Шпаргалка по "Механике"

Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю.

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю.

Объемным или трехосным называется напряженное состояние, при котором все три главных напряжения отличны от нуля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Растяжение-сжатие бруса. Внутренние силовые факторы при одноосном растяжении- сжатии прямого бруса. Напряжение в поперечном сечении. Под растяжением(сжатием) понимается такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила Nz, а все прочие внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нуля. Это самый простой и часто встречающийся вид деформации. Обычно он наблюдается когда внешняя нагрузка действует вдоль продольной оси стержня. Продольной осью стержня называется линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений. Обычным является растяжение(сжатие) стержня силами, приложенными к его концам. Если воспользоваться методом сечений, то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы Nz, равные силе F. Сжатие отличается от растяжения только знаком силы Nz. При растяжении нормальная сила Nz направлена от сечения, а при сжатии – к сечению. Правило знаков для продольной силы: растягивающая продольная сила положительна, сжимающая – отрицательна. Растяжение сопровождается разрывом, а сжатие изгибом. При растяжении или сжатии осевыми силами стержней из однородного материала поперечные сечения, достаточно удаленные от точек приложения внешних сил, остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называют гипотезой плоских сечений. Все точки какого-либо поперечного сечения стержня находятся в одинаковых условиях и, следовательно, напряжения распределяются по сечению равномерно. Эти напряжения перпендикулярны поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Их значения найдем, разделив величину продольной силы N на площадь F,  σ=N/F.

 

 

 

 

 

8. Напряжения в наклонных и поперечных сечениях при одноосном растяжении-сжатии. Гипотеза Бернулли.

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы N, а прочие силовые факторы равны нулю.

Продольная сила – внутреннее усилие, равное сумме проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось стержня. Правило знаков для продольной силы: растягивающая продольная сила положительна, сжимающая – отрицательна. Если воспользоваться методом сечений, то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы Nz, равные силе F.

При растяжении или сжатии осевыми силами стержней из однородного материала поперечные сечения, достаточно удаленные от точек приложения внешних сил, остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называют гипотезой плоских сечений. Все точки какого-либо поперечного сечения стержня находятся в одинаковых условиях и, следовательно, напряжения распределяются по сечению равномерно. (Если на боковую поверхность  стержня нанести прямоугольную сетку, то после нагружения поперечные линии переместятся параллельно самим себе, откуда следует, что все поверхностные продольные волокна удлинятся одинаково. Если предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать вывод о том, что поперечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений(гипотеза Бернулли)) Эти напряжения перпендикулярны поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Их значения найдем, разделив величину продольной силы N на площадь F,  σ=N/F. Для наглядного представления о характере распределения продольных сил по длине стержня строится эпюра продольных сил N. Осью абсцисс служит ось стержня. Каждая ордината графика – продольная сила в данном сечении стержня. Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие. Сечение, где действует максимальное усилие называется опасным.

 Напряжения в наклонных площадках наблюдаются, если мысленно «разрезать» стержень, растягиваемый силами P, наклонной плоскостью под углом α к поперечному сечению (а), проходящей через точку K, и отбросить правую часть. Внешняя нормаль Z’к наклонному сечению будет составлять с осью Z угол α. Действие отброшенной правой части стержня на левую часть заменим внутренними усилиями (б). Чтобы левая часть стержня находилась в равновесии, в каждой точке наклонного сечения стержня должно возникнуть продольное противодействующее усилие. Равнодействующая внутренних усилий N равна внешней силе P. Допустим, внутренние усилия равномерно распределены по площади наклонного сечения Fz=F/cosα . Тогда полное напряжение наклонного сечения в каждой точке будет равно:

q=N/Fz=N*cosα/F=σz*cosα  где σz=N/F – нормальное напряжение, возникающее в точках (в том числе и в точке К), но в поперечном сечении стержня (в).

Разложим полное напряжение в наклонном сечении (q), возникающее в некоторой точке К, на две составляющие – нормальное (σz’) и касательное (τz’y’) напряжения (г). Они будут равны: σz’= q* cosα= σz*cos2α ; τz’y’=q*sinα= σz*sin2α/2.

 

 

 

 

 

 

 

9. Деформации и перемещения при одноосном растяжении-сжатии. Закон Гука.

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко заделанным, и другим - свободным, к которому приложена центральная продольная сила Р (рис). До нагружения стержня его длина равнялась l - после нагружения она стала равной l+∆l. Величину ∆l называют абсолютным удлинением стержня. Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых условиях, деформация ε остается одной и той же по длине стержня ε=∆l/l Если же по длине стержня возникает неоднородное напряженное состояние, то для определения его абсолютного удлинения необходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz. При растяжении он увеличит свою длину на величину ∆dz и его деформация составит: ε=∆dz/dz.                                                                          

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде (нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформации ε): σ=E*ε. Величина Е(2*105) представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости материала первого рода (модуль продольной упругости). Его величина постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки.

Из совместного рассмотрения уравнений получим: ∆dz= σ*dz/E,откуда с учетом того, что σ=N/F и ∆l=ʃ∆dz окончательно получим: ∆l=ʃ N*dz/F*E.  Если стержень изготовлен из однородного изотропного материала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение A = const и нагружен по концам силой Р, то получим ∆l=P*l/E*F. Эта зависимость также выражает закон Гука. Знаменатель E*F называется жесткостью при растяжении - сжатии или продольной жесткостью.

 

 

 

 

10. Построение эпюр N, σx,εx, δ при растяжении-сжатии (пример).(sopromat 43) (Эпюра перемещений строится со стороны закреплённого конца, т.к. защемленное сечение (С) неподвижно, т.е. δc=0. Далее определяем перемещения соответствующих точек стержня:)
11. Диаграмма деформирования при растяжении. Основные механические характеристики материалов.

Внешнее механическое воздействие на тело вызывает смещение атомов из равновесных положений и приводит к изменению формы и объема тела, т. е. к его деформации. Самые простые виды деформации — растяжение и сжатие. Зависимость напряжения σ от относительного удлинения ε является одной из важнейших характеристик механических свойств твердых тел. Графическое изображение этой зависимости называется диаграммой деформирования при растяжения. По оси ординат откладывается механическое напряжение σ, по оси абсцисс — относительное удлинение ε.

Закон Гука выполняется при небольших деформациях. Максимальное напряжение σп, при котором еще выполняется закон Гука, называется пределом пропорциональности. За пределом пропорциональности (точка А) напряжение перестает быть пропорциональным относительному удлинению; до некоторого напряжения после снятия нагрузки размеры тела восстанавливаются полностью. Такая деформация называется упругой. Максимальное напряжение σуп, при котором деформация еще остается упругой, называется пределом упругости (точка В). Большинство металлов испытывает упругую деформацию до значений ε≤0,1%. При напряжениях, превышающих предел упругости σуп, образец после снятия нагрузки не восстанавливает свою форму или первоначальные размеры. Такие деформации называются остаточными или пластическими. В области пластической деформации (участок CD) деформация происходит почти без увеличения напряжения. Это явление называется текучестью материала. Материалы, у которых область текучести CD значительна, могут без разрушения выдерживать большие деформации. Если же область текучести материала почти отсутствует, он без разрушения сможет выдержать лишь небольшие деформации. Такие материалы называются хрупкими. За пределом текучести кривая напряжений поднимается и достигает максимума в точке Е. Напряжение, соответствующее точке Е, называется пределом прочности σпч. После точки Е кривая идет вниз и дальнейшая деформация вплоть до разрыва (точка К) происходит при все меньшем напряжении.

Под механическими характеристиками понимают значения напряжений и деформаций, соответствующие определенным точкам на диаграмме растяжений, такие как: Предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести, предел прочности(временное сопротивление)

12. Условие прочности при растяжении и сжатии. Понятия о предельном и допускаемом напряжениях. Запас прочности. Два типа расчета на прочность.

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием, обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является условие прочности.  σmax=Nmax/A≤ [σ] где σmax – максимальное напряжение в конструкции; [σ]– характеристика материала, называемая допускаемым напряжением, которую не следует превышать при расчете разных конструкций и их деталей на прочность, зависит от характера нагрузки и рода материала. Допускаемое напряжение находится по формуле [σ]= σпред/n, где  σпред – предельное напряжение, при достижении которого в стержне наступает предельное состояние материала: появляются пластические деформации, если материал стержня – пластичный, или происходит разрушение, если стержень выполнен из хрупкого материала; n – нормируемый коэффициент запаса прочности. Возможен второй вариант условия прочности nдейств≥n, где nдейств = σпред / σmax называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном (предельном) состоянии.(определяет соотношение между расчётной нагрузкой, обеспечивающей безопасную эксплуатацию конструкции или сооружения, и макс. нагрузкой, к-рая теоретически допустима.) Условие прочности в зависимости от цели поставленной задачи позволяет выполнять расчеты на прочность двух видов: 1. Проверка прочности (проверочный расчет). При заданных продольной силе N и площади поперечного сечения F определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с допускаемым непосредственно по формуле. Превышение расчетного (рабочего) напряжения по сравнению с допускаемым не должно быть больше 5 %, иначе прочность рассчитываемой детали считается недостаточной. В случаях, когда рабочие напряжения значительно ниже допускаемых σ<< [σ], получаются неэкономичные конструкции с чрезмерным, необоснованным расходом материала. Такие решения являются нерациональными. Следует стремиться к максимальному использованию прочности материала и снижению материалоемкости конструкций. Определяют фактический (расчетный) коэффициент запаса, исходя из известных значений предельного (опасного) напряжения и вычисленного значения рабочего (расчетного) напряжения σ=N/F , и сравнивают его с требуемым коэффициентом запаса [n], т. е. условие прочности выражают неравенством n= σпред/σ ≥ [n],

2. Подбор сечения (проектный расчет). Исходя из условия, можно определить необходимые размеры сечения, зная продольную силу и допускаемое напряжение. Решив неравенство относительно F, получим F ≥ N/ σ

13. Потенциальная энергия деформации при одноосном растяжении (сжатии).Приложенные к ограниченным участкам тела внешние нагрузки порождают по всему его объёму силы внутренние, изменяющие форму тела и запасающие, таким образом, в его частицах потенциальную энергию упругой деформации. При снятии внешних нагрузок эта энергия высвобождается, возвращая упругому телу первоначальные размеры. Этот эффект используется, например, в заводных пружинах часов. При вычислении потенциальной энергии исходят из предположения: в упругом теле накапливается энергия, в точности равная работе внутренних сил при нагружении на перемещениях точек тела:

 

Элементарная dАвнеш=P*dδ P=f(δ) Δl=δ=P*l/(E*F) P=E*F*δ/l dA=(E*F*δ/l)*dδ Aвнеш= E*F*δ2/2*i= P*δ/2

 Работа внешних сил выражается  площадью диаграммы построенной  в коор-х Р*δ и равна половине произведения окончательной силы Р и перемещения δ. dAвнут= - N*Δ(dz)/2 ; Δ(dz)=N*dz/(E*F); dAвнут= -N2*dz/(2*E*F);  Aвнут=ʃ-N2*dz/(2*E*F); Aвнут= -N2*l/(2*E*F)

Потенциальная энергия деформации называется величина = работе внутренних сил взятых с противоположным знаком: U= - Aвнут=N2*l/(2*E*F), U=ʃN2*dz/(2*E*F) Aвнут= -Авнеш, U=Aвнеш

14. Статически неопределимые задачи при растяжении-сжатии (пример).

Задачи, в которых все реакции связей определяются из условий равновесия, называются статически определимыми. Если число неизвестных реакций связей превышает число уравнений равновесия, задача становится статически неопределимой.

15. Изгиб. Внутренние силовые факторы при прямом поперечном изгибе. Правило знаков.

Изгиб бруса вызывается действием поперечной нагрузки . Прямым изгибом называется нагружение бруса, при котором плоскость действующей нагрузки проходит через ось бруса и совпадает с одной из главных плоскостей инерции бруса (плоскость расположения главных осей инерции поперечных сечений бруса). Частным случаем прямого изгиба является плоский изгиб бруса, при котором нагружение происходит в плоскости симметрии бруса. Брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой.

В поперечных сечениях бруса при прямом изгибе возникают внутренние силовые факторы - изгибающий момент М (численно равный алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к отбрасываемой части балки, относительно главной центральной оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения) и поперечная сила Q(численно равная алгебраической сумме всех внешних сил, действующих на отбрасываемую часть балки). Которые определяются по методу сечений. Для них используется правило знаков. Положительная поперечная сила вызывает поворот рассматриваемой части бруса по ходу часовой стрелки; положительный изгибающий момент вызывает сжатие верхних волокон бруса (для горизонтально расположенного участка бруса). Различают чистый и поперечный изгиб. При чистом изгибе в поперечных сечениях бруса возникает только изгибающий момент, при поперечном изгибе - изгибающий момент и поперечная сила.