построить отрезок длины π, то - мы могли бы построить и отрезок длины √π, и наоборот. Таким образом, истинная трудность задачи о квадратуре круга заключается в задаче о спрямлении (полуокружности, т. е. в построении отрезка длины π.)

Мы пришли к вопросу: принадлежит ли число π допустимому расширению поля рациональных чисел Q?[3]

В прежних задачах отрицательный  ответ на такого рода вопросы получался так: искомое число было корнем какого-то многочлена с рациональными коэффициентами, и дальше мы старались применить к этому многочлену или к его делителю теорему 2. В этом месте стоит напомнить и обратный результат: если число х принадлежит допустимому расширению поля К, то оно, во всяком случае, является корнем какого-то многочлена с коэффициентами в поле К (этот результат справедлив для любых конечных расширений поля К, а всякое допустимое расширение, по определению, конечно).

Оказывается, что число  π не является корнем вообще никакого многочлена с рациональными коэффициентами. Принято выражать это, называя число π трансцендентным.

Доказательство трансцендентности числа π использует трудные аналитические и арифметические средства. Из этого доказательства и следует невозможность квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, и даже с помощью ряда других чертежных средств (например, лекал, ограниченных отрезками алгебраических кривых над полем рациональных чисел, которые дают возможность удвоить куб или произвести трисекцию угла) [4].

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Теория геометрических построений с помощью циркуля и линейки  была вызвана к жизни многочисленными  безуспешными попытками решить с  помощью такого построения три древние  задачи: трисекции угла, удвоения куба, квадратуры круга.

Значение этой теории исторически  заключается в том, что она  дала одно из первых доказательств  невозможности в математике, выполнив его с помощью точного обозрения  совокупности объектов, которые можно  построить, пользуясь только циркулем и линейкой. Оба математических результата, которые в данной теории получаются одновременно, но, вообще говоря, могут достигаться разными средствами, в математике двадцатого века играют особую роль; так, предметом новой науки — метаматематики— в значительной степени является изучение вопросов о том, какие выводы в принципе можно и какие нельзя получить, пользуясь данными средствами.

Решение основной задачи теории построений циркулем и линейкой, заключающееся в точном описании совокупности построений, о разрешимости задач на построение которые можно осуществить. И в описании алгоритма, который дает возможность решить всякую конкретную задачу или узнать, что эта задача неразрешима, является по существу алгебраическим; это решение не могло быть достигнуто до появления необходимых алгебраических средств. Первое их появление датируется  (1796 г.) знаменитой работой юного Гаусса о правильных многоугольниках, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Эта работа уже содержала в зачаточном виде основы новой алгебраической теории (позже развитой замечательным французским математиком Эваристом Галуа, по имени которого ее называют теорией Галуа) для некоторых полей частного вида, причем эти алгебраические рассмотрения представляли собой как раз наиболее глубокую часть работы.

Таким образом, теория построений по существу состоит из трех частей.

Первая — чисто геометрическая — должна заключать в себе анализ понятия «построение с помощью  циркуля и линейки», с тем, чтобы  это понятие было определено четко  и недвусмысленно. (Известно, например, что утверждение о невозможности  построения трети заданного угла с помощью циркуля и линейки перестает быть справедливым, если разрешить некоторые приемы использования линейки). Эта первая часть подготавливает почву для второй, в которой задача переводится на алгебраический язык и ставится в алгебраических терминах. Этот перевод не является чисто механической перефразировкой: он приводит к появлению новых математических объектов, которые затруднительно или невозможно было бы выразить на геометрическом языке. С другой стороны, именно появление этих новых объектов позволяет, в конце концов, решить задачу. Наконец, третья часть теории является собственно алгебраической, наиболее глубокой и наиболее трудной: в ней решается алгебраическая задача, к которой была приведена соответствующая геометрическая задача — теория построений.[2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1. Ф. Клейн, Лекции по избранным вопросам элементарной геометрии, перев. с нем., Казань, 1898.

Небольшая книжка, содержащая обработку двух лекций, прочитанных знаменитым математиком Ф. Клейном немецким учителям математики. Первая часть книги содержит изложение вопроса о геометрических построениях, сводящихся к решению алгебраических уравнений, вторая — учение о трансцендентных числах и элементарное (но совсем не простое) доказательство неразрешимости задачи квадратуры круга.

2. Г. Вебер и И. Вельтштейн, Энциклопедия элементарной математики, перев. с нем., т. I, Одесса, 1911.

Обширная книга, посвященная  вопросам арифметики и алгебры. К  теме настоящей статьи имеют отношение: гл. XVIII Деление окружности на равные части, гл. XIX Доказательства невозможности (эта глава начинается с решения  вопроса о классе задач на построение, разрешимых с помощью циркуля и линейки) и гл XXVII. Трансцендентность чисел е и л.

3. М. М. Постников, Теория Галуа, М., Физматгиз, 1963.

Книга содержит элементарное изложение алгебраической теории Галуа, в частности современное решение  вопроса 'о задачах на построение, разрешимых или неразрешимых циркулем и линейкой

4. А. Г. Школьник, Задача деления круга, М., Учпедгиз, 1961.

Небольшая брошюра, рассчитанная на широкий круг читателей.

5. Г. И Дринфельд, Трансцендентность чисел л и е, Харьков, Изд. Харьковского университета, 1952.

В этой небольшой книге содержится элементарное решение вопроса о неразрешимости задачи квадратуры круга.