Разрешимость задач на построение с помощью циркуля и линейки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение…………………………………………………………….……..…3 стр.

§1.Геометрическая часть теории………………………...…5 стр. – 8 стр.

1.1.Постановка задачи…………………………………………5 стр.

1.2.Построения циркулем и линейкой…………...……………6 стр.

§2.Перевод задачи на алгебраический язык……………..…9 стр.- 22 стр.

2.1.Основная лемма ……………………………………...….…9 стр.

2.2.Выводы………………………………………….…………15 стр.

2.3.Алгебраические рассмотрения…………………………...17 стр.

2.4.Случай многочленов третьей степени………………...…19 стр.

2.5.Теорема Гаусса……………………………………….……21 стр.

§3.Классические задачи………………………………...…23 стр. – 31 стр.

3.1.Удвоение куба………………………………………..……23 стр.

3.2.Трисекция угла………………………………………….…24 стр.

3.3.Построение треугольника по его биссектрисам……...…26 стр.

3.4.Построение правильных многоугольников…………...…28 стр.

3.5.Квадратура круга……………………………………….…30 стр.

Заключение………………………………………………………………….32 стр.

Литература…………………………………………………………….…….34 стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих  математиков ещё в 6-5 веках до нашей эры. Ими занимались почти  все крупные греческие геометры: Пифагор (6 век до н.э.) и его ученики, Гиппократ (5 век до н. э.), Евклид, Архимед,  Аполлоний (3 в. До н. э.), Папп (3 в. н. э.) и многие другие.  

Математики из школы Пифагора уже сумели справиться с такой  сравнительно сложной задачей, как  построение правильного пятиугольника. В 5 в. до н.э. возникли знаменитые классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла. Эти задачи, которые, как оказалось впоследствии, не разрешимы с помощью циркуля и линейки,    в    течение    многих    веков    вызывали    живейший    интерес    различных исследователей. В 4 в. до н. э. греческие мыслители разработали ту общую схему решения геометрической задачи на построение (анализ —построение— доказательство — исследование), которой мы пользуемся и поныне.

В 17—18 вв. разрабатывается  теория геометрических построений с  помощью различных инструментов, отличных от принятых древними. Уже Леонардо да Винчи (1452—1519) рассматривал построения с помощью линейки и циркуля постоянного размаха. Датчанин Мор (1672) и итальянец Маскерони (1797) изучали построения, выполняемые циркулем, и обнаружили, что циркуль позволяет решить всякую конструктивную задачу, разрешимую циркулем и линейкой. К не менее интересным выводам приходят основоположники проективной геометрии Штейнер (1833) и Понселе (1822), исследовавшие геометрические построения, выполняемые линейкой при наличии начерченной окружности с отмеченным центром и другими вспомогательными построениями.

В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область  математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.

Теория геометрических построений составляет теоретическую основу практической графики: многие чертежные приёмы опираются  на решение геометрических задач на построение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 1. Геометрическая часть  теории

1.1Постановка задачи

При строгом описании понятия  «построение с помощью циркуля и линейки» следует ясно представить себе ответ на три вопроса:

а) Что мы хотим построить?

б) Каковы исходные данные?

в) Какими средствами мы можем пользоваться?

Прежде всего, будем иметь в виду, что все наши построения проводятся на выбранной раз навсегда плоскости.

Для ответа на первый вопрос нужно проанализировать имеющиеся  в нашем распоряжении конкретные задачи. Этот анализ показывает, геометрическая часть теории, что главной целью решения всегда является построение конечного числа точек (на плоскости). Сама по себе задача, конечно, не всегда формулируется так. Однако нетрудно проверить, что любая задача сводится к такой.

Например, для отыскания  некоторой окружности достаточно построить  ее центр и одну из ее точек; для  отыскания прямой достаточно построить  какие либо две ее точки; задача трисекции  угла сводится к построению двух точек ( Р, Q на рис. 1), через которые проходят прямые, делящие угол на три равные части. Задача построения треугольника (по каким бы то ни было данным)

                              (рис .1)                              (рис.2)

сводится к задаче построения трех его вершин. Вообще задача построения многоугольника (в частности, квадрата, равновеликого кругу) сводится к задаче построения его вершин; но дополнительно нужно указать, какие отрезки, соединяющие пары точек, должны входить в число сторон многоугольника. (Рис. 2 на котором изображены два разные многоугольника с одними и теми же вершинами, показывает, что без этого указания ответ не может быть определен однозначно.). Задача удвоения куба сводится к задаче построения двух точек, отстоящих друг от друга на заданное расстояние (ребро куба, объем которого вдвое больше объема данного куба). Читатель может сам умножать количество примеров. В принципе, разумеется, могут быть задачи, для решения которых нужно в каком-то смысле найти бесконечно много точек (например, построить эллипс с заданными полуосями). Однако если они не сводятся к задаче об отыскании конечного числа точек, мы не станем их рассматривать [1].

Мы не станем также заниматься вопросом о дополнительных сведениях, которые нужно получить, когда  искомая конечная система точек  построена (например: указать пары точек, являющиеся смежными вершинами искомого многоугольника). Обычно эти сведения получаются прямым геометрическим рассмотрением чертежа.

Итак, мы принимаем следующий  ответ на вопрос: а) целью любой  задачи на построение является указание конечного числа точек на плоскости.

Теперь ответ на вопрос б) напрашивается сам собой: в качестве первоначальных данных у нас также должна иметься конечная совокупность точек на плоскости. В самом деле, для задания угла достаточно задать его вершину и две точки на сторонах; для задания окружности достаточно задать три ее точки или центр и одну точку; для задания квадрата достаточно задать его вершины и т. п.

 Итак, мы принимаем следующий ответ на вопрос б). Исходными данными любой задачи на построение является система конечного числа точек на плоскости [3].

1.2. Построения циркулем и линейкой

Перейдем теперь к вопросу в). Ответ на этот вопрос заключается в самом названии статьи: построение должно осуществляться с помощью циркуля и линейки. Следует лишь уточнить, что мы имеем право делать с помощью циркуля и линейки.

Удобно описать процесс  построения индуктивно. Мы начинаем с  конечного числа точек на плоскости  и хотим получить конечное число  точек на плоскости; процесс построения состоит в том, что к уже  имеющейся системе точек мы добавляем  по известным правилам еще некоторые, а затем отбираем среди всех получившихся точек те, которые доставляют решение нашей задачи. Вторая часть, конечно, определяется спецификой задачи; нас интересует сейчас, по каким правилам добавляются точки.

 Назовем шагом построения добавление одной новой точки к уже имеющимся. Отыскание этой новой точки производится в результате проведения некоторых операций; по определению, в построении циркулем и линейкой шаг может состоять только из следующих операций (причем операции 1 и 2 могут применяться несколько раз, а операция 3-один раз).

1.Проведение прямой через пару точек имеющейся совокупности. (Эта совокупность является результатом предыдущего шага или представляет собой первоначально заданную систему точек.)

2.Проведение окружности с центром в одной из точек имеющейся совокупности и проходящей через некоторую другую точку этой совокупности.

(Такие прямые и окружности  мы назовем построенными на  базе имеющейся совокупности  точек.)

3.Выбор одной точки пересечения построенных прямых и окружностей между собой и добавление этой точки к имеющейся совокупности.

Вместо операции 3, которая  представляет собой выбор определенной точки, иногда оказывается необходимым пользоваться операцией

За. Выбор «произвольной» точки и добавление ее к имеющейся  совокупности.

Следует уточнить здесь употребление слова «произвольный». По определению  это означает, что точку можно  «произвольно» выбирать либо на некотором  отрезке прямой, либо на дуге окружности, либо же в Части плоскости, ограниченной отрезками или дугами, и, возможно, уходящей в бесконечность. При этом все фигурирующие прямые и окружности должны быть построены на данном шаге, а концы отрезков и дуг должны быть точками имеющейся совокупности. Можно считать, конечно, что «произвольная» точка не должна лежать на концах отрезков и дуг или на границе упомянутой части плоскости [4].

Построением с помощью  циркуля и линейки называется последовательность. Состоящая из конечного числа описанных шагов.

Еще раз подчеркнем, что  при таком определении часть  реального геометрического содержания данной задачи может остаться в стороне.

Итак, пусть задана некоторая  конечная совокупность точек на плоскости; мы считаем, что точку А можно построить (с помощью циркуля и линейки), если существует такое построение, что (независимо от промежуточных «произвольных» выборов точек) система точек, полученная в результате этого построении, содержит точку 4. Задачу на построение мы считаем разрешимой, если совокупность точек, которые следует найти для решения этой задачи, состоит только из таких точек, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Теперь мы можем сформулировать и «основной вопрос теории построений с помощью циркуля и линейки». Дано конечное число точек на плоскости. Какие точки можно построить, исходя из них?

Мы уже упоминали, что  имеется точный ответ на этот вопрос (т. е. условия, необходимые и достаточные для возможности построения точки); существенную роль играет также частичный ответ, указывающий необходимые условия для того, чтобы точку можно было построить[1].

 

§ 2. Перевод задачи на алгебраический язык

2.1. Основная лемма.

Нам понадобятся некоторые  сведения из теории полей: определение  числового поля, конечного расширении и степени конечного расширения. Все эти сведения можно найти в статье «Кольцо многочленов и поле рациональных функций».

Кроме того, мы будем предполагать, что читатель знаком с геометрическим изображением комплексных чисел точками плоскости, при котором число a+bi (а,b-вещественные числа) изображается точкой с координатами (а,b) в фиксированной раз навсегда прямоугольной системе координат.

Это изображение будет  играть в дальнейшем основную роль. Именно мы отождествим плоскость, на которой проводятся все наши построения, с полем комплексных чисел. Говоря о сложении, умножении и других алгебраических операциях над точками, мы будем иметь в виду соответствующие операции над числами, которые изображаются этими точками. Описание всех точек, которые можно получить из данных посредством построения циркулем и линейкой, равносильно описанию всех отвечающих этим точкам чисел. Мы даже будем говорить, например, о принадлежности точки к некоторому полю и т. п.

Итак, пусть в числе  данных задачи содержится задание двух точек на плоскости. Выберем одну из этих точек в качестве начала координат 0, второй припишем координаты (1, 0) (т. е. число 1). (Кроме этих двух точек, в данные задачи могут входить  еще некоторые другие точки.) Проведем в точке 0 перпендикуляр к прямой, соединяющей 0 и 1, и отложим единичный отрезок по нему от начала координат. Все эти построения осуществляются с помощью циркуля и линейки; результатом построения является некоторая декартовая система координат, которую мы и будем использовать для сопоставления с точками комплексных чисел [5].

Теперь мы рассмотрим какое-нибудь одно (совершенно произвольное) построение циркулем и линейкой. В процессе этого построения строятся совокупности точек. Символом А_n мы обозначим совокупность n точек, которая получается на очередном шаге построения. Следующий шаг, тем самым, состоит в добавлении к совокупности А_n еще одной точки, т. е. в переходе к совокупности А_n+1. Обозначим символом К_n, наименьшее подполе поля комплексных чисел, содержащее число i, все числа из совокупности А_n и вместе с каждым числом содержащее сопряженное к нему число. Первым важным результатом является следующая основная лемма, устанавливающая связь между геометрическими операциями над точками и алгебраическими операциями над соответствующими им числами.