Шпаргалка по "Механике"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Дифференциальные зависимости при изгибе. Эпюры Qy и Мz (пример).

Для внутренних силовых факторов при изгибе балки существуют определенные зависимости. Двумя бесконечно близкими сечениями выделим элемент балки длиной d: с распределенной нагрузкой и рассмотрим ею равновесие.

 Откуда пренебрегая бесконечно  малыми второго порядка. Первая производная от изгибающего момента по абсциссе z равна поперечной силе. 

Полученные дифференциальные зависимости широко используются при проверке правильноети построения эпюр внутренних сил при изгибе. Так первая дифференциальная зависимость позволяет определять на участке балки сечения с наибольшим по модулю -значением изгибающею момента. Если в сечении балки поперечная сила равна нулю, то функция момента в этом сечении имеет экстремум (максимум или минимум по знаку деформации). Эпюра внутренней силы - график показывающий изменения этой силы по длине балки. Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах которых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выражения. Последовательно на каждом участке вводится скользящая система координатных осей (начало координат совмещается с началом участка) и для произвольного сечения составляются выражения для определения поперечной силы и изгибающею момента. Затем по этим выражениям в пределах каждою участка строятся графики (эпюры) внутренних сил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. Чистый изгиб. Основные гипотезы. Вывод законов распределения деформаций и напряжений в поперечных сечениях. (sopromat 80)

Изгиб — вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев. Под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а поперечные силы равны нулю. Основные гипотезы при изгибе:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза  Бернулли). Сечения плоские до  деформации остаются плоскими  и после деформации, а лишь  поворачиваются относительно некоторой  линии, которая называется нейтральной   осью сечения балки. При этом  волокна балки, лежащие с одной  стороны от нейтральной оси  будут растягиваться, а с другой - сжиматься; волокна, лежащие на  нейтральной оси своей длины  не изменяют;2) гипотеза о постоянстве  нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии  у от нейтральной оси, постоянны  по ширине бруса; 3) гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не давят друг на друга. Под действием изгибающих моментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса принимает форму дуги окружности с радиусом кривизны ρ. Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга. Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz. В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между собой угол dθ, в связи с чем верхние волокна удлиняются, а нижние - укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозначим отрезком СD. При этом CD=C’D’=dz=ρdθ. Произвольный отрезок АВ, расположенный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину A’B’-AB. С учетом построений, легко определить величину его линейной деформации: Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения - сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям σ можно осуществить посредством закона Гука: σ=Eε=Ey/ρ. Установим положение нейтральной оси x, от которой происходит отсчет координаты у. Учитывая, что сумма элементарных сил σdA  по площади поперечного сечения A дает нормальную силу Nz . Но при чистом изгибе Nz= 0, следовательно: .Как известно, последний интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси Mx  через σ. Очевидно, что C учетом выражения получим: .Откуда 1/ρ=Mx/EIx где 1/ρ- кривизна нейтрального волокна; EIx - жесткость бруса. Из формулы исключая 1/ρ , окончательно получим: σ= Mxy/Ix 

Откуда следует, что нормальные напряжения σ в поперечном сечении бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при y= ymax): σmax= Mx/Wx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18. Вывод уравнения деформаций при изгибе. Определение положения нейтральной линии сечения.

Нормальные напряжения по высоте поперечного сечения балки изменяются по линейному закону, а по ширине сечения остаются постоянными. Так как переход от удлинения к укорочению происходит непрерывно, то внутри бруса существует слой волокон, которые искривляются, но не меняют своей длины - такой слой называется нейтральным слоем, а линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной линией (осью), она всегда проходит через центр тяжести поперечного сечения. Нормальные напряжения в произвольной точке вычисляют по формуле σ= Mxy/Ix

Вывод уравнения деформаций при изгибе(17)(sopromat 80)

 

19. Вывод расчетного уравнения для нормальных напряжений при изгибе. Понятие о моменте сопротивления изгибу.

Нормальные напряжения в произвольной точке вычисляют по формуле σ= Mxy/Ix. Выражение определяет закон изменения нормальных напряжений в плоскости сечения - линейная зависимость от координаты у(а). Максимальные нормальные напряжения е сечении возникают в точках, наиболее удалённых от нейтральной линии: где Wx- момент сопротивления сечения при изгибе, что является тношением Jz/ymax Таким образом, σmax = Mu/ Wх.  Условно эпюра σ

изображается в плоскости сечения (б.в). Знаки напряжений на эпюре ставятся в зависимости от направления изгибающего момента М в сечении (б знаки показаны для момента отрицательного направления). Если сечение несимметричное относительно нейтральной линии, то максимальные растягивающие и сжимающие нормальные напряжения будут различной величины (в). Момент сопротивления Wx для сечений различной формы определяется через момент инерции Jx сечений.

20. Нормальные и касательные напряжения при прямом поперечном изгибе. Расчет на прочность балок нетонкостенного (сплошного) сечения.

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остаются плоскими. Однако при h/I<<1 (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений σ применяют формулу σ= Mxy/Ix. Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dz(a). Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.28,в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.28,б). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади bdz распределены равномерно, используя условиеΣz=0, получим:  ,откуда τ = dN*/bd, где N* - равнодействующая нормальных сил σdA в левом поперечном сечении элемента dz в пределах заштрихованной площадиA*: последнее выражение можно представить в виде , где -статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (б заштрихована). Следовательно ,откуда . В результате совместного рассмотрения получим , или окончательно . формула Журавского. Условие прочности по касательным напряжениям: ,  где Qy-максимальное значение поперечной силы в сечении; [τ] - допускаемое касательное напряжение, оно, как правило, равно половине [σ].

21. Рациональные формы поперечных сечений балок при изгибе.(sopromat 84)

 

22. Определение перемещений при изгибе с помощью дифференциального уравнения упругой линии балки.

При расчете балок на изгиб интересует не только напряжения возникающие от действия внешних сил, но и перемещения от действия тех же сил. Одно из требований к элементам конструкций, чтобы перемещение не превосходило некоторого допустимого значения, обусловленного требованиями эксплуатации. Это условие называется условием жесткости либо конструктивной прочности.  При расчете строительных и машиностроительных конструкций на жесткость должно соблюдаться условие f/I=1/n0 т.е. относительный прогиб f/l, подсчитанный при действии нормативных нагрузок, не должен превышать установленный нормами предельный прогиб 1/no  для данного вида конструкции. Для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников качения иногда ставится дополнительное условие жесткости – ограничение угла поворота ϕ опорных сечений: ϕmax≤φа. Допускаемый угол поворота φа берется из соответствующих справочников. В среднем φа составляет 0,001 рад. Рассмотрим плоский чистый изгиб балки . В результате действия изгибающего момента m ось балки ОС изгибается и занимает некоторое положение ОС'. Произвольная точка А оси балки, характеризуемая координатой , перемещается в новое положение А'. Перемещение, изображаемое направленным отрезком АА’, назовем прогибом балки  для точки А с координатой z и обозначим v. Проведем в точке А' касательную к изогнутой оси балки. Она образует с осью z угол θ.  Из рис. видно, что этот угол в силу взаимной перпендикулярности сторон в точности равен углу поворота поперечного сечения. При изменении z, т.е. при переходе к другим точкам оси балки, прогиб v и угол поворота θ gоперечного сечения изменяется. Следовательно, они являются функциями z: Горизонтальное перемещение w произвольной точки D поперечного сечения на расстоянии от оси балки равно: Из треугольника А'В'В" следует, что первая производная от функции прогиба ν(z):   равна тангенсу угла наклона касательной к изогнутой оси балки в точке А с координатой z. Из этого же треугольника получаем Из рис. находим где ρ- радиус кривизны дуги A’B’=ds. Следовательно, кривизна изогнутой оси в точке А равна: Дифференцируя по z получаем:

откуда Формула для кривизны балки для положительных значений Mx. Приравнивая, получаем точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

 

 

23. Потенциальная энергия деформации при изгибе.

Потенциальная энергия деформации при поперечном изгибе балки определяется по формуле:

Потенциальная энергия деформации при поперечном изгибе складывается из потенциальной энергии сдвига (первый интеграл) и энергии чистого изгиба (второй интеграл). Значение безразмерного коэффициента k зависит от формы поперечного сечения балки и вычисляется по формуле . Например, для прямоугольного поперечного сечения k=1,2. Для большинства типов балок потенциальной энергии сдвига при изгибе в формуле значительно меньше энергии чистого изгиба, поэтому при определении потенциальной энергии деформации при изгибе влиянием сдвига пренебрегают.

24. Энергетический метод определения перемещений сечений балок. Интеграл Мора.

 

25. Правило Верещагина (пример).

Определить перемещение точки К балки по способу Верещагина.

Решение.

1) Строим грузовую эпюру.

2) Прикладываем в точке  К единичную силу.

3) Строим единичную эпюру.

4) Определяем прогиб

;     ;