Разрешимость задач на построение с помощью циркуля и линейки

 Лемма:

 а) Любую точку поля  К_n можно построить циркулем и линейкой, исходя из совокупности точек А_n;

б) Если переход от совокупности А_n к совокупности A_n+1, состоит в добавлении точки, полученной пересечением пары прямых, пары окружностей или прямой с окружностью, построенных на базе точек А_n, то либо К_n+1=К_n. либо K_n+1=K_n(√z), где число z принадлежит полю К_n и не является в нем полным квадратом. При этом для любого такого числа z можно построить циркулем и линейкой число √z;

в)Если переход от совокупности А_n к совокупности А_п+1 состоит в добавлении точки, лежащей на данном отрезке прямой или на данной дуге окружности, или в данной области плоскости, то эту точку можно выбрать так, чтобы было K_n+1=K_n(√z), где z∈K_n.

                    

                      Рис. 3.                                                   Рис. 4

Доказательство. Начнем с  утверждения а). Пусть z₁,.....,z_n-все точки из совокупности А_n (которые, как и раньше, мы будем отождествлять с соответствующими комплексными числами). По определению поля К_n любой его элемент получается из чисел i,z₁,…..,z_n в результате конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия сопряженного числа. Поэтому достаточно установить следующий результат: если даны две точки х,у, то с помощью циркуля и линейки можно построить точки —х; ху, ; х^-1; ху. (Возможность построить число i мы уже отмечали: напомним, что среди чисел z₁,..., z_n содержится единица - она была выбрана из начальных данных [3].

Но этот результат проверяется  вполне элементарно. В самом деле, для построения точки — х нужно провести через О и х прямую и циркулем отложить отрезок от О до х на этой прямой по другую сторону от точки О (рис. 3). Для построения точки х+y нужно провести через точку х прямую, параллельную Оу, а через точку у — прямую, параллельную Ох (рис. 4). Их пересечение и даст x+у, если эти прямые не совпадают, т. е. если точки х, у, О не лежат на одной прямой. Если же эти три точки лежат на одной прямой, то задача снова сводится к откладыванию (циркулем) данных отрезков на данной прямой. Для построения точки х достаточно построить отдельно ее аргумент и модуль. Построение аргумента сводится к проведению окружности, проходящей через точку х, с центром в начале координат, отысканию ее точек пересечения с прямой 01 и к откладыванию дуги от одной из этих точек до точки х в другую сторону по окружности (это даст , рис. 5). Построение | x |^-1 —это построение четвертого пропорционального к отрезкам |х|, 1, 1. Хорошо известно, как его строить циркулем и линейкой. Затем полученный отрезок |x|^-1 нужно отложить по прямой Ox от точки О в сторону точки (рис. 6). Наконец, построение точки ху сводится

                          

                     Рис.5                                                                    Рис.6

совершенно аналогичным  образом к построению суммы двух углов (аргументов точек х,у) и к построению отрезка |ху|, т. е. четвертого пропорционального к отрезкам 1, |x|, |y| (рис. 7).

Мы доказали таким образом, утверждение а) нашей теоремы. Доказательство утверждения б) удобно начать со второй его части, т. е. установить, что если дана точка z (и, разумеется, точка 1), то можно Циркулем и линейкой построить (оба значения) √z. Читателю уже должно быть ясно построение: нужно разделить аргумент точки z пополам и отложить отрезок длины √|z| (среднее пропорциональное между отрезками |z| и 1; оно строится циркулем и линейкой) от точки О в обе стороны по прямой, угол наклона которой к действительной оси 01 равен половине аргумента числа z (точки М и N на рис. 8) [1].

Несколько труднее установить первую часть утверждения б). Прежде всего мы должны научиться записывать уравнения прямой и окружностей на комплексной плоскости. Можно, однако, на время условиться разделять вещественные и мнимые части комплексного числа, обозначая их символами X, Y. (Это и будут координаты соответствующей точки.) Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁,y₁) и (х₂, у₂) совокупности A_n, запишется в виде

                                                  (X-x₁)(y₂-y₁)-(Y-y₁)(x₂-x₁)=0,              (1)                    

 т.е. в виде

aX + bY + c = О,

где коэффициенты а, b, с легко вычисляются через координаты точек (x₁, у₁), (x₂,у₂).Далее, уравнение окружности с центром 

                       

              Рис.7                                                                     Рис.8

в точке (d, е) из совокупности А_n, проходящей через некоторую точку (х, у) этой совокупности, можно записать в виде

                                        (X-d)² + (Y-e)²=r² ,                                                 (2)

где r² = (х — d)²+(y — е)².

Коэффициенты уравнений (1) и (2) — вещественные числа. Мы утверждаем прежде всего, что все они принадлежат  полю К_n. Для доказательства этого достаточно заметить, что вместе с любым числом х в поле К_n содержится также его вещественная часть Re x и мнимая часть lm х, потому что Re x = ,  Im= .Числа же а, b, с, d, е, г² в уравнениях (1) и (2), как мы видели выше, рационально выражаются через действительные и мнимые части координат точек из совокупности А_n.

Теперь для отыскания  точек пересечения мы должны решить                          (в вещественных числах) одну из трех систем уравнений:

 

 

 

выбрать одно решение этой системы и присоединить полученные числа X, Y к полю К_n — итогом и будет иоле К_п+1. Проверка этого утверждения получается прямо с помощью определений, с использованием того факта, что если в поле К_п+1 содержатся вещественные числа а, b, то содержатся также и числа а ± bi.

Но, очевидно, решение первой системы уравнений принадлежит  полю К_n; другими словами, в этом случае K_n+1=K_n. Решение же двух других систем сводится к решению одного квадратного уравнения с коэффициентами в поле K_n. Присоединение корня этого уравнения к полю сводится к присоединению корня квадратного из дискриминанта этого уравнения. Если дискриминант z является полным квадратом, то K_n+1=К_n.В противном случае К_n+1=К_n(√z) Утверждение б) доказано [4].

Остается теперь проверить  утверждение в). Мы покажем даже, что точки, удовлетворяющие условию  в), всюду плотно лежат на отрезках и дугах.

Пусть дан отрезок прямой, соединяющий две точки х, у из поля К_{n .} Тогда середина этого отрезка также принадлежит полю К_n, потому что она представляет собой точку . Применяя это рассуждение к получившимся двум половинам отрезка, затем к его четвертям и т. д., мы получаем, что внутри любого отрезка прямой, взятого между точками х, у, содержится точка из поля К_n. Тем самым установлено, что произвольный выбор точки на отрезке прямой, проходящей через две точки из поля К_n, всегда можно осуществить, не выходя за пределы этого поля [2].

Пусть теперь дана окружность С, построенная на базе совокупности точек А_n, и на ней выделена дуга L, концами которой являются точки, принадлежащие совокупности А_n. Как мы видели выше, уравнение рассматриваемой окружности С, построенной на базе системы точек А_n, можно записать в виде (2), где d, е и r² — действительные числа, принадлежащие полю К_n. Далее, любое рациональное число k принадлежит полю К_n (ибо 1∈К_п). Будем теперь рассматривать всевозможные точки пересечения окружности С с прямыми, параллельными оси абсцисс и расположенными на рациональном расстоянии от этой оси, т. е. с прямыми Y=k, где k — произвольное рациональное число. Ясно, что эти точки пересечения всюду плотно расположены на окружности С и, в частности, на дуге L. Но каждая такая точка пересечения имеет в качестве своих координат X, Y решение системы

(X-d)²+(Y-e)²=r²,

                  Y=k,

и потому, как мы видели выше, эта точка пересечения принадлежит  полю вида К_n(√z), где z∈K_n. Итак, выбор «произвольной» точки на дуге L всегда можно осуществить так, чтобы выбранная точка принадлежала полю К_n(√z), и потому либо К_n+1 = К_n, либо K_{n + 1} = K_n(√z), где z ∈К_n.

Разобрать случай, когда  нужно выбирать точку внутри области, частично ограниченной прямыми и  дугами, не представляет труда. Достаточно, например, заметить, что внутри области всегда можно найти точку с рациональными координатами, т. е. точку, принадлежащую полю К_n.

Таким образом, наша лемма  полностью доказана [1].

2.2. Выводы

 Доказанная только  что лемма в некотором смысле  решает основной вопрос теории  построений с помощью циркуля  и линейки, сформулированный в  конце § 1. Для точной формулировки  ответа введем несколько новых  понятий.

Обозначим буквой А систему заданных точек, а буквой К — поле, соответствующее этой системе (напомним, что оно содержит заданные точки, число i и все сопряженные ко всем своим элементам; притом это поле является наименьшим с указанными свойствами). Для любого поля L его квадратичным расширением назовем поле вида L(, где число z∈L не является полным квадратом в поле L.Назовем конечное расширение К' поля

К допустимым, если оно получается из поля К в результате конечной цепочки квадратичных расширений:

К = К₀⊂К₁⊂К₂ ⊂ …….. ⊂К_n = K^′;

K_i+1 = K_i(  √z_i ), z_i ⊂ K_i       (i= 0,1………. n-1).

Теперь ответ на основной вопрос теории построений можно сформулировать так:

Для того чтобы точку z можно было построить циркулем и линейкой, исходя из совокупности точек А, необходимо и достаточно, чтобы точка z содержалась в некотором допустимом расширении поля К. Этот результат представляет собой простую перефразировку доказанной выше основной леммы.

Теперь следует разобраться  в том, как применять этот результат к конкретным геометрическим задачам.

Для возможности такого применения следует, прежде всего, решить соответствующую алгебраическую задачу. Это означает, что мы должны считать искомые точки (т. е. те, которые нужно построить) неизвестными и составить для них систему уравнений, исходя из условий задачи (в коэффициенты этих уравнений войдут числа, соответствующие данным точкам). После этого мы должны либо суметь записать корни уравнений (т. е. искомые точки) в виде некоторых выражений, содержащих в конечном числе операции сложения, умножения, деления и извлечения квадратного корня, примененные к первоначально заданным числам, либо установить, что таких выражений не может существовать .

В первом случае мы сможем затем  геометрически получить ответ на задачу, строя с помощью циркуля  и линейки корни нашей системы уравнений.

Гораздо интереснее второй случай, потому что мы сталкиваемся здесь с вопросом нового типа: как  установить, что корни данной системы  уравнений не принадлежат допустимому  расширению данного поля?[5]

2 .3 Алгебраические рассмотрения

 Ответ на поставленный  вопрос не прост Больше того, если не накладывать никаких  ограничений на систему уравнений,  которая может получиться в  результате, то даже не удастся высказать никаких общих соображений по этому поводу. Мы поэтому наложим следующее условие на рассматриваемый класс задач: их решение должно сводиться к решению системы уравнений вида

                             

                                              (3)

где X_i;—неизвестные точки, a F_i — многочлены от переменных X_i, коэффициенты которых находят в поле К, соответствующей заданной первоначально системе точек. (Задачи трисекции угла и удвоения куба принадлежат к этому типу; задача квадратуры круга не принадлежит Об этом мы еще скажем позже )

Если геометрическая задача правильно поставлена, в частности если начальных i данных достаточно, то она должна допускать только конечное число ответов. В алгебре доказывается, что тогда систему уравнений (3) можно значительно упростить, сведя се методом исключения к виду

                                   

                                             (4)

где на этот раз Ф_i(x_i)— многочлены с коэффициентами в поле К, каждый из которых зависит лишь от одной переменной Правда, при этом степени многочленов Ф_i, могут значительно вырасти в сравнении с степенями многочленов F_i н, что еще хуже, у системы (4) могут появиться новые решения Но первое затруднение имеет значение лишь при практическом счете, а второе мы не будем принимать во внимание, как прежде, считая, что если мы разберемся в возможности построения корней системы (4), то отобрать из них решения, дающие ответ геометрической задачи, будет уже делом доступным [1].

В свою очередь, построение корней системы (4) сводится к построению корней многочленов от одной переменной с коэффициентами в поле К.          Пусть Ф(x) — такой многочлен. Если нам удастся разложить его на два множителя Ф(х) = Ф₁(x)Ф₂(х), ни один из которых не является постоянной величиной, и оба эти множителя имеют коэффициенты из поля К, то достаточно будет изучить вопрос о построении корней каждого из этих множителей в отдельности. Многочлен Ф(x), который нельзя разложить на множители, таким образом, называется неприводимым над полем К. (Если ясно, какое поле К имеется в виду, мы будем иногда для краткости называть такой многочлен просто не приводимым.) Следует, однако, отчетливо понимать, что неприводимость многочлена существенно зависит от поля, над которым этот многочлен рассматривается. Над полем комплексных чисел, например, любой многочлен выше первой степени приводим,— этот результат ранее часто называли «основной теоремой алгебры».