Аффинная связность

(II) — это дифференцирование относительно параллельного переноса. Пусть γ — кривая в М, причем Υ*(0)=t; пусть —такой базис слоя F над γ(u), что каждое е_i оказывается горизонтальным подъемом кривой γ, т. е. е_i(u) получается параллельным переносом вектора е_i(0) вдоль γ в γ(u). Определим вещественные С°°-функции f_i из разложения . Тогда

(III) соответствует производной в горизонтальном направлении некоторой функции на В(М), ассоциированной с X.

Для каждого  определим

Таким образом, — функция на со значениями в F. Заметим, что . Обратно, всякая -функция , такая, что , порождает сечение вида .

В этом случае столь же просто определить , как и . Пусть — единственный горизонтальный подъем поля Y в W, так что —единственная горизонтальная касательная, для которой . Тогда — сечение, ассоциированное с функцией .

Чтобы определить связность, достаточно задать ковариантное дифференцирование в касательном расслоении, поскольку первый вышеуказанный пример дает дифференциальное уравнение для параллельного переноса вдоль γ. Это дифференциальное уравнение линейно и, следовательно, имеет единственное решение при любом начальном условии.

Таким образом, аффинная связность определена, коль скоро любым , и векторному полю X отнесен элемент , такой, что

(I) линейно по t:

,

где ;

(II) если f — вещественная  С°°-функция на М, то

Иногда ковариантную производную удобно обратить, т. е. для каждого векторного С°°-поля X, заданного на открытом множестве , рассмотреть линейное преобразование , определенное на каждом М_m с по формуле . Связность тогда определяется заданием преобразования , удовлетворяющего условию, соответствующему (II): .

Выведем прямое соотношение между ковариантным дифференцированием векторных полей и формой связности на В(М). Оно зависит от некоторого локального сечения над Μ в В(М). Пусть — такие  векторные поля, определенные на открытом множестве , что отображение

является сечением . Для произвольных векторных полей и X на U определим

Ковариантная производная  поля Y в направлении X и форма связности φ связаны соотношением

(III) ,

где рассматриваются теперь как отображение R^d в М_m.

Так как φ известно на вертикальных касательных, а вертикальные касательные вместе с касательными вида порождают , то из формулы (III) φ определяется на всем и, значит, в силу эквивариантности, на всем .

 

2. Аффинное пространство n измерений

 

Исходным пунктом всех геометрических теорий являются свойства протяженности материальных тел  и притом в основном в том виде, как они были фиксированы в  старейшей геометрической теории –  в геометрии обычного трехмерного  евклидова пространства. В частности, и аффинная геометрия имеет тот  же источник; а именно, анализ различных  геометрических свойств обычного пространства показывает, что они не все равноценные  по степени своей устойчивости, по степени той прочности, с которой  они связаны с геометрическими  фигурами. Одни, как, например, отношение  любым образом расположенных  отрезков, величина угла, свойство фигуры быть кругом или шаром и т.д., сохраняются  лишь при движениях пространства как твердого тела; другие, более  устойчивые, как, например, отношение  параллельных отрезков, параллельность двух прямых, свойство фигуры быть прямой линией или плоскостью и т.д., сохраняются, кроме того, и при всех аффинных преобразованиях пространства. Этот, более глубоко лежащий и более прочно связанный с геометрическими фигурами класс свойств и образует аффинную геометрию.

2.1 Точечно-векторная  аксиоматика аффинного пространства

 

Основными понятиями, не подлежащими  прямому логическому определению, будут служить у нас точка  и вектор. Тогда нам достаточно признать следующие аксиомы.

1. Существует, по меньшей  мере, одна точка.

2. Каждой паре точек  А, В, заданных в определенном  порядке, поставлен в соответствие  один и только один вектор.

Этот вектор мы будем обозначать , но, если понадобится, будем пользоваться обозначением в виде отдельной (жирной) буквы a, x и т.п.

3. Для каждой точки  А и каждого вектора x существует одна и только одна точка В такая, что

Знак = между векторами мы будем понимать в смысле тождества.

Следует подчеркнуть, что  при наглядном истолковании нашей  аксиоматики вектор выступает не в виде направленного отрезка, а  в виде параллельного сдвига, которому подвергаются все точки пространства. Поэтому наглядный смысл аксиомы 2 состоит в существовании (единственного) параллельного сдвига, переводящего данную точку А в данную точку  В, а аксиома 3 в сущности означает, что каждый вектор x реализуется в виде сдвига, а именно, каждой точке А ставят в соответствие определенную точку В.

4. (Аксиома параллелограмма)  Если 

, то  .

Очевидно, наглядный смысл  аксиомы 4 в основном состоит в  том, что при равенстве и параллелизме одной пары противоположных сторон четырехугольника, то же имеет место  и для другой пары.

Перечисленные четыре аксиомы  образуют в известном смысле законченную  часть аксиоматики: остальные аксиомы  относятся к умножению вектора  на число и тем самым носят  иной характер. Поэтому, прежде чем  перечислять остальные аксиомы  рассмотрим следствия аксиом 1-4.

Теорема. Векторы и для любых точек A, B равны между собой:

Для доказательства достаточно применять аксиому 4, положив С=А, D=B. Тогда, очевидно, справедливо равенство (так как оно сводится к ), а следовательно, по аксиоме 4 справедливо и , то есть .

Теорема. Если , то

_{Доказательство. Применяя аксиому 4 к  , получим , или, что то же, , откуда снова в силу аксиому 4 следует}

_{Теорема. Вектор x+y не зависит от выбора точки А (так что сложение векторов – операция однозначная).}

_{Доказательство. Повторим построение суммы при другом выборе точки А  и, следовательно, с  другими точками  В и С. Новые  точки будем обозначать штрихованными буквами. Тогда аналогично}

_причем

Отсюда согласно аксиоме 4 следует, что

Применяя снова аксиому 4 к равенству

получаем:

_{т.е. результат  сложения векторов x, y не зависит от выбора начальной точки А.}

_{Теорема. Сложение векторов – операция коммутативная:}

_x+y=y+x

_{Доказательство. Из произвольной точки А откладываем (аксиома 3) , затем , так что}

,

_{кроме того, из той же точки  А откладываем} 

_{Так как  , то (аксиома 4) , т.е.}

_{Можно считать, что из точки  А отложен сначала  , а затем , так что по определению сложения}

_{Сравнивая равенства получаем:}

_{Теорема. Сложение векторов – операция ассоциативная:}

_{(x+y)+z=x+(y+z)}

_{Доказательство  буквально такое  же, как и в элементарной векторной алгебре; повторять его  мы не будем.}

_{Ассоциативность сложения при любом  числе слагаемых  векторов является простым  следствием соотношения  (x+y)+z=x+(y+z).}

_{Короче  говоря, сложение векторов, как оно у нас  установлено, обладает всеми обычными свойствами. В дальнейшем мы будем  обращаться с ним  столь же непринужденно, как и в обычной  векторной алгебре.}

_{Отметим, в частности, что} 

_{Действительно, представим вектор x как , а вектор - как . В силу , и тем самым .}

_{Далее, всегда справедливо  равенство}

_{Действительно, представим x как ; тогда – x по определению представиться как ; но , а значит, .}

_{Теорема. Вычитание – всегда выполнимая и притом однозначная операция.}

_{Доказательство. Допустим сначала, что  разность z найдена. Добавим к обеим частям вектор –y получим:}

_{z+y+(-y)=x+(-y)}

_{В силу ассоциативности  сложения можно в  левой части сложить  сначала y и –y. Это дает в силу , после чего согласно в левой части остается просто z. Получаем в результате}

_z=x+(-y),

_{т.е. если разность z существует, то она обязательно имеет такой вид. Остается показать, что x+(-y) действительно есть разность. Это легко проверить, складывая x+(-y) с y и убеждаясь, что в результате получается x. Итак,}

_x-y=x+(-y)

_{Отметим, в частности, что}

_x-x=x+(-x)=

 

3. Задачи

 

Задача 1. Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием. 

Решение. Нам надо доказать, что если A', B', C' — образы точек A, B, C при растяжении относительно прямой l с коэффициентом k и точка C лежит на прямой AB, то точка C' лежит на прямой A'B'. Пусть . Обозначим через A₁, B₁, C₁ проекции точек A, B, C на прямую l, и пусть , , , , , , ,  . Из того, что при проекции на прямую l сохраняется отношение длин пропорциональных векторов, следует, что y=tx и y+(c-a)=t(y+(b-a)). Вычитая первое равенство из второго, получаем (c-a)=t(b-a). По определению растяжения a' = ka, b' = kb, c' = kc, поэтому   = y + k(c - a) = tx + k(t(b - a)) = t(x + k(b - a)) = t . 

Задача 2. Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.

Решение. По определению образы прямых — прямые, а из взаимной однозначности аффинного преобразования следует, что образы непересекающихся прямых не пересекаются. 

Задача 3. Пусть A₁, B₁, C₁, D₁ — образы точек A, B, C, D при аффинном преобразовании. Докажите, что если  , то .

Решение. Пусть . Рассмотрим сначала случай, когда точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Тогда ABCD — параллелограмм. Из предыдущей задачи следует, что A₁B₁C₁D₁ — тоже параллелограмм, поэтому . Пусть теперь точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Возьмем такие точки E и F, не лежащие на этой прямой, что . Пусть E₁ и F₁ — их образы. Тогда .

Задача 4. Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке. 

Решение. Поскольку аффинным преобразованием любой треугольник переводится в правильный и при этом сохраняются отношения длин параллельных отрезков, достаточно доказать утверждение задачи для правильного треугольника ABC. Пусть точки A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ делят стороны треугольника на равные части, а A', B', C' — середины сторон (рис.). При симметрии относительно AA' прямая BB₁ перейдет в CC₂, а прямая BB₂ — в CC₁. Поскольку симметричные прямые пересекаются на оси симметрии, AA' содержит диагональ рассматриваемого шестиугольника. Аналогично оставшиеся диагонали лежат на BB' и CC'. Ясно, что медианы AA', BB', CC' пересекаются в одной точке. 

Задача 5. На сторонах AB, BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K, L и M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c, d — прямые, проходящие через B, C, D параллельно прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что прямые b, c, d проходят через одну точку.

Решение. Любой параллелограмм аффинным преобразованием можно перевести в квадрат. Поскольку при этом сохраняются отношения длин параллельных отрезков, достаточно доказать утверждение задачи в случае, когда ABCD — квадрат. Обозначим через P точку пересечения прямых b и d. Нам достаточно доказать, что PC|MK. Отрезок KL переходит в LM при повороте на 90^o вокруг центра квадрата ABCD, поэтому прямые b и d, которые соответственно параллельны этим отрезкам, перпендикулярны; значит, P лежит на окружности, описанной вокруг ABCD. Тогда CPD= CBD=45^o, следовательно, угол между прямыми CP и b равен 45^o, но угол между прямыми MK и KL тоже равен 45^o, и b| KL, следовательно, CP|MK.  

 

Заключение

 

До последнего времени  риманова геометрия и основы топологии не входили в программы обязательного университетского математического образования даже для математических факультетов. Раньше существовали (и до сих пор существуют кое-где) курсы классической дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, на которые все постепенно стали смотреть как на анахронизм. Однако до сих пор нет единой точки зрения на то, как именно эти курсы следует модернизировать, какую часть современной геометрии следует считать общеобязательным элементом современной математической культуры, сколь абстрактным должен быть язык ее изложения.