Разработка модели изменения состояния объекта в фазовом Гильбертовом пространствах

 

Концептуальная  модель изменения пространственно-временного состояния объекта в трехмерном пространстве.

Создание системы  контроля состояний объекта делает необходимым формулирование следующих  задач:

1. оперативное предоставление объективной информации о состоянии объекта в целом;
2. определение выхода состояния объекта за критический уровень;
3. определение границ структурных частей объекта;
4. прогнозирование будущего состояния объекта.

Решение этих задач невозможно без применения методов системного анализа,который  дает объективную информацию об изменении всего объекта и его частей. Процедура декомпозиции системы имеет иерархическую структуру, состоящую из k уровней детализации. При этом величина kзависит как от степени сложности самого объекта, так и от вида, скорости движения, влияющего на изменение его состояния, и имеет предельное значение ,  где – количество точек системы. Критерием принятия решения о переходе от уровня к уровню является проверка условий выхода состояния объекта за предельно допустимые  границы.

 

Следуя структурной  схеме (рисунок 1) рассмотрим процедуру  декомпозиции  на  примере модели объекта  (рисунок 2).

 

Поток сигналов X,Y,H, поступающих на вход системы

 

I уровень декомпозиции

1.Анализ функции  изменения состояния объекта в фазовом пространстве

2.Анализ функции  изменения состояния объекта  в гильбертовом пространстве

3 Статистический  метод оценки изменения пространственно-временного  состояния объекта 

4.Принятие решения  о переходе на II уровень декомпозиции

 

II уровень декомпозиции

1.Определение  границ структурных частей блоков

2.Анализ функции  изменения состояния объекта  в фазовом пространстве

3.Анализ функции изменения  состояния объекта в гильбертовом  пространстве

4Статистический метод  оценки изменения пространственно-временного состояния объекта

5.Сравнительный анализ  изменения состояния структурных  частей объекта

 

 

Рис. 2 Структурная схема алгоритма процедуры декомпозиции

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2 –Модель объекта

 

Во все времена  информация имела огромную ценность и представляла собой основу знания человека. В результате взаимодействия объектов между их состояниями устанавливается определенное соответствие, и чем сильнее оно выражено, тем больше информации один объект содержит о другом. Для того, чтобы установить это соответствие, необходима система, которая на основе данных об объекте объективно и правильно отображала бы его состояние. Главной целью этой системы является извлечение информации, а основными задачами являются: сбор данных об объекте, возможность применения методов и средств их обработки, хранение и передача информации. В современной интерпретации речь идет об информационной системе.

Объекты информационных систем характеризуются структурной сложностью, неоднородностью, сопровождающейся большим количеством параметров и характеристик. Это обстоятельство делает необходимым применение иерархических схем моделирования, которые позволяют рассматривать любой объект в виде совокупности блоков , каждому из которых приводится в соответствие множество его возможных состояний где – номер момента времени из периода .

В модели для  каждого блока  фиксируется момент перехода в новое состояние . В результате, образуется массив состояний, отображающий динамику функционирования модели системы по времени. Блоки модели могут быть представлены отдельными программными модулями. Работа каждого такого модуля воспроизводит работу всех однотипных блоков, а их количество эквивалентно числу блоков.

В основном информационные системы оперируют объектами  дискретного типа: дискретные производственные процессы, каналы передачи данных и т. д. В геодезической сфере деятельности к дискретным процессам относится наблюдение за движением системы геодезических знаков во времени и пространстве.

Рассмотрим  типовую схему моделирующего  алгоритма на примере объекта (рисунок 2) по геодезическим данным.

На рисунке 3 представлена типовая схема моделирующего  алгоритма, построенная по блочному принципу. Схема состоит из четырех модулей.

Рисунок 3 –  Типовая схема моделирующего  алгоритма

Согласно  математическому описанию модели изменения  состояний объектов по геодезическим  данным, содержание программных модулей  следующее:

• модуль 1 – формирование начальных значений состояний объекта:

а) начальные значения состояния объекта

б) начальные значения состояния объекта для одного прогона модели (указываются отметки марок из множеств , , учитываемых при анализе состояния объекта для одного прогона (рисунок 3));

• модуль 2 – определение очередного момента изменения состояния объекта, где и выбор блока ;
• модуль 3 – логическое переключение:

а) переход  по номеру блока  и по времени Т (принятие решения о завершении прогона);

б) фиксирование информации о переходе системы (блока) из состояния в состояние (в графической интерпретации выражается очередной точкой функции, определяющей состояние объекта в фиксированный момент времени с фазовыми координатами M и , эквивалентными значениям множества отметок геодезических знаков);

в) завершение прогона, если ;

• модуль 4 – управление и обработки информации:

а) проверка точности результатов моделирования (расчет предельно допустимых границ, в рамках которых состояние объекта  можно считать устойчивым);

б) окончательная  обработка информации и подготовка результатов моделирования к передаче на выход модели системы.

Данная схема  моделирующего алгоритма является укрупненной и в разных случаях  может быть уточнена и дополнена  модулями для варьирования структурой объекта.

Модель  изменения  состояния объекта в фазовом и Гильбертовом пространствах.

В качестве формальной модели объекта принята модель динамической системы

,                           (1)

 

где  – множество входных сигналов;

 – множество выходных  сигналов;

 – пространство состояний  системы;

 – отображение перехода системы из состояния в состояние в результате потока входной информации;

 – отображение выхода  системы.

 

Задача структурного анализа объекта сводится к содержательному  определению элементов модели (1).

Исходными данными для  решения этой задачи, служит массив высотных координат контрольных точек объекта, т.е. состояние объекта в момент определяется  высотными координатами точек. Следовательно, множество состоит из скалярных функций (2).

 

      (2)

Пространство  состояний системы контрольных точек объекта определяется как декартово произведение всех элементов этого множества. Размерность пространства равна числу контрольных точек.

Каждому циклу наблюдений с номером  в пространстве состояний соответствует точка, радиус-вектор которой

,                                           (3)

где – орт-векторы базиса -мерного пространства состояний.

Таким образом, функция  есть отображение, которое множеству входных сигналов ставит в соответствие фазовую точку (элемент ) пространства состояний. Эта точка и представляет состояние объекта в цикле с номером . Множество точек, радиус-векторы которых определяются вектор-функцией (3) в каждом цикле наблюдений, образует в фазовом пространстве фазовую траекторию, которая представляет собой явную функцию координат и времени, характеризующую изменение состояния объекта от цикла к циклу.

Однако,  для адекватной оценки состояния  объекта в пространстве и времени, кроме высотных координат контрольных  точек объекта, необходимо учитывать  и плановые координаты x, y.

Имея для  каждой контрольной точки массив данных на множество циклов измерений, анализ изменения положения объекта  относительно системы координат  сводится к анализу вектор-функции:

 

.     (4)

 

Таким образом, анализируя вектор-функцию (4) для каждой контрольной точки, делают выводы о закономерностях изменения положения объекта.

Множество X={x,y,z,…} называется метрическим пространством X, если на совокупности упорядоченных пар (x,y) элементов этого множества определена неотрицательная функция ρ(x,y), называемая расстоянием (или метрикой).

Элементы метрического пространства называются точками.

Для множества  всевозможных последовательностей x={x_n} действительных чисел:

.      (5)

 

Каждая такая последовательность называется точкой пространства, а  числа x_n, n=1,2,…, - ее координатами. Расстояние между двумя точками x={x_n} и y={y_n} определяется по формуле:

.     (6)

 

При любом натуральном mв пространстве R^m для точек (x₁,…,x_m), (y₁,…,y_m),  (z₁,…,z_m), справедливо неравенство треугольника:

 

.         (7)

 

Метрическое пространство всех действительных последовательностей, удовлетворяющих условию (5), с метрикой (6) называется гильбертовым пространством  последовательностей и обозначается l₂ .

Используя принцип  сжимающего пространства можно преобразовать n-мерное метрическое пространство в 3-х мерное.

Положение точки  в 3-х мерном пространстве определяется координатами X,Y,Z, которые вычисляются по формулам:

 

,                (8)

 где   ,   (9)

 

X,Y,Z – координаты точки фазовой траектории; x,y,z – координаты контрольных точек системы;   m – количество контрольных точек.

По заданной математической модели  изменения  состояния объекта в фазовом  пространстве (3) построить график функции  , где

,      (10)

Таб. 4а Значения α(t), μ(t) для построения графика изменения состояния объекта в фазовом пространстве по X .

172,8130	0
172,9162	0,000362
172,8974	0,00042
172,9207	0,000418
172,9216	0,000322
172,9004	0,000341
172,9142	0,000335
172,9353	0,000412
172,9123	0,000433
172,8898	0,000346
172,8975	0,000432
172,9084	0,000295
172,9231	0,000449
173,0032	0,000356

Рис. 5a. График состояния объекта в фазовом пространстве

.

Таб. 4б Значения α(t), μ(t) для построения графика изменения состояния объекта в фазовом пространстве по Y .

310,3421	0
310,4262	0,000157
310,4387	0,000302
310,4103	0,000201
310,4384	0,000211
310,4394	0,000273
310,4344	0,000273
310,3980	0,000204
310,4414	0,000173
310,4312	0,000258
310,4270	0,000255
310,4338	0,000254
310,4213	0,00024
310,5146	0,000326