Модель Хольта Уинтерса и Дарбина Уотсона

Федеральное государственное  образовательное бюджетное учреждение 
высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»

(Заочный финансово-экономический  институт)

 

 

 

 

Контрольная работа

 

 

 

 

 

Дисциплина «Финансовая математика»

Вариант № 5

Выполнила студентка: Лепахина Я.А.

Группа № 1С-ФК421

Студенческий билет  № 09ффд41885

Проверила: Концевая Н.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2012

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Задание № 1………………………………………………………………...3
2. Задание № 2……………………………………………………………….11
3. Список используемой литературы……………………..………………..21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1.

Исходные  данные:

                                                                                                                                     Таблица 1.

квартал (t)	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	35	44	52	34	37	48	59	36
квартал (t)	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	41	52	62	38	46	56	67	41

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; ;  .
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
• Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• Независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;
• Нормальности распределения остаточной компоненты по R/S – критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

Решение 1:

Подготовим расчетную  таблицу, в которой включим столбцы  t, Y, , , , .

 

Для заполнения Табл.2  выполним предварительный расчет.

Для определения трендовых коэффициентов  построим вспомогательную линейную регрессию по данным за первые восемь кварталов (2 года).

Воспользуемся средствами табличного процессора Microsoft Excel (Сервис/Анализ данных/Регрессия) и получим следующие данные:

                                          Таблица 2.

	Коэффициенты
Y-пересечение	39,21
Переменная X 1	0,87

 

Таким образом, мы нашли  значения а(0)=39,21 и b(0)=0,87.

Рассчитаем значения коэффициентов  сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому  году.

Воспользуемся построенной регрессией (Табл.3 – столбец предсказанное Y ) для расчета коэффициента сезонности.

                                                        Таблица 3.

Наблюдение	Y (t)	Предсказанное (модель)	Их  отношение	Остатки
1	35	40,08	0,873181	-5,08
2	44	40,95	1,074419	3,05
3	52	41,82	1,243382	10,18
4	34	42,69	0,796431	-8,69
5	37	43,56	0,849412	-6,56
6	48	44,43	1,080386	3,57
7	59	45,30	1,302497	13,70
8	36	46,17	0,779783	-10,17

 

- коэффициент сезонности 1 квартала 1 года;

- коэффициент сезонности 2 квартала 1 года;

- коэффициент сезонности 3 квартала 1 года;

- коэффициент сезонности 4 квартала 1 года;

- коэффициент сезонности 1 квартала 2 года, и т.д.

В качестве оценки коэффициента сезонности 1 квартала предыдущего  года возьмем среднее арифметическое:

и получим: ; ; ;

F(-3)=0,86; F(-2)=1,08; F(-1)=1,27; F(0)=0,79

Оценив значения a(0), b(0) , а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), перейдем к  построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул:

Рассчитаем значения и .

Выберем t=0, k=1 => =>

=>

Уточним коэффициенты модели: примем t=1 и вычислим

=>

=>

=>

=>

=>

=>

Аналогично определяются остальные коэффициенты и  для всех уровней исходных данных (т.е. за 16 кварталов).

Полученная таблица  называется моделью Хольта-Уинтерса.

                                                                                Таблица 4.

t
-3				0,86
-2				1,08
-1				1,27
0		39,21	0,87	0,79
1	35	40,27	0,93	0,87	34,47
2	44	44,18	1,82	1,03	44,49
3	52	50,34	3,12	1,13	58,43
4	34	49,29	1,87	0,73	42,14
5	37	48,72	1,14	0,80	44,28
6	48	51,64	1,67	0,97	51,33
7	59	57,90	3,05	1,06	60,13
8	36	55,23	1,33	0,68	44,44
9	41	53,89	0,53	0,78	45,35
10	52	56,24	1,08	0,94	52,76
11	62	61,75	2,41	1,03	60,89
12	38	58,16	0,61	0,67	43,80
13	46	57,19	0,13	0,79	45,68
14	56	59,66	0,84	0,94	54,03
15	67	65,72	2,40	1,02	62,15
16	41	61,99	0,56	0,66	45,31

 

Решение 2.

По столбцам исходных данных (Табл.2.) и полученных данных   (Таблица 4) рассчитаем остатки

Получим следующие результаты

                                                                        Таблица 5.

	E(t)	Eотн.		E(t)	Eотн.
1	0,53	1,52	9	-4,35	10,62
2	-0,49	1,10	10	-0,76	1,47
3	-6,43	12,36	11	1,11	1,79
4	-8,14	23,94	12	-5,80	15,27
5	-7,28	19,67	13	0,32	0,70
6	-3,33	6,93	14	1,97	3,52
7	-1,13	1,91	15	4,85	7,23
8	-8,44	23,46	16	-4,31	10,51

 

Для проверки точности рассчитаем относительную погрешность каждого  уровня

используя функции табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория  – Математические/ABS).

По полученным результатам  определим среднее значение с помощью функций табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Статистические/СРЗНАЧ).

Средняя относительная ошибка аппроксимации  составляет 8,87%, которая больше 5% => модель имеет невысокую точность.

Решение 3.

Для проверки случайности  остатков рассмотрим график остатков

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                    График 1.

По графику найдем количество поворотных точек – это точки максимума и минимума. => Р=6.

Определим по формуле 

 
При n=16 получим

Так как Р=6= =6 => свойство случайности остатков выполняется.

Проверка независимости остатков по d – критерию

Подготовим  , с помощью функций табличного процессора Microsoft Excel СУММКВ и СУКВРАЗН (Мастер функции/Категория – Математические/СУММКВ; Мастер функции/Категория – Математические/СУММКВРАЗН) => =345,16; =327,08 =>

Критические значения  равны  и (по условию задачи);  d=1,06< , т.е. d< => автокорреляция присутствует и модель не адекватна.

Проверим отсутствие автокорреляция по первому коэффициенту автокорреляции.

Подготовим  с помощью табличного процессора Microsoft Excel СУММПРОИЗВ (Мастер функции/Категория – Математические/СУММПРОИЗВ) => = 172,2 => .

Критическое значение (по условию задачи).

=> свойство независимости остаточной компоненты не выполняется.

 

Рассчитаем значения R/S по формуле 

 

 и  найдем с помощью табличного процессора Microsoft Excel МАКС и МИН (Мастер функции/Категория – Статистические/МАКС; Мастер функции/Категория – Статистические/МИН ) => =4,85; =-8,44

S(E) найдем с помощью  табличного процессора Microsoft Excel (Мастер  функции/Категория – Статистические/СТАНДОТКЛОН) => S(E)=3,97

Получим

Полученное значение R/S сравним с табличными значениями [3;4,21] => R/S=3,35 входит в критический интервал  => свойство нормального распределения остатков выполняется.

Таким образом, по точности модель удовлетворительна, но не является адекватной, так как не выполняется свойство независимости остатков. Прогноз по этой модели проводить нецелесообразно.

Решение 4.

Составим прогноз на 4 квартала  вперед (т.е. на 1 год, с t=18 по t=20).   

Для первого квартала будущего года положим в основной формуле модели Хольта-Уинтерса

t=16, k=1 и найдем

Решение 5.

График 2.

Из графика видно, что  расчетные данные практически согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза. 

Задание 2.

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням.