Аффинная связность

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Поволжская государственная  социально-гуманитарная академия»

(ПГСГА)

Факультет математики, физики и информатики

 

Кафедра математики и методики обучения

 

 

 

Курсовая работа по геометрии

 

Тема: Аффинная связность

 

 

 

 

 

Выполнил: студент 4 курса ФМФИ

группы М-4-Б

Бутусов Андрей Александрович

Научный руководитель:

Миккенберг М.А.

 

 

 

 

 

Курсовая работа

сдана___________________

(число, подпись руководителя)

Курсовая работа

защищена_______________

(число)

Оценка_________________

Подписи

Членов комиссии__________

_________________________

_________________________

 

 

 

 

Самара, 2012

План

 

Введение 3

1. Аффинные  связности 4

1.1 Определения 4

1.2 Структурные  уравнения аффинной связности 6

1.3 Экспоненциальные  отображения 8

1.4 Ковариантное  дифференцирование и классические  формулировки 10

2. Аффинное  пространство n измерений 14

2.1 Точечно-векторная  аксиоматика аффинного пространства 14

3. Задачи 19

Заключение 22

Список использованной литературы 23

 

 

Введение

 

Данная курсовая работа посвящена  теории пространств аффинной связности, которые содержат в себе как частный случай пространства метрической и евклидовой связности. Термин «аффинная связность» заимствован у Вейля¹, но он употребляется здесь в более общем значении. Пространство аффинной связности является многообразием, которое в непосредственной близости каждой точки имеет все свойства аффинного пространства, и для которого установлен закон соответствия областей,- окружающих две бесконечно близкие точки: это значит, что если в каждой точке задана декартова система координат с началом в этой точке, то известны формулы преобразования (той же природы, что и в аффинном пространстве), позволяющие переходить от одной системы отнесения к любой другой, имеющей начало в бесконечно близкой точке. В теории Вейля это соответствие ограничено априори требованием, чтобы в окрестности каждой точки существовала система координат, которую он называет геодезической, хотя логическая необходимость этого требования не является очевидной. Разница, существующая между многообразием аффинной связности и собственно аффинным пространством, выражается в аффинном перемещении, соответствующем бесконечно-малому замкнутому контуру; это перемещение можно разложить на трансляцию и вращение; трансляция определяет кручение, вращение— кривизну многообразия. В теории Вейля кручение равно нулю. Все эти понятия переносятся на пространства метрической и евклидовой связности; классическая теория римановых пространств является не чем иным, как теорией многообразий евклидовой связности и нулевого кручения; эта теория служит основой общей теории относительности, созданной Эйнштейном.

 

1. Аффинные связности

1.1 Определения

 

Пусть Μ — многообразие, В(М)—его расслоение базисов. Связность на В (М) называется аффинной связностью. Поскольку всякую связность на подрасслоении расслоения В(М) можно продолжить до аффинной связности с помощью правого действия группы GL(d, R), то такая связность также называется аффинной связностью.

Параллельный перенос в расслоении В(М), заданный аффинной связностью, порождает параллельный перенос в касательном расслоении, или параллельный перенос касательных вдоль кривых.

Если γ — кривая в  Μ и , то параллельный перенос касательной t вдоль γ в точку n= γ (u) происходит следующим образом: пусть γ — единственный горизонтальный подъем кривой γ, проходящий через , где . Тогда если γ(S) = (γ(S), и , то является, по определению, параллельным переносом t. Легко проверить, в силу инвариантности связности относительно правого действия, что это преобразование не зависит от выбора b над m.

На В(М) всегда определены некоторые горизонтальные 1-формы, не зависящие ни от какой связности на этом расслоении. Определим l-формы смещения следующим образом. Пусть , где .

Тогда

Иначе, эти  можно рассматривать как одну -значную 1-форму ω вида

Лемма 1. Форма смещения удовлетворяет следующим условиям:

,

(II) ω горизонтальна,

(III) ω эквивариантна, т. е. для каждого

,

причем в правой части g считается действующим слева в .

Доказательство (II) очевидно. Для доказательства (III) возьмем

Имеем

Далее,

так что 

Отсюда  , как и утверждалось.

Доказательство свойства (I) прямое. Пусть y_i, y_jk— координаты произведения на координатной окрестности в В(М). Нам нужно показать, что и принадлежат . В силу (II), , поэтому надо рассмотреть лишь . Но

, где . Следовательно,

Ч.Т.Д.

Формой кручения Ω аффинной связности H на В(М) называется -значная 2-форма

Легко проверить, что Ω  — горизонтальная С°°-форма, являющаяся эквивариантной, т.е.

Свяжем теперь формы кривизны и кручения с базисными векторными полями данной связности.

Лемма 2. Пусть . Тогда

,

т. е. кривизна и кручение оказываются вертикальной и горизонтальной составляющими скобки двух базисных векторных полей.

Доказательство. Покажем, что ω и φ, примененные к обеим частям равенства, дают одну и ту же функцию; этого достаточно, поскольку ω и φ — параллелизующие формы, т. е. двойственны к множеству параллелизующих векторных полей. Вычисление правой части нетрудно, поскольку вертикально, а Е (z) горизонтально:

Чтобы применить φ и ω к левой части, воспользуемся инвариантными формулами для внешних производных .

1.2 Структурные уравнения аффинной связности

 

Пусть Η — аффинная связность на В(М). Пусть φ, ω, Φ, Ω — ее 1-форма связности, форма смещения, форма кривизны и форма кручения соответственно.

Теорема. Имеют место равенства

Эти равенства называются первым и вторым структурными уравнениями связности.

Доказательство. Второе структурное уравнение — это просто структурное уравнение для связности на главном расслоении. Для вывода первого структурного уравнения докажем следующий более общий результат.

Теорема. Пусть θ есть -значная эквивариантная горизонтальная p-форма на В(М), тогда

Доказательство. Мы вычисляем обе части равенства на векторных полях , взятых из совокупности векторных полей, локально порождающих касательное пространство к В(М). Рассмотрим те же случаи, что и прежде.

(I) Никакое У_i- не вертикально. Можно предположить, что все Y_i горизонтальны. Но тогда член φθ обращается в 0 и остается вспомнить определение Dθ.

(II) Одно Υ_i вертикально. Предположим, что Υ_ρ+1=λΧ, . Как и раньше, выберем правоинвариантные горизонтальные У_i так, что [Υ_i,λΧ]=0, i=1,…,р. Тогда,

Представим φ как матричную операцию на R^d, получим

С другой стороны, Dθ(Y_i, ..., Υ_ρ, λΧ)=0, так как Dθ горизонтально, поэтому правая часть дает -

Таким образом, обе части  равенства приводят к одинаковым результатам.

(III) Два из Y_i вертикальны. В этом случае все обращается в нуль, и равенство выполняется автоматически. Ч. Т. Д.

 

 

1.3 Экспоненциальные отображения

 

Экспоненциальное отображение в точке — это некоторое отображение окрестности U нуля пространства М_m в многообразие Μ

Для тех  , для которых определено, оно задается следующим образом. Пусть геодезическая γ в Μ (однозначно) определена условиями γ(0)=m, γ_* (0) = t. Тогда

Заметим, что  при вещественном u, если только γ(u) существует. Область определения - это открытое подмножество в М_m, звездное относительно в том смысле, что вместе со всякой своей точкой t оно содержит и весь отрезок прямой от 0 до t.

Кроме этого экспоненциального отображения рассмотрим также некоторый подъем в В(М). Для c определим , где -  единственный горизонтальный подъем кривой γ через b.

Так как γ — геодезическая, то — интегральная кривая поля Е(х), где bx= γ_* (0) = t .

Мы покажем, что , так чтo . Отсюда немедленно следует, что ехр_m осуществляет диффеоморфизм своей области определения на окрестность точки m, так как образом d exp_m служит все М_m: действительно, если — базис в М_m, а — сопряженный базис, то причем размерности М_m и Μ одинаковы.

Теорема.

Доказательство. Проведем его в несколько более общем виде. Рассмотрим аффинное расслоение А (М) над М, т. е. расслоение, пространство которого состоит из пар , а проекцией служит . Это многообразие с очевидной дифференцируемой структурой. Определим отображение

 

равенством 

Каждое  дает векторное поле на В(М). Очевидно, F есть С°°-отображение. В силу теорем из приложения о дифференциальных уравнениях,  существует С°°-отображение G окрестности в В(М), заданное формулой G(u, b, с, t)= γ(u), где γ — интегральная кривая поля с γ(0)=b. Тогда

Следствие. Отображение  вида

определено на некоторой  окрестности тривиального сечения расслоения Т(М) и принадлежит С°°.

Доказательство. Пусть , выберем С°°-сечение χ над окрестностью m в В(М). Тогда на этой окрестности отображение

в принадлежит С°° и

Аффинная связность называется полной, если все геодезические можно неограниченно продолжать, т. е. если каждое экспоненциальное отображение определено на всем касательном пространстве. Это эквивалентно тому, что локальная группа преобразований многообразия В(М), порожденная базисным· векторным полем Е(х), продолжается до глобальной однопараметрической группы преобразований многообразия В(М). Полнота в смысле римановой связности эквивалентна полноте в смысле римановой метрики.

Координатное отображение , называется нормальным координатным отображением в точке , если прообразы лучей, проходящих через , являются геодезическими (луч — это прямая линия вида , .

Выбрав базис  с , отождествим с М_m. Комбинируя это отождествление и ехр_m, с помощью теоремы доказанной выше убеждаемся, что отображение служит обратным для нормальной координатной системы в точке m.

В нормальной координатной окрестности N, области определения нормального координатного отображения φ, всякую точку можно соединить с единственной геодезической в N.

Отметим, что если и кривизна, и кручение обращаются в нуль, то, существуют координатные системы, обратные к которым переводят произольные прямые из в геодезические; таким образом, эти координатные системы нормальны относительно каждой из своих точек. Это аффинный вариант локальной изометрии плоского риманова многообразия с евклидовым пространством.

1.4 Ковариантное  дифференцирование и классические  формулировки

 

С помощью параллельного переноса в Т(М) можно определить частные производные векторных полей. Вообще это можно сделать в любом векторном расслоении, ассоциированном с В(М): представление группы Gl(d, R) на векторном пространстве F порождает понятие ковариантного дифференцирования сечений ассоциированного расслоения со слоем F. Дадим несколько определений, отвлекаясь от вопросов эквивалентности и независимости от выбора кривой. Фиксируем аффинную связность H с формой φ.

Пусть (W, F, G, М) — векторное расслоение, ассоциированное с В(М), со слоем F и группой G = Gl(d, R).

Тогда каждое порождает такой изоморфизм F на слой над в W, что b(gf) = (bg)f при . Пусть U—окрестность точки - сечение над U и . Мы дадим несколько определений , ковариантной производной сечения X по направлению t. Часто также используется и обозначение D_tX. Прежде всего, будет элементом слоя W над m. Если Y — векторное поле на U, то будет обозначать сечение над U, заданное формулой ; это ковариантная производная X по направлению Y(n).

(I) измеряет, насколько X не горизонтально в направлении t. Точнее, сравниваются подъем вектора t, порожденный сечением X, а именно dXt, и горизонтальный подъем H'(dXt) вектора t, где H' — связность на W, индуцированная аффинной связностью на В(М). Так как слои в W — векторные пространства, то тем способом, которым векторное пространство обычно отождествляется со своими касательными пространствами, отождествим вертикальные касательные с элементами этих слоев. После отождествления определим