Кинематика

ГЛАВА 1

кинематика

1. Кирхгофф (1824-1886), выдающийся немецкий физик, сначала ясно указал, что цель физика состоит в том, чтобы описать движения тел полностью и в самой простой манере. Но так как тело - ограниченная часть вопроса, который мы можем рассмотреть как составлено из многих небольших частиц, будет более просто рассмотреть сначала движение частицы и затем пройти к рассмотрению тел в движении. Однако, так как движение - просто изменение положения, будет удобно сначала изучить, как положение частицы определено. Слово "частица" используется всегда, чтобы обозначить тело, настолько маленькое, что его измерениями можно пренебречь по сравнению с другими вовлеченными расстояниями. Таким образом бейсбол можно считать частицей, когда каждый думает только о ее пути через воздух; но в руках питчера это" становится телом очень заметного размера, телом, которое он устанавливает во вращение вокруг определенной оси, чтобы дать этому любую желаемую "кривую." ПОЛОЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В САМОЛЕТЕ 2. Когда географы описывают положение города, они предполагают, что читатель уже знает положение некоторого пункта на земле, которую можно назвать ориентиром. Такой ориентир для поверхности земли - пересечение меридиана через Гринвич с экватором. Это установило, местоположение города определенно описано, когда две вещи известны об этом; а именно, его широта и его долгота. Таким образом остров Св. Хелены находится в 15 55' южных широт и 5 43' западных долготы. Подобный метод часто используется в физике; например, положение пункта P (Рис. 1), в отношении другого пункта 0, в том же самом самолете, описано когда два взаимно rectangn

прямые  линии lar оттянуты через пункт 0, и перпендикулярные расстояния пункта P от этих двух линий соответственно даны. Ориентир вообще называют происхождением. Горизонтальную линию справочного ВОЛА (Рис. 1) вообще называют осью Y X; и вертикальная линия справочного ВНУКА ось Y. Долготу x пункта P называют его абсциссой; в то время как широта y известна как ее ордината. Абсциссы положительны когда оттянуто направо от оси Y; отрицательный когда оттянуто налево. Ординаты положительны когда оттянуто вверх от оси X; отрицательный когда оттянуто вниз. Эти количества x и y известны как rectany FIQ. 1. Показ одного метода расположения: пункт в самолете. координаты gular пункта P; они - специальный вид Декартовских координат, так называемых после Декарта, который сначала использовал алгебру этого вида. В лаборатории у нас есть частые случаи, чтобы потянуть кривые, и это вообще сделано, определяя местонахождение пунктов на координационной бумаге, таким образом только описанной. Навигаторы и инспекторы вообще используют различный метод расположения одного пункта со ссылкой на другого в том же самом самолете. Они дают прямолинейное расстояние от первого пункта до второго, тогда они дают руководство линии, присоединяющейся к пунктам. Этот метод также часто используется в физике и известен как метод полярных координат. Идея будет ясна из Рис. 2, где ориентир и ВОЛ любое известное руководство. Нет никакого сомнения относительно точного положения частицы в P, как только мы знаем расстояние r между пунктами и P, и углом между линиями OP и ВОЛ. Угловое расстояние мы 
 

буду всегда считать положительным когда измерено в направлении вопреки этому, в который руки движения часов, руководство, которое называют против часовой стрелки. В подобной манере, считается отрицательным когда измерено в по часовой стрелке смысл. ВОЛ линии мы можем назвать линию ссылки. ПОЛОЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В КОСМОСЕ 3. Если пункт на поверхности земли должен быть описан все еще более полностью, мы можем выбрать уровень моря в качестве самолета ссылки, и дать высоту пункта. Так в математике и физике каждый часто описывает пункт, определяя местонахождение этого сначала в определенном самолете как описано в предыдущих секциях, и затем заявляя положение этого самолета относительно некоторого другого самолета ссылки. Будет замечено, что, вообще, три технических требований необходимы, чтобы полностью описать положение одного пункта в отношении другого; и когда численные значения этих трех координат когда-то известны, положение пункта дано без двусмысленности. Таким образом, если у.rectangular координат частицы в космосе есть ценности, z = + 3, можно продолжить определять местонахождение его как обозначено в Рис. 3. ВЕКТОРЫ ПОЛОЖЕНИЯ 4. Но третий и более простой способ думать о положении пункта состоит в том, чтобы рассмотреть это как полностью определено единственной прямой линией, бегущей от ориентира до пункта на рассмотрении. Если в Рис. 4 мы знаем, не только длина, но также и руководство и смысл прямой линии OP, мы знаем все, что может возможно быть известно о положении частицы в P. К любому количеству такой как 7) P, обладая руководством, смыслом, и количеством, было дано имя "вектор". Этот класс количеств включает многие из самых важных, изученных в физике. 
 
 
 

Векторное количество - просто то, которое напоминает ограниченную прямую линию в трех подробных сведениях; а именно, во владении руководством, смыслом, и числовой величиной. Вектор, который определяет местонахождение одного пункта со ссылкой  на другого, как в Рис. 4, называют вектором положения, и является типом  векторных количеств вообще, из которых  мы встретим много примеров в более  поздних страницах. Полноценность  вектора, в представлении положения  пункта, находится в его четкости и простоте; в целях числового  вычисления у этого есть маленькая  ценность. FlG 4 ОТКЛОНЕНИЯ НА СКАЛЯРНЫХ КОЛИЧЕСТВАХ 5. Простая длина прямой линии - то же самое в любом направлении, линия может лечь. Длина прямой линии, поэтому, не векторное количество. Это независимо от руководства. Количества, у которых нет руководства, называют скалярами. Филадельфия - город в 90 милях от Нью-Йорка. Это расстояние - скалярное количество. Информация, содержавшаяся в этом заявлении, говорит мне только, что Филадельфия находится где-нибудь на круге 90-мильного радиуса, описанного с Нью-Йорком как центр. Но "в 90 милях к юго-западу от Нью-Йорка" дает мне векторное количество, которое определяет местонахождение положения Филадельфии без двусмысленности. Фунт сахара, три ярда набивного ситца, два галлона воды, объем чего-либо, любое количество вопроса, является иллюстрациями скаляров. РЕЗЮМЕ 6. Подведение итогов, тогда, положение частицы почти всегда описывается одним или другими из трех после методов: (i) Прямоугольные координаты, в которых положение пункта зимуется в берлоге, давая его расстояние от каждого из трех взаимно перпендикулярных самолетов. Эти расстояния называют прямоугольными координатами частицы и обычно обозначаются x, y, z. Три взаимно перпендикулярных справочных самолета обозначены в Рис. 3 TOZ, ZOX, и XOY. 
 
 

(ii) Полярные координаты, в которых положение частицы описано ее расстоянием r от происхождения, и ее широтой и долготой на сфере, центр которой в происхождении и чей радиус - расстояние r только описанный. Эти три количества называют полярными координатами частицы и обычно обозначаются письмами r, 6, и <соответственно. (iii) Векторы, графический метод, в котором положение частицы расположено как предельный пункт единственной прямой линии, оттянутой в определенном смысле и в определенном направлении от происхождения. ПОЛОЖЕНИЕ ТЕЛА 7. К настоящему времени рассмотрев положение частицы только, мы теперь занимаем позицию тела, которое было уже определено как ограниченная часть вопроса. Пока давайте иметь дело только с совершенно твердыми твердыми частицами, то есть, с телами, размер которых и форма - каждая константа. Если мы рассматриваем тело просто как систему твердо связанных частиц, очевидно, что ее положение полностью определено только, когда положение каждой частицы в системе известно. Но так как тело твердо, это эквивалентно высказыванию, что его положение полностью определено, когда мы знаем положения любых трех пунктов в теле, при условии, конечно, что эти пункты не лежат в той же самой прямой линии. Другими словами, если прямая линия и один пункт вне этой линии быть расположенным в теле, положение всего тела полностью определено. Ясно, поэтому, что у тела может быть много различных положений, в которых установлены два пункта в теле; поскольку при этом условии это может вращаться через любой угол о прямой линии, присоединяющейся к этим двум пунктам. Как мы будем видеть позже, это должно часто вполне по мере необходимости рассматривать угловое так же как линейное положение тела; в то время как для единственной частицы угловое положение - термин, у которого нет никакого значения. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН 8. Фактическое определение положения любого пункта в мире о нас приводит сразу к измерению расстояния, которым предназначается просто сравнение любого назначенного расстояния с данным расстоянием, которое мы соглашаемся взять в качестве единства 
 
 

Поскольку более поздний опыт покажет, сравнение - существенная особенность всего  измерения. Десять ярдов ткани - просто часть ткани, которая является десять раз пока определенная часть леса, названного палкой ярда. ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ. САНТИМЕТР. НОГА 9. Почти весь научный  мир согласился взять в качестве стандартной длины расстояние между  двумя марками на определенном баре платинового иридия, сохраненном  в Международном Метрическом  Бюро в Севре, около Парижа. Это  расстояние называют метром. Сотое  участие расстояния между этими  двумя марками принято как  единица и названо сантиметром. Для многих лабораторных измерений  эта меньшая единица будет  сочтена более удобной чем метр. Будет замечено, что это определение просто произвольно, простой вопрос соглашения. Факт, что метр столь выбран, чтобы быть почти равным одной десятимиллионной расстояния от экватора земли до его Северного полюса, интересен; но это не вступает в определение - единицы длины. Как реальная действительность, длина сектора земли, как находили, была более близко 10 000 880 метров. Студент, который не знаком с метрической системой, сочтет интересным оценить его собственную высоту в сантиметрах, также предположить длину и ширину этой страницы в сантиметрах i и затем проверить точность его оценок фактическим измерением с палкой метра. Английские и американские инженеры вообще используют двор как стандарт длины и ноги как единица длины. В Великобритании двор - по определению, расстояние между двумя управлениями на определенном бронзовом баре, сохраненном в Офисе Стандартов в Лондоне. Во дворе Соединенных Штатов определен как 36/39.37 стандартного метра в Севре. ИЗМЕРЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ. ЕДИНИЦА ОБЛАСТИ 10. Уладив на сантиметр как единица длины, самая простая единица области - область одного квадратного сантиметра. С учетом этого факта единица области, почти универсально используемой в науке, является квадратным сантиметром. Очень редко, действительно, области, измеренные прямым com 
 
 

баночка с  единицей области. Более часто будет  сочтено удобным измерить линейные измерения поверхности в вопросе, и, от них, вычислить геометрией область поверхности. Инженеры, конечно, используют квадратный фут как единицу области. ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ. ЕДИНИЦА ТОМА 11. Стандарты объема, такие как бушель, кварта, кубический фут, уже знакомы. В научной работе кубический сантиметр принят как единица объема, и по тем же самым причинам, которые привели к принятию квадратного сантиметра как единица области. Знакомство с метрической системой делает мудрость из этого выбора сразу очевидной. В случае объемов, линейные измерения которых могут быть измерены, например, parallelopipedon или сфера, часто более удобно вычислить объем чем измерить это непосредственно. УГЛОВОЕ ПОЛОЖЕНИЕ. УГОЛ ЕДИНИЦЫ 12. Когда две прямых линии не совпадают в направлении, у них, как говорят, есть различные угловые положения. Различие их указаний - угловое смещение одной линии с уважением к другому. Это угловое смещение выражено инспекторами и астрономами в степенях. Но навигаторы используют "пункты" компаса, или 11 ^, как единицы. В физике и математике единица угла, главным образом используемого в описании и обсуждении явлений, отличается от любого из них. Это определено следующим образом: Если два Fio подряд. 5. Угол единицы. линии, лежащие в том же самом самолете, отличаются в направлении, они пересекутся. О пункте пересечения как центр, и в самолете этих двух линий, тянут круг. Эти линии, как говорят, включают угол единицы, когда они перехватывают дугу этого круга, равного в длине к его радиусу. См. Рис. 5. Этот угол единицы называют радианом. 
 
 
 

Это очевидно, так как окружность круга - длина. равный 2 раза TT радиусу, что в одном  прямом углу будет одна четверть радианов С 2 концернами, то есть радианов. Вычислите, и на краю этой страницы делают запись числа степеней в области одного радиана. Проблемы 1. Объясните только как получается, что любая ограниченная прямая линия - векторное количество, в то время как длина такой линии - скалярное количество. 2. Какой свет делает этимологию слова "векторный" сарай после его существующего значения? 3. Сколько радианов в углу подсклонялось полукругом? 4. Объем куба - 921 c.c. Найдите область одного лица куба. 5. Привлеките пару топоров под прямым углом друг другу. В отношении этих топоров, определите местонахождение пунктов A, B, и C, у которых есть абсциссы и ординаты следующим образом: АБСЦИССА ПУНКТА OEDINATB + 2 +7 B +5 - 10 C-8 - 4 6. Сколько кубических сантиметров iu объем полушария 8 см. радиус? 7. Потяните три взаимно прямоугольных топора координат и определите местонахождение двух пунктов, координаты которых (2, +3, + 4) и (+1, +5, +2). 8. Найдите длину вектора, присоединяющегося к двум пунктам, положения которых даны в предыдущей проблеме. 9. Какой из этих двух следующих моментов более далек от происхождения, (+5,-9) или (+7, +7)? 10. Две взаимно перпендикулярных стороны прямоугольного треугольника составляют 9 и 20 сантиметров, соответственно, в длине. Найдите область треугольника в квадратных сантиметрах, и длину hypothenuse в сантиметрах. 11. Вычислите число секунд дуги в одном радиане. |> = 30, = 15 12. Определите местонахождение следующих векторов положения I r = 30, = 345] [r = 30, 6 = 195 13. Рассмотренный как единицу объема, у какого преимущества есть кубический сантиметр по кубическому дюйму? 14. Укажите в трех измерениях на положение пункта, полярные координаты которого - r = 25, = 45, <j> =90. См. 6. 15. Определите местонахождение этих двух следующих моментов при помощи полярных координат и определите, кто из них ближе к линии ссылки, (r = 12, = 15) и (r = 6, 6 = 30). 
 

I. Случай  Частицы 13. Так как положение  частицы может всегда определяться  прямой линией определенной длины,  оттянутой в определенном направлении,  очевидно, что, если частица двигается  в новое положение, новая линия, которая описывает это новое положение, будет, вообще, отличаться от старого в его двух характерных особенностях, то есть в длине и в угловом положении. Но эта линия может измениться в длине Y только; когда частица проходит прямая линия. Это может измениться в угловом положении только; когда у нас есть движение на поверхности сферы. Предположите теперь, когда частица в P (Рис. 6) двинулась в пункт O таким образом, что линия OP имеет X измененный в длине и также в угловом положении. Если мы занимаем старую позицию РИС. частицы, С 6. изменениями из положения, количество p ag новый пункт Скорострельный refe rence, имея руководство. тогда ясно, что изменение положения будет описано прямой линией, PQ, присоединяясь к новым и старым положениям. Очевидно, тогда, мы можем описать новое положение Q частицы или давая эти две прямых линии OP и PQ, или просто давая одну ЗАКАЛКУ В МАСЛЕ прямой линии. Поскольку, любым процессом мы определенно определяем местонахождение нового положения Q. Результат целого вопроса - то, что изменение положения описано точно таким же образом, как положение непосредственно; а именно, заявляя длину, смысл, и руководство прямой линии. Отклонение на Дополнении и Вычитании Векторов 14. Что касается Рис. 7, давайте обозначим вектор OP p, вектор PQ q, и векторная ЗАКАЛКА В МАСЛЕ r. Тогда будет ясно, что новое положение Q частицы может быть расположено в любом из двух различных, но строго эквивалентных методов. Одним методом частица в Q расположена как предельный пункт th 
 
 
 
 

вектор  r. Другим методом это - предельный пункт двух векторов p и q, помещенного вплотную с их стрелками в том же самом смысле. И так как r определяет местонахождение пункта Q на том же самом расстоянии и в том же самом направлении от происхождения, r, как говорят, является результантом или векторной суммой p и q; в то время как p и </, как говорят, являются компонентами r. В алгебре векторов этот факт выражен при письме p + q = r, Eq. 1 уравнение, которое содержит целую историю векторного дополнения. В обычной алгебре, которая имеет дело только со скалярными количествами, у нас должен быть p + q> r, но это неравенство обращается просто к длинам и к нисколько указаниям. Результант любого числа векторов получен точно тем же самым процессом, а именно, помещая эти векторы вплотную, в любом заказе, но всех в том же самом смысле, и затем присоединяясь к начальному пункту первого вектора к предельному пункту последнего вектора. Этот графический метод дает начало вектору potygon, как иллюстрировано в Рис. 8, где r - результант векторов p, и s. Из того, что предшествует, будет замечено, что векторное дополнение означает не что иное как что подразумевается в заявлении что, насколько простой transporta - РИС. 7. Векторное дополнение. tion затронут, это весь то же самое, путешествует ли каждый поездом непосредственно от Чикаго до Питсбурга, или идет сначала от Чикаго до Толедо, отсюда в Кливленд, и отсюда в Питсбург. Так как признак вектора определяет свой смысл, каждый видит, что вычитание любого данного вектора от другого - точно то же самое как добавляющий этот вектор к другому, сначала полностью изменив его смысл.