Министерство  образования и  науки Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. Ульянова-Ленина 
 

ФИЗИЧЕСКИЙ  ФАКУЛЬТЕТ 
 

КАФЕДРА ОПТИКИ И НАНОФОТОНИКИ

Специальность: 510400 «Физика»

Специализация: оптика и нанофотоника 

Радиационные  поправки в атомах: адиабатический подход  и  подход в рамках ОКД 
 

Студент 3 курса

Группа 662

Авраменко Д. Н. 

Научный руководитель

К. ф.-м. н., профессор

Гайнутдинов Р.Х. 

Научный соруководитель

аспирант

Васильев  А.А. 
 
 
 
 

КАЗАНЬ  – 2009

§ 1. Введение. 3

§ 2. Формализм  адиабатической теории. 5

§ 3. Формализм обобщенной квантовой динамики (ОКД). 9

§4. Атом в интенсивном  лазерном поле. 14

§ 5. Расчет лэмбовского сдвига в атомах, находящихся в интенсивном лазерном поле. 23

§ 6. Результаты и выводы. 27

§ 7. Список литературы. 28

§ 1. Введение.

    Экспериментальное открытие лэмбовского сдвига в атоме  водорода оказало в свое время  огромное влияние на ход развития квантовой электродинамики (КЭД). Вскоре после этого открытия теоретиками  было предложено полное релятивистское вычисление лэмбовского сдвига с использованием перенормировок параметров теории, устраняющих ультрафиолетовые (УФ) расходимости, причем имело место великолепное согласие с экспериментом. Это привело к триумфу метода перенормировок в квантовой электродинамике, и прочно укоренило его позицию в теории вплоть до сегодняшних дней. Однако проблема УФ расходимостей по большому счету не разрешена до сих пор. С помощью метода перенормировок УФ расходимости можно устранить в S-матрице и функциях Грина, но не в величинах, характеризующих временную эволюцию системы. Причина заключается в том, что операторы, которые необходимо включать в гамильтониан при перенормировке приводят к расходимостям, возникающим при резком включении и выключении взаимодействия. Эти расходимости, которые называются поверхностными, не проявляют себя при описании S-матрицы, поскольку в этом случае предполагается, что измерение состояния системы проводится в бесконечно удаленном будущем, когда можно считать, что взаимодействие адиабатически выключается. Соответственно, проблемы, связанные с поверхностными расходимостями, не проявляются при описании лэмбовского сдвига энергетических уровней атомов, которые обычно наблюдаются в спектроскопических экспериментах, поскольку при этом используется метод адиабатической S-матрицы. Однако, развитие новых технологий, в частности лазерных, позволяют изучать КЭД эффекты в атомах, находящихся в экстремальных условиях. Это открывает новые возможности для проверки квантовой электродинамики. Большой интерес в этом контексте вызывает изучение лэмбовского сдвига в атомах, находящихся в поле интенсивного лазерного излучения. Взаимодействие атома с лазерным полем приводит к одеванию атомных состояний. В этом случае необходимо рассматривать не состояния изолированного атома, а состояния в системе атом плюс квантованное электромагнитное поле и их взаимодействие. Такие одетые состояния содержат атом в определенном состоянии и определенное число фотонов. В отличие от состояний голых атомов, энергетическая разность между некоторыми одетыми состояниями с тем же самым полным угловым моментом, его проекцией и чётностью может быть очень малой. Переходы между этими состояниями приводят к спектрам Моллоу. Принципиальным отличием состояний, одетых взаимодействием атома с лазерным излучением, от обычных атомных состояний заключается в том, что КЭД поправки к их энергетическим уровням не могут быть определены с помощью теории адиабатической S-матрицы, и необходимы методы, в которых квантовая электродинамика используется совместно с формализмом квантовой оптики. Впервые внимание к этой проблеме было обращено в работе [1], где было показано, что лэмбовский сдвиг линий спектра Моллоу не может быть объяснен в терминах лэмбовского сдвига линий атомов, которые обычно наблюдаются в спектроскопических экспериментах. В работе [3] была развита теория, позволяющая описывать лэмбовский сдвиг в атомах, одетых лазерным полем, с точностью до второго порядка теории возмущения.

    Цель  данной работы – сравнить два подхода  к расчету радиационных поправок в атоме:  подхода адиабатической теории  и  подхода  обобщенной квантовой динамики (ОКД). 
 
 

§ 2. Формализм  адиабатической теории.

    Адиабатический  формализм Гелл–Манна–Лоу представляет собой некий способ перенести развитый в квантовой электродинамике рассеяния свободных частиц формализм S-матрицы на случай КЭД связанных состояний. Предполагается, что полный гамильтониан электрона в атоме можно записать в виде (в представлении взаимодействия) [13], [14] 

где есть гамильтониан Дирака, описывающий кулоновское взаимодействие электрона с ядром в атоме и который рассматривается здесь как "свободный" (т.е. невозмущенный) гамильтониан электрона в атоме. Уравнение на собственные состояния и собственные значения "свободного" гамильтониана имеет вид [13] 

где и есть собственные состояния и собственные значения гамильтониана Дирака. , соответствующие связанному электрону. Такой выбор "свободных" состояний называется картиной Фарри, в которой взаимодействие электрона с кулоновским полем ядра уже учитывается в нулевом приближении. Величина играет здесь роль параметра, по которому делается разложение в ряд теории возмущений, при этом надо помнить, что для реальных процессов =1. Для того, чтобы обеспечить применимость S-матричного формализма, необходимо, чтобы при временах t= ± гамильтониан возмущения обращался в нуль. С другой стороны, невозможно отключить возмущающее взаимодействие в атоме, т.к. оно присутствует всегда. Чтобы обойти эту проблему, предполагают [14] 

где - вещественная положительная константа, причём после всех вычислений берут предел , как бы обратно возвращая взаимодействие на все времена. Тогда будет адиабатически включать и выключать возмущающее взаимодействие и максимальное взаимодействие будет в момент времени . Далее вводят так называемые адиабатический оператор эволюции   и адиабатическую - матрицу .

    В рамках подхода адиабатической -матрицы можно показать, что лэмбовский сдвиг для невырожденных состояний определяется формулой Гелл– Манна – Лоу [14]: 
 
 

где определяются по аналогии как и в –матричном формализме. Также можно показать, что для первых членов при степенях , называемых неприводимыми частями в смысле Дайсона (а именно, такие части, которые не могут быть приведены к произведению матричных элементов с обкладками и ), предел можно взять до конкретных вычислений и соответствующий сдвиг уровня будет [14] 
 

и – оператор эффективной потенциальной энергии. Выражение (2.5) даёт возможность в рамках адиабатического формализма для неприводимых частей использовать эффективные потенциалы, например, потенциалы Юлинга, Челлена–Сабри и Уичмэна–Кролла.

    Подробное разложение адиабатической  –матрицы до второго порядка теории возмущений (т.е.  и  ) представлено в [14].

    Несмотря  на то, что метод адиабатической –матрицы оказался очень успешным при вычислении радиационных поправок к энергетическим уровням обычных атомов, у него имеется ряд недостатков, которые могут ограничить его применимость при вычислении этих поправок в атомах, находящихся в интенсивном лазерном поле. Действительно, формула Гелл–Манна–Лоу (2.4) представляет собой обобщение обычной формулы [13] 

здесь – собственное состояние оператора энергии при отсутствии взаимодействия и – энергия этого состояния. В картине Фарри, которая используется при решении проблемы связанных состояний в КЭД, в качестве "свободных" рассматриваются состояния электронов, взаимодействующих с кулоновским полем ядра так, что представляет собой поправку к энергии обусловленную взаимодействием электронов с собственным электромагнитным полем: – энергия состояния, получающегося из при включении взаимодействия. Таким образом, при выводе формулы (2.6) предполагается, что взаимодействие выключается при . Однако, как хорошо известно, в КЭД взаимодействие частиц с вакуумом не "выключается" ни в один момент времени. Для того, чтобы обойти эту проблему (но не решить!) в формализме адиабатической –матрицы вводится адиабатическое выключение взаимодействия на бесконечных временах. Такое "мягкое" выключение позволяет надеяться, что после проведения вычислений с конечным параметром характеризующим скорость выключения взаимодействия, можно определить истинную поправку к энергии, переходя к пределу . Однако тот факт, что, как мы видели, конечные формулы для выражаются через матричные элементы –матрицы, построенные в базисе "голых" состояний , свидетельствует о том, что какая-то часть информации об истинном связанном состоянии при этом всё таки теряется. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 3. Формализм обобщенной квантовой динамики (ОКД).

    В настоящее время имеются две  альтернативные формулировки квантовой  теории: каноническая и фейнмановская. Эти две эквивалентные формулировки принципиально отличаются по используемому  в них математическому аппарату.

    Каноническая  формулировка основана на использовании векторов и операторов, определенных на гильбертовом пространстве состояний. Связь этих векторов и операторов соответственно с состояниями квантовой системы и наблюдаемыми определяется специальными постулатами, которые выражают основные принципы квантовой механики [4],[5]. Динамическим постулатом канонической формулировки является предположение о том, что динамика квантовой системы описывается уравнением Шредингера.

    В основу фейнмановской формулировки квантовой теории положен глубокий анализ явления квантовой интерференции, на основе которого 
был сформулирован принцип суперпозиции амплитуд вероятности [6],[7]: вероятность события есть квадрат от модуля некоторого комплексного числа, которое называется амплитудой вероятности. Амплитуда вероятности события, которое может произойти несколькими альтернативными способами, равна сумме амплитуд вероятности для каждого способа. Этот постулат лежит в основе концепций современной квантовой физики.

    Его можно использовать различными способами  в зависимости от того, на какие  классы можно подразделить альтернативы [7]. В теории Фейнмана в качестве альтернатив рассматриваются движения частиц по определенным траекториям. В работе [8] было показано, что вместо процессов, в которых частицы системы имеют определенные траектории, в качестве альтернатив можно использовать процессы с определенными временами начала и конца взаимодействия в системе. Используя этот класс альтернатив и фейнмановский принцип суперпозиции, амплитуда вероятности того, что при измерении в момент времени система будет обнаружена в состоянии , если в момент времени она находилась в состоянии, может быть представлена в виде: 

    Здесь - амплитуда вероятности того, что если в момент времени состояние системы было, то взаимодействие в системе начнется в момент времени , закончится в момент времени , и в тот же момент система будет обнаружена в состоянии . Представление (3.1) выражает тот факт, что если в момент времени система обнаружена в состоянии отличном от состояния в момент времени , то в промежуток времени между и имело место взаимодействие в системе, которое должно было начаться в какой-то момент времени и в какой-то момент времени закончится. Интеграл в правой части (3.1) означает суммирование вкладов от всех этих альтернативных возможностей. Первый член в правой части (3.1) описывает вклад от процесса, в котором взаимодействие в системе не происходит ни в один момент времени.

    Из  условия унитарности оператора эволюции (3.1) следует, что оператор должен удовлетворять уравнению [9]: 

    Замечательная особенность этого уравнения  заключается в том, что оно  работает как рекуррентное соотношение  и позволяет определить    для любых времен и , если заданы, соответствующие бесконечно малым временам   длительности взаимодействия. Таким образом, для того, чтобы построить, используя представления (3.1), оператор эволюции, достаточно знать вклады в него от процессов с бесконечно малыми временами взаимодействия. Естественно предположить, что в пределе наибольший вклад в оператор эволюции дают процессы, ассоциируемые с фундаментальным взаимодействием в системе. Обозначая этот вклад , мы можем записать [9]: 

где . Параметр ε определяется требованием, что , который называется обобщенным оператором взаимодействия, должен быть так близок к соответствующему решению уравнения (3.2), в пределе , чтобы это уравнение имело единственное решение, имеющее поведение (3.3) в окрестности точки . Если оператор задан, то уравнение (3.2) позволяет определить оператор и, следовательно, оператор эволюции. Таким образом, это уравнение может рассматриваться как динамическое уравнение. Это уравнение позволяет построить оператор эволюции, используя вклады от фундаментальных процессов как «строительные блоки». В случае, когда обобщенный оператор взаимодействия, имеет следующий вид 

(дельта-функция  указывает на мгновенность взаимодействия) уравнение (3.2) эквивалентно уравнению Шредингера с гамильтонианом взаимодействия в представлении взаимодействия [9]. В то же время, уравнение (3.2) позволяет обобщить теорию на случай, когда взаимодействие в системе является нелокальным во времени и, следовательно, динамика не является гамильтоновой.

Используя представление (3.1), для оператора эволюции мы можем записать выражение: 

где , y>0, – свободный гамильтониан, и оператор определяется соотношением: 

где  

и . В терминах оператора , обобщенное динамическое уравнение (3.2) может быть представлено в форме [9]: 

где n обозначает дискретный и непрерывный набор параметров, полностью характеризующих систему, собственные векторы оператора . Как следует из (3.3), граничное условие для этого уравнения имеет вид