Автор: Пользователь скрыл имя, 23 Января 2015 в 17:03, шпаргалка
Понятия об абсолютно твердом и деформируемом телах. Уравнения статики (равновесия) произвольной пространственной системы сил.
Абсолютно твердое тело – совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом, оно не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри в каких бы процессах оно ни участвовало.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
Абсолютно твердое тело – совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом, оно не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри в каких бы процессах оно ни участвовало. В трёхмерном пространстве и в случае отсутствия (других) связей абсолютно твёрдое тело обладает 6 степенями свободы: три поступательных и три вращательных. Исключение составляет твёрдый стержень нулевой толщины, такая система имеет только две вращательных степени свободы. Поступательным называется движение, при котором прямая, соединяющая две любые точки тела, перемещается параллельно самой себе. Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором все его точки описывают окружности с центрами, лежащими на одной прямой, называемой осью вращения. Деформируемое тело — физическое тело, способное к деформации, т.е. тело способное изменить свои геометрические размеры и формы под действием внешних сил, является противоположностью абсолютно твёрдых тел. Относительная позиция любых составных точек деформируемого тела может изменяться. Деформируемое тело обладает внутренними степенями свободы (в дополнение к поступательным и вращательным), которые обычно называют колебательными степенями свободы.
Если система сил находится в равновесии, то ее главный вектор и главный момент равны нулю: R=0,M=0. Эти векторные равенства приводят к следующим скалярным равенствам, ΣPx=0, ΣPy=0, ΣPz=0 (равенства нулю главного вектора), ΣMx(Px)=0, ΣMy(Py), ΣMz(Pz)=0 (равенство нулю главного момента системы сил), которые называются условиями равновесия пространственной произвольной системы сил. В условиях равновесия должны учитываться все действующие силы, как задаваемые, так и реакции связей. Поскольку максимальное число уравнений равно шести, то в задаче на равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил можно определить шесть неизвестных реакций.
Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными).
При действии нескольких сил на относительно жесткое тел, результат действия одной части этих сил не зависит от результата действия остальных сил. Из этого следует: 1. Результат действия на тело нескольких сил равен сумме результатов отдельного действия каждой силы. 2. Результат действия на тело нескольких сил не зависит от последовательности приложения этих сил.
Принцип Сен-Венана - положение, согласно которому в сечениях, достаточно удалённых от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагрузки и определяется лишь статическим эквивалентом нагрузки. Принцип дает возможность заменить одну систему сил другой статически эквивалентной.При составления условий равновесия реального тела оно может считаться абсолютно твердым. Согласно принципу начальных размеров для упругих систем, в которых перемещения малы, уравнения равновесия можно составлять для недеформированного тела. Принцип начальных размеров не применим для гибких систем, в которых имеются большие перемещения, и для кинематически изменяемых систем, допускающих перемещение системы как жесткого целого. Для построения теории сопротивления материалов принимают ряд гипотез о структуре и свойствах материалов, а также о характере деформации.1. Гипотеза о сплошности материала. Предполагается, что материал полностью заполняет занимаемый им объем. 2. Гипотеза об однородности и изотропности. Предполагается, что свойства материала одинаковы во всех точках и в каждой точке во всех направлениях. 3. Гипотеза о малости деформации. Деформации малы по сравнению с размерами деформируемого тела. 4. Гипотеза о упругости материала. Тело считается абсолютно упругим, если после устранения причин, вызывающих деформацию, оно полностью восстанавливает свои первоначальные формы и размеры. 5. Принцип не зависимости действия. Усилия в любом элементе конструкции, вызванные различными факторами (несколькими силами), равны сумме усилий, вызванных каждым из этих факторов, и не зависят от порядка их приложения. 6. Принцип Сен-Венана. Точка тела достаточно удалена от места приложения нагрузки, внутренние силы мало зависят от конкретного способа приложения нагрузки и дает возможность заменить одну систему сил другой, статически эквивалентной.
Необходимость довести решение каждой практической задачи до некоторого числового результата заставляет в сопротивлении материалов прибегать к упрощающим гипотезам – предположениям, которые оправдываются в дальнейшем путем сопоставления расчетных данных с экспериментом.
Таким образом, приступая к расчету конструкции, следует прежде всего установить, что в данном случае является существенным и что не существенно. Необходимо произвести схематизацию объекта конструкции и отбросить все факторы, которые не могут заметным образом повлиять на работу системы в целом. Реальный объект, освобожденный от несущественных признаков, носит название расчетной схемы. Нагрузки моделируются системой внешних сил, которые разделяются на объемные (распределены по объему тела, приложены к каждой его частице) и поверхностные силы
(действуют на участках
поверхности тела). При моделировании
нагрузки вводятся понятия
нагрузки q(приведение поверхностных сил к линии действия).
Для прикрепления сооружения к основанию служат опоры, обеспечивающие неподвижность опорных точек конструкции. Обычно в сопротивлении материалов рассматривают три основных типа опор: шарнирно подвижная опора, шарнирно неподвижная опора и жесткое защемление.
Подвижная опора(б) допускает вращение вокруг оси, проходящей через центр шарнира k опоры, и поступательное перемещение по линии kl. В шарнирно подвижной опоре возникает реакция Rk , нормальная к направлению перемещения катков.
Шарнирно неподвижная опора(г) обеспечивает вращение верхнего балансира K вокруг оси, проходящей через центр шарнира k, и не допускает линейных перемещений.иЖесткое защемление(е,з) не допускает каких либо линейных перемещений и поворота. В защемлении возникают две составляющие Rk, Hk и реактивный момент Mk. Жесткое защемление эквивалентно трем опорным стержням.
При нагружении деформируемого тела в нем возникают внутренние силы взаимодействия частиц тела. Прием выявления внутренних сил путем мысленного рассечения тела на две части называется методом сечений. Проекция на какую-либо ось внутренних усилий в сечении (проекции остальных пяти равны нулю), равна проекции на эту же ось все внешних сил, приложенных к оставленной части. Аналогично, момент относительно какой-либо оси внутренних усилий в сечении (моменты остальных пяти равны нулю), равен моменту относительно этой же оси всех внешних сил, приложенных к оставленной части. Метод сечений сводится к операциям: 1. Мысленно рассекаем брус на две части в пределах исследуемого i – го участка. 2. Оставляем ту часть бруса, на которую действует меньше сил. 3. Заменяем действие условно отброшенной части бруса положительными внутренними силовыми факторами, приведенными к центру тяжести исследуемого сечения бруса. 4. Выбираем для оставленной части бруса скользящую систему координат (начало координат совмещаем с границей участка, положение исследуемого сечения определяется координатой zi , где 0≤ zi≤с и с – длина i – го участка). 5. Определяем искомые внутренние силовые факторы из уравнений равновесия, которые составляем для оставленной части бруса.
Деформация растяжения — вид деформации, при которой нагрузка прикладывается продольно от тела, то есть соосно или параллельно точкам крепления тела. Деформация сжатия — вид деформации, аналогичный растяжению, с одним отличием в способе приложения нагрузки, ее прикладывают соосно, но по направлению к телу. Деформация сдвига — вид деформации, при котором нагрузка прикладывается параллельно основанию тела. Деформация изгиба — вид деформации, при котором нарушается прямолинейность главной оси тела. Деформация кручения – вид деформации, при котором к телу приложен крутящий момент, вызванный парой сил, действующих в перпендикулярной плоскости оси тела.
Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению,необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение. Размерность напряжений равна отношению размерности силы к размерности площади. В международной системе единиц СИ напряжения измеряются в паскалях: 1Па =1 Н м2. Рассмотрим сечение A некоторого тела (а вектор полного напряжения). Зафиксируем в нем точку k с единичным вектором нормали n . В окрестностях этой точки выделим малую площадку ∆A. Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим через ∆R . За среднее напряжение на площадке ∆A принимаем отношение pср = ∆R/∆A. Будем уменьшать площадку ∆A, стягивая ее в точку k . Поскольку среда непрерывна, возможен предельный переход при ∆A→0 . В пределе получаем Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке k в сечении A. В общем случае направление вектора полного напряжения р не совпадает с направлением вектора нормали n (б вектор нормального и касательного напряжений). Полное напряжение р может быть разложено на три составляющие по нормали к плоскости
сечения и по двум осям в плоскости сечения. Проекция вектора р на направление вектора n обозначается σn или σz называется нормальным напряжением. Составляющие в плоскости сечения называются касательными напряжениями и обозначаются через проекции τn на ось x (τx) и на ось y (τy).
Очевидно, что р2 = (σn)2+(τn)= (σz)2+(τx)2+(τy)2 Нормальное напряжение в данной точке по определенному сечению характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элемента конструкции, расположенных по обе стороны этого сечения, а касательное напряжение – интенсивность сил, сдвигающих эти частицы в плоскости рассматриваемого сечения.
Закон парности касательных напряжений устанавливает зависимость между величинами и направлениями пар касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам.
Закон парности касательных напряжений – касательные напряжения на двух любых, но взаимно перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно к линии пересечения площадок, равны по величине и противоположные по знаку. При этом они стремятся повернуть элемент в разные стороны. Моменты сил на двух гранях, перпендикулярных оси , уравновешиваются, равно как и моменты сил на верхней и нижней гранях элемента. Таким образом, получаем: Отсюда следует, что .
Аналогично из двух других уравнений находим:
Вектор напряжений pn является физическим объектом, имеющим длину, направление и точку приложения. Он обладает векторными свойствами, а так же и свойства не характерные для векторов. В частности, величина и направление вектора напряжений зависят от ориентации вектора n нормали бесконечно малого элемента поверхности dF. Совокупность всех возможных пар векторов п, рn в точке определяет напряженное состояние в данной точке. Для полного описания напряженного состояния в точке достаточно определить векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных элементарных площадках. Напряжения на произвольно ориентированных площадках могут быть выражены через эти три вектора напряжений. Элементарные площадки нормали, направления которых совпадают с направлениями координатных осей. Элементарные площадки образуются дополнительными сечениями, параллельными исходным плоскостям и отстоящими от них на бесконечно малые расстояния dx, dy, dz. В результате получим бесконечно малый параллелепипед, поверхность которого образована элементарными площадками dFх=dydz, dFн==dxdz, dFя=dxdy. Векторы напряжений pn=px+ py+ pz. Разложим каждый вектор напряжений на составляющие вдоль координатных осей. На каждой площадке действует одно нормальное напряжение σx, σy, σz, где индекс обозначает направление вектора нормали к площадке и два касательных напряжения с двумя индексами, из которых первый указывает направление действия компоненты напряжения, второй—направление вектора нормали к площадке. Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензором напряжений в точке.
σx(τyx; τzx); σy(τzy; τxy); σz(τxz; τyz);
Тензор можно представить в виде матрицы, соответствующим образом упорядочив девять компонентов:
Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. Все компоненты тензора напряжений изображены положительными. На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, не видимые на рис) положительная компонента направлена в противоположном направлении. Напряжения на трех взаимно ортогональных площадках с отрицательными направлениями нормалей также характеризуют напряженное состояние в точке. Эти напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений, определяются аналогично напряжениям на площадках с положительной нормалью. Они обозначаются теми же символами и имеют положительное направление. Рассмотрим две взаимно-перпендикулярные площадки с касательными напряжениями τxy и τyx. Согласно закону парности касательных напряжений знаки τxy и τyx противоположны. Поэтому, если площадку с напряжением τxy поворачивать до совпадения с площадкой с напряжением τyx, то обязательно найдется такое положение площадки, когда τ=0.Площадки по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными, а действующие по этим площадкам нормальные напряжения - главными напряжениями. Главные напряжения обозначаются σ1, σ2, σ3 причем σ1≥σ2≥σ3. В зависимости от количества действующих главных напряжений различают три вида напряженных состояний: линейное, плоское и объемное.