Проблема неустойчивости заряженной поверхности жидкости

 

3. Результаты

3.1 Динамические явления на заряженной поверхности гелия.

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 2

Рис. 2. Схема ячейки с заряженной поверхностью гелия. Картина жидкого «бордюра» на поверхности гелия вдоль заряженной границы.

 

Пространство между двумя пластинами плоскопараллельного конденсатора частично заполнено жидким гелием, - соответственно между двумя пластинами конденсатора, вакуумный зазор и толщина слоя жидкости гелия в конденсаторе. Ось направлена по вертикали к поверхности жидкости, начало координат находится на поверхности невозмущённой жидкости, область отвечает жидкой фазе.

Электрические поля над и под поверхностью гелия, заряженной с плотностью имеют вид

(3.1)

(3.2)

 

где поверхностная плотность  зарядов  — разность потенциалов между пластинами ячейки (рис. 2.)

В условиях полного экранирования внешнего поля над гелием, когда величина

   (3.3)

При заданных V и толщине пленки гелия в отсутствии внешнего поля поверхность гелия прогибается под действием электронного давления (случай на глубину,

  (3.4)

которая определяется условиями  механического равновесия и сохранения полного объема жидкости:

  (3.5)

(3.6)

Здесь – плотность жидкого гелия, – ускоренные силы тяжести, L – радиус электронного диска на поверхности гелия, – радиус и деформация жидкой поверхности за пределами электронного диска. Условие (3.6), выполняется при

(3.7)

где – коэффициент поверхностного натяжения, k – капиллярная постоянная. Определяя величину из (3.6),

и подставляя ее в  (3.5), находим

(3.8)

Пленка считается толстой (полубесконечная задача), если

(3.9)

 

 3.2 Развитие неустойчивости на заряженной поверхности гелия.

     Используя  определения (3.1), (3.2), а так же  безразмерные величины 

,   (3.10)

  (3.11)

При согласно (3.11),

  (3.12)

В противоположном пределе,

 

(3.13)

Последний из результатов  для  нефизичен (плотность электронов стремится к нулю, при этом поверхность теряет устойчивость, не имея на то оснований).

 

 

Рис. 3. Фазовая диаграмма, определяющая, согласно,3.11и плоскости ( _, V ) область устойчивости заряженной поверхности жидкости в динамическом (спинодальном) сценарии её развития. Устойчивое состояние отвечает внутренней части диаграммы. На 
вставке показано относительное расположение бинодали (практически прямая линия) и спин од ал и при малых концентрациях. Очевидна выгодность рождения в этой области V "винодельных" лунок.

 

   3.3. Возможность образования на плоской заряженной поверхности гелия многозарядный лунок с локализованным в их ядре конечным электронным зарядом.

 Используя  явный  вид (2.1), n(r), выражения для W  (3.14)

       можно преобразовать в следующие:

  (3.15)

   (3.16)

где - интегральная показательная функция. Для распределения (2.1) Величина R находится из условия

     3.4. Неустойчивость тонкой заряженной пленки.   

Анализируя экстремальные свойства W(r) (3.15), не трудно убедится в том, что устойчивое решение управления относительно R возможно лишь при условии

    (3.17)

В предельном случае величина R и полная энергия W приобретают вид

  (3.18)

 Среди результатов (3.18) интересно отметить независимость от Естественно, с увеличением кулоновское взаимодействие в заряженном ядре лунки возрастает, что, казалось бы, должно приводить к возрастанию . Однако параллельно с такой же скоростью возрастают силы деформационного происхождения, удерживающие электроны в лунке. Поэтому величина , определяемая конкуренцией двух указанных факторов, не зависит от

  3.4. Свойства заряженной тонкой пленки.

 Анализ условий   (3.19) , требующий в переходной области применения численных методов, приводит в симметричном пределе к результатам, представленным на рис. 4

Рис. 4. Свойства заряженной тонкой пленки: кривая l – зависимость критического поля пленки от ее толщины d/a в капиллярных длинах, отнесенного (для удобства) к половине критического поля в случае заряженного полупространства; кривая 2 – зависимость критического волнового числа пленки от ее толщины d/a, отнесенного к его критическому значению для заряженного пространства.

 

4. Заключение

Подведём некоторые итоги. Обзор касается проблемы, которая систематизирует информацию, накопленную к настоящему времени относительно устойчивости и перестройки плоских заряженных поверхностей криогенных жидкостей в разных условиях по геометрии ячейки, внешней электростатике, степени заполнения и т.п., оценивает перспективы дальнейшего развития темы.

Показано, что перестройка заряженной поверхности жидкости следует разным сценариям, сообразно набору внешних условий.

1. Для нейтральных жидких диэлектриков (магнетиков) устойчивость границы нарушается при конечных значениях волнового числа  закона дисперсии малых колебаний формы свободной поверхности жидкости во внешнем поле (здесь а — так называемая капиллярная длина). Перестройка свободной

поверхности жидкости (т.е. её переход от плоского состояния к гофрированному) возможна, и она реализуется в так называемом однородном сценарии, в котором электростатические граничные условия вдоль гофрированной поверхности жидкости однородны на всём её профиле. Систематическое описание гофрировки удаётся построить лишь при наличии малого параметра Период возникающей гофрировки имеет масштаб капиллярной длины. Наблюдения подтверждают наличие такой перестройки, причём требования к малости отмеченного параметра являются не очень жёсткими, играя специальную роль лишь в теоретических построениях.

2. Появление конечной плотности зарядов на границе жидкость-пар при фиксированном значении их полного числа значительно разнообразит детали перестройки. В задаче возникает дополнительный параметр — степень заполнения v (по отношению к критическому) зарядами этой границы . В целом перестройка неоднородна: вся граница разбивается на систему               многозарядных лунок, причём на разных полюсах заполнения у гофрировка изменяется от периодической (с периодом порядка капиллярной длины и следами близости к процессам спинодального распада) в области до состояния, характеризующегося возникновением отдельных бинодальных солитонов с заряженным ядром и нейтральными крыльями, при . Переход в

        окрестности имеет много общего со спинодальным распадом в            

        физике фазовых переходов 1 -го рода.

Экспериментальное изучение неоднородной перестройки заряженных поверхностей криогенных жидкостей, наиболее продвинутое по отношению к исследованиям других возможных сценариев этого красивого эффекта, подтверждает большое число деталей, следующих из теории явления.

Имеется возможность создать условия для однородного развития событий на максимально заряженной поверхности жидкости (жидкий металл в электрическом поле). Однако теория в этом случае не содержит малых параметров, и потому она не развита. Эксперименты с жидкими металлами пока не обнаруживают наличия конечной перестройки, группируясь вокруг наблюдения различного рода гейзеров.

3. Тонкие заряженные  плёнки жидкости теряют устойчивость на малых (формально — нулевых) волновых числах. Этот факт накладывает заметный отпечаток на явления перестройки. Возникает альтернатива дисперсионному сценарию нарушения устойчивости плоской формы заряженной плёнки. Очень интересна и важна роль сил Ван-дер-Ваальса в формировании критериев устойчивости заряженной плёнки. Перестройка имеет место, но является своеобразной, отличной от перестройки в "массивной" задаче. Модифицируется понятие отдельной много зарядной лунки. Становится возможной перестройка заряженной плёнки жидкости с металлическими свойствами (утверждение, отсутствующее в "массивной" задаче).

Существуют экспериментальные ограничения для создания плёночных систем с большими латеральными размерами. В результате наблюдаемая перестройка имеет вид отдельных видимых солитонов с понятным образом изменяющимися свойствами.

 

4. Список литературы

1. Френкель Я ЖЭТФ 9641 (1939)

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред

3. Научный журнал «Успехи физических наук» декабрь 2011г. Том 181, №12

4. Горьков Л.П., Черникова Д. М. ДАН СССР 829 (1976)

5. Шишкин В.Б., Лебедева Е. В. ФНТ (1998)

6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций клмплексного переменного (М.: Физматгиз 1958)

7. Татарский В.В. ФНТ (1986)