Задачи по финансовой математике

      Поскольку, как уже отмечалось, общая формула  реальной ставки процента, применимая при любых темпах инфляции:

то следует  различать реальную ставку процента ex ante и реальную ставку процента ex post.  Приведенная формула – это формула реальной ставки процента ex ante. Реальная ставка процента ex ante – это реальный доход, который рассчитывает получить кредитор, предоставляя кредит, поэтому она определяется величиной ожидаемого темпа инфляции (p^e). Реальная ставка ex post – это реальный доход, который получает кредитор при возвращении кредита, поэтому она определяется фактическим темпом инфляции (p _факт) и может быть рассчитана по формуле:

• от  рабочих к фирмам. Утверждение о том, что непредвиденная инфляция работает как налог на будущие поступления и как субсидия на будущие выплаты, применено к любому контракту, который продолжается во времени, в том числе контракт найма на работу (labor contract). Когда инфляция выше, чем ожидалось, те, кто получает деньги в будущем (рабочие) несут ущерб, а те, кто платит (фирмы), выигрывают. Поэтому фирмы выигрывают за счет рабочих, когда инфляция больше, чем ожидается. Когда инфляция меньше, чем ожидалось, выигравшие и проигравшие меняются местами.
• от людей с фиксированными доходами к людям с нефиксированными доходами

  Люди  с фиксированными доходами (например, государственные служащие, а также  люди, живущие на трансфертные выплаты) не могут предпринять меры по увеличению своих номинальных доходов, и в периоды непредвиденной инфляции (если не проводится индексация доходов) их реальные доходы быстро падают. Люди с нефиксированными доходами имеют возможность увеличивать свои номинальные доходы в соответствии с темпом инфляции, поэтому их реальные доходы могут не уменьшиться или даже увеличиться.

• от людей, имеющих накопления в денежной форме, к людям, не имеющим

  накоплений. Реальная ценность накоплений по мере роста темпов инфляции падает, поэтому реальное богатство тех людей, кто его имеет в денежной форме, уменьшается.

• от пожилых к молодым. Пожилые страдают от непредвиденной инфляции в

  наибольшей степени, поскольку, с одной стороны, они получают фиксированные доходы, а, с другой, они, как правило, имеют накопления в денежной форме. Молодежь, имея возможность увеличить свои номинальные доходы и не имея денежных накоплений, страдает в наименьшей степени.

• от всех экономических агентов, имеющих наличные деньги,  к государству. От непредвиденной инфляции в определенной  степени страдает все население.

  Обогащается же всегда только один экономический  агент – государство. Выпуская в  обращение дополнительные деньги (производя  эмиссию денег), государство тем  самым устанавливает, как уже  отмечалось, своеобразный налог на наличные деньги, который называется сеньораж. Государство покупает товары и услуги, а расплачивается обесценивающимися деньгами, т.е. деньгами, покупательная способность которых тем ниже, чем больше дополнительных денег выпущено в обращение. Разница между покупательной способностью денег до эмиссии и после и есть доход государства от инфляции - сеньораж.

    Наиболее  серьезные и разрушительные последствия имеет гиперинфляция, которая приводит:

1. к краху финансовой системы (деньги перестают иметь значение и происходит переход к бартеру);
2. к разрушению благосостояния (реальные доходы катастрофически сокращаются);
3. к нарушению и разрушению инвестиционного механизма (инвестиции в производство имеют долгий срок окупаемости и в условиях стремительного обесценения денег неэффективны). Причиной гиперинфляции служит огромное увеличение денежной массы с целью финансирования расходов государственного бюджета за счет сеньоража, что связано либо с войнами, либо с невозможностью профинансировать большой дефицит бюджета иными (неинфляционными, т.е. неэмиссионными способами).

Задачи:

Задание 2.Фирма договорилась с банком о выделении кредита в 600000 руб. на год  под 40% годовых без учета инфляции. Проценты простые. Ожидаемый годовой уровень инфляции 36%. Определите процентную ставку с учетом инфляции, коэффициент наращения и дисконт банка.

Условие:

Р=600000 руб. , i= 40 % ; h = 36% ; n = 1

r - ? q -?  D -?

Решение:

   

    =

  

Задание 3.Коммерческий банк принимает вклады населения на депозиты сроком на 90 дней, обещая доход 24% годовых. Годовой уровень инфляции 48%. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции, коэффициент наращения. Количество дней в году 365.

Условие:

K= 365 дней , i= 24 % ; h = 48% ; t = 90

r - ? q -?

Решение:

  

  =  

Задание 4.Знаменитый американский ученый и государственный деятель Бенджамин Франклин завещал жителям города Бостона 1 тыс. фунтов стерлингов на следующих условиях:

• деньги давать под 5% годовых молодым ремесленникам;
• через сто лет из накопленных денег (с учетом процентов на проценты) 100 тыс. фунтов стерлингов пустить на строительство общественных зданий;
• оставшиеся после этого деньги отдать под те же проценты еще на 100 лет;
• по истечении этого срока накопленную сумму разделить между бостонскими жителями и правлением Масачусетской общины, которой передать 3 млн. фунтов стерлингов.

Сколько денег должно было достаться бостонским жителям через 200 лет после смерти Б. Франклина

Условие:

Р= 1000 £ , i= 5 % ; n₁ = 100 лет; n₂ = 100 лет;R₁ = 100 000£; R₂ = 3000000£

S₄ - ?

Решение:

  S₁=1000*(1+0.05)¹⁰⁰=131501.2579 £

S₂=S₁-R₁=131501.2579-100000=31501.2579£

S₃=31501.2579*(1+0.05)¹⁰⁰=4142455.038 £

S₄=S₃-R₂=4142455.038-3000000=1142455.038£ 

Задание 5.Предприятию выделен кредит в 50000 $ сроком на 2 года. Реальная ставка доходности по кредиту  - 18% годовых. Проценты простые. Ожидаемый уровень инфляции – 17%. Определите, какую процентную ставку по кредитам применит банк, и наращенную сумму.

Условие:

Р= 50000 $ , i= 18 % ; n = 2года; h = 17%

S- ? r - ?

Решение:

  

    

Задание 6. Клиент внес в банк 10000 руб. на 2 года. Процентная ставка – 24%. Налог на проценты – 15%. Требуется определить сумму налога и наращенную сумму в случае простых процентов.

Условие:

g=15%, i= 24 % ; P=10 000 руб., n = 2года

G- ? S” - ?

Решение:

  S=10000*(1+2*0.24)=14800 руб.,

руб.,

G=S-S”=14800-14080=720 руб.

Задание 7. Определите наращенную сумму вклада в 3000 руб. при сроке вклада 2 года по номинальной процентной ставке 40% годовых. При начислении процентов:

а) один раз в год;

б) по полугодиям;

в) поквартально;

г) ежемесячно

Условие:

P=3000 руб., n = 2года; j=40%

S - ?

Решение:

а)m=1      руб.,

где m- число периодов начисления в год, N –общее число периодов начисления.

б)m=2      руб.

в)m=4      руб.

г)m=12      руб.

Задание 8. Определите фактор текущей стоимости авансового аннуитета, возникающего 23 раза при ставке дисконта 6% годовых.

Условие:

n = 23; i=6%

FM - ?

Решение:

 

Задание 9. Определите фактор периодического взноса на погашение кредита, если ставка 24%, а число взносов –15.

Условие:

n = 15; i=24%

FM - ?

Решение:

Фактор  периодического взноса на погашение  кредита равен:

Задание 10 Используя правило «72», определите период, необходимый для удвоения начального вклада в сумме 500 тыс. руб. при ежегодном начислении  12% годовых.

Условие:

P=500 000 руб., N = 2; i=12% S = 2P

к - ?

Решение

         «Правило 72-х» заключается в следующем: если r – процентная ставка, выраженная в процентах, то k = 72 / r представляет число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. 

 

Задание 11 Какую сумму необходимо положить на депозит под 10% годовых, чтобы затем 5 раз снять по 200 тыс. руб. Определить по таблице шести функций сложного процента и методом депозитной книжки.

Условие:

S=200 000*5=1000000 руб., n = 5; i=10% m = 1

P - ?

Решение

а)   

q определяем по таблице шести функций сложного процента (n=5, i=10%)., q = 1.61051, отсюда руб.,

б) = руб.

Задание 12 Определить фактор текущей стоимости авансового аннуитета, возникающего:

а) 10 раз при ставке дисконта 12%, ежегодное  начисление процента;

б) 6 раз  при ставке дисконта 24%,ежегодное  начисление процента;

Условие:

а) n =10; i=12%

б) n =6; i=24%

P - ?

Решение

а)  

б)

Задание 13 Стоимость пятилетнего обучения в вузе составляет 90 тыс. руб. Плата перечисляется ежегодно равными долями. Какую сумму необходимо положить в банк, начисляющий раз в год процент по ставке  10% годовых, если по условиям договора банк принимает на себя обязательства по перечислению в вуз платы за обучение.