, 

где  

является  обобщенным оператором взаимодействия в представлении Шредингера.

    Как следует из уравнения (3.5), для описания низкоэнергетической динамики мы должны получить T-матрицу для значений z, относящихся к низкоэнергетической теории. Уравнение (3.8) позволяет получить решение для любых z, если определено соответствующее граничное условие для этого уравнения. Граничное условие (3.9) означает, что наибольший вклад в в пределе дают процессы, ассоциируемые с фундаментальными взаимодействиями в рассматриваемой системе, описываемые оператором  . Несмотря на то, что в граничном условии (3.9) z устремляется к бесконечности, мы можем ограничиться  рассмотрением области энергии, лежащей гораздо выше нашего низкоэнергетического приближения, но гораздо меньшей области энергии, соответствующей более фундаментальной высокоэнергетической теории. Такую область энергий мы обозначим как D. Тот факт, что область D лежит гораздо выше масштаба низкоэнергетической динамики, позволяет утверждать, что при таких ''бесконечно больших'' энергиях основной вклад в оператор дают процессы, которые можно определить как ''фундаментальные'' для данной низкоэнергетической теории. И, как следствие этого, оператор взаимодействия достаточно близок к истинной T-матрице, т.е. к. Так, чтобы учесть тот факт, что любая теория имеет границы применимости, вместо граничного условия (3.9) для уравнения (3.8) мы должны воспользоваться выражением 

    Для того, чтобы уравнение (3.8) с граничным условием (3.11) имело единственное решение, оператор взаимодействия должен быть достаточно близок к истинной T-матрице в области D, другими словами, функция должна быть малой для . Развитая таким образом обобщенная квантовая динамика открывает новые возможности для решения многих проблем квантовой физики [10],[11].

§4. Атом в интенсивном лазерном поле.

    Рассмотрим  систему, состоящую из атома, взаимодействующего с лазерным полем и вакуумными модами. Гамильтониан такой системы имеет следующий вид [15]: 

    где    и   .

Здесь ω_i – собственная частота атома (индекс i включает в себя все квантовые числа атома), – частота моды, и . – операторы рождения и уничтожения фотонов с импульсом и поляризацией λ  и – гамильтониан взаимодействия атома с электромагнитным полем. В дипольном приближении он имеет вид:

                                                                                                           (4.1)

                                                  

с операторами электрического поля для лазерной моды, и – для всех остальных мод:

                               

здесь V – объём квантования, и – векторы поляризации. Рассмотрим процесс одевания состояний атома лазерным полем. Нас будет интересовать случай, когда частота лазерной моды близка к частоте перехода  между двумя атомными состояниями: . Состояние будем называть возбужденным состоянием атома, а состояние – основным. Мы будем рассматривать переходы  между состояниями , поэтому достаточно рассматривать двумерное гильбертово пространство, натянутое на эти векторы. В этом случае гамильтониан свободного атома можно представить в следующем виде [15]: 

а гамильтониан взаимодействия атома  с лазерным полем    можно представить следующим образом [15]: 

где - константа взаимодействия атома с лазерным полем, которая имеет следующий вид 

В приближении вращающейся волны

                                                             (4.2)

Проецируя на возможное число n фотонов в лазерной моде, гамильтониан взаимодействия атома с лазерным полем можно представить в следующем виде [15]: 

Теперь перейдем к так называемым одетым состояниям, которые определяются как собственные  состояния атома, взаимодействующего с лазерным полем. Одетые состояния  являются собственными состояниями  гамильтониана: 

Этот гамильтониан можно представить с помощью  матрицы [15]:

                                                                        (4.3)

в представлении  состояний , . Можно получить вид одетых состояний, диагонализируя матрицу (4.3) 
 

которые представлены также на рис.1. 

Рис. 1. Схематическая диаграмма, показывающая связь между голыми и одетыми  лазерным полем состояниями  атома [15].

Параметр  перемешивания  связан с частотой Раби  следующим выражением 

где  . Энергия одетых лазерным полем состояний атома имеют следующий вид 

где   – обобщенная частота Раби. Благодаря возможным переходам между одетыми состояниями   (рис.2), мы имеем дело со спектром Моллоу: 

                                              

                ,                      ,

Рис. 2. Переходы между одетыми лазерным полем состояниями атома, приводящие к спектру Моллоу [15].

Поскольку вынуждающее лазерное поле, как предполагается, достаточно интенсивно, Ω_n, , и θ_n может быть заменен их соответствующими полуклассическими величинами Ω, Ω_R и θ. Используя этот формализм, в [2] показали, что, несмотря на то, что лэмбовский сдвиг одетых состояний нетривиально отличен от голого лэмбовского сдвига - эта разница очень мала: поправка к тривиальной части лэмбовского сдвига, который является простым перераспределением лэмбовских сдвигов голых состояний |e> и |g>, имеет относительный порядок Δ/ ω_eg и Ω/ω_eg , где ω_eg= ω_e - ω_g . Аргументы, приводящие к этому заключению, базируются на том условии, что теория возмущений применима в этом случае. Однако, ввиду того, что состояния обладают одинаковыми полным моментом J, его проекцией J_z и четностью (безызлучательные переходы между этими состояниями разрешены в этом случае), одетые состояния |(+, n)> и |(-, n)> будут иметь очень близкие значения энергии. Это приводит к тому, что взаимодействие одетого атома с вакуумом может быть сильным.

    В картине Шрёдингера оператор эволюции может быть представлен в форме [12]:

                              U_s(t,0) = ,                                         (4.4)

где  - гриновский оператор G(z) = G₀(z) + G₀(z)T (z)G₀, где G₀(z) = (z−H₀)^-1, H₀ − свободный гамильтониан.

Перепишем обобщенное уравнение в форме:

                                   = - T(z)(G₀(z))²T(z),                                                    (4.5)

которое используется с граничным условием T(z) B(z), где

У вклада в оператор Грина G(z), который складывается из процессов, связанных с самовоздействием частиц, та же самая структура, как и у свободного оператора Грина G₀(z). По этой причине естественно заменить G₀(z) пропогатором , который описывает эволюцию частиц, взаимодействующих только с вакуумом, и следовательно имеет структуру =(z-E_m-C_m(z))^-1, где - собственные векторы свободного гамильтониана [16]. Соответственно оператор T(z) должен быть заменен оператором M(z), который описывает эволюцию частиц, взаимодействующих не только с вакуумом. Эти операторы связаны следующим выражением [16]:

         G(z) = G₀(z) + G₀(z)T(z)G₀(z) =  + M(z)                 (4.6)

Функция С(z) описывает самовоздействие частиц в состоянии и условие z−E_m−C_m(z)=0 определяет физические массы частиц. Принимая во внимание (4.6), можно переписать (4.5) в терминах М(z) и С_m(z), удовлетворяя граничным условиям М(z) B_r(z), С_m(z) . Здесь B_r(z) является частью оператора взаимодействия, описывающего собственное взаимодействие между частицами, и B_δ(z) описывает их самовоздействие: B(z) = B_r(z) + B_δ(z), где в терминах сингулярности B_δ(z) имеет структуру = .

     Этот  способ описать самовоздействие частиц может быть легко обобщен на описание поправок к собственной энергии атомных состояний. В случае одетых состояний можно использовать оператор Грина, который описывает эволюцию электрона, взаимодействующего с полем ядра и лазерной модой, как 'свободный' оператор Грина: G₀(z) = (z−H_D−H_L)^-1, где H_D дираковский гамильтониан и  H_L, определяемый в (4.2), описывающие взаимодействие атома с лазерным полем в приближении вращающейся волны. Имея 'свободный' оператор Грина можно получить операторы М(z) и С_m(z).

     Рассмотрим  решение уравнения (4.5) с точностью до α². В случае  голых атомов решение для М(z) в этом порядке получается М(z) = B(z) =H_I,                   с   H_I = e ∫d³x : A_μ(0, x)(0,x)γ^μ*(0, x) : , где ⁽t, x) – дираковское поле в представлении Фарри, A_μ(x) – потенциал электромагнитного поля и символ  : :  означает нормальное упорядочивание [16]. Однако, если взять одетые атомы, результат будет иной. В этом случае взаимодействие атома с вакуумом, связанное с переходами между одетыми состояниями, может быть сильным, и следовательно может оказаться равным с некоторой точностью для всех матричных элементов кроме , который должен быть получен не по теории возмущения. В этом приближении соотношения для М(z) и С(z), следующие из соотношения (4.5), принимают вид [16]: 
 
 

с . Итерируя уравнения (4.7) и (4.8) в силу Λ=L_g/2Ω, где L_i – лэмбовский сдвиг голого состояния , получаем [16]: 

где   , и

;             

,

, 

с i . Если бы оператор B_δ(z) был равен нулю, то (4.10) можно было бы привести к выражению . Однако, это уравнение не имеет никакого смысла без регуляризации и перенормировки из-за ультрафиолетовых расходимостей. Это означает не может стремиться к нулю при z → . Действительно, будучи конечным для любого s, выражение   в (4.10) возрастает как s ln s при s → и для того, чтобы было конечным, должно вести себя также в этом пределе. Из этого следует, что к стандартному гамильтониану КЭД должен быть добавлен нелокальный член [16]: 

где  – форма фактор, которая ведет себя так же как и B_δ(z) при |z| → . С оператором взаимодействия B_non(z) определенный таким образом, L_i ≡, (4.10) дает тоже выражение для однопетлевого лэмбовского сдвига, которое обычно получается при использовании теории перенормировки. Действительно,    может быть рассмотрено как регуляризованое выражение для лэмбовского сдвига. S играет роль регуляризации, и выступает как сумма контрчленов зависящих от s. Соответственно, и совпадают, соответственно, с тривиальными однопетлевыми поправками   и к лэмбовскому сдвигу одетых состояний , полученных в [2]. Игнорируя зависимость от z в (8) для нетривиального лэмбовского сдвига получим , где есть решение уравнения . Соответствующие лэмбовские смещения боковых полос Моллоу   равны + и .         В отличие от тривиальной части этого сдвига , нетривиальная часть не обращается в ноль при Δ → и становится лидирующей в этом пределе (см рис.3) [16].

    В итоге, мы показали, что нетривиальная часть радиационных поправок к спектру Моллоу может быть намного больше, чем тривиальная. Величины описывают нетривиальную часть лэмбовского сдвига только приближенно: поскольку зависимость от z – это следует из (4.10) – может существенно повлиять на нетривиальную часть. Однако теория перенормировок в КЭД не позволяет вычислять вне точки z = E_i . В этой зависимости от z может проявиться нелокальность электромагнитного взаимодействия, которая при рассмотрении этих величин в терминах S – матрицы, скрывается в процедурах перенормировок. Если бы фактор форма в нелокальном операторе была известна, то можно было бы вычислить используя (4.7). Но вышеупомянутое условие на определяет её только до нескольких констант. С другой стороны, некогерентный спектр состояний, одетых лазерным полем, может быть важным источником экспериментальных данных для определения этих констант.