Кинематика

Күрделі функцияның туындысы төмендегідей болады:

 

 

Мұнда

траекторияға, жүргізілген  жанаманың бірлік – векторын береді. Бұл векторды деп белгілейміз.

Нәтижеде  (1.25)

болады. Немесе

(1.26)

Бірлік векторы  әрқашан санақ жүйесінің басынан нүктеге дейін болған қашықтықтың өсуіне қарай бағытталады.

(1.26) мен (1.25) ті салыстырсақ,

(1.27)

келіп шығады.

 

Материялық  нүкте үдеуін табиғи тәсілде анықтау  

Үдеуді табиғи тәсілде  анықтау үшін (1.26) дан уақыт бойынша туынды аламыз:

,

немесе 

(1.28)  

 

(1.28) дегі өрнектің шамасы және бағытын анықтау үшін оны төмендегідей жазамыз:

мұнда траекториядағы бір – біріне жақын болған М₀ және М₁ нүктелерден жүргізілген жанамалардың бірлік векторларының айырмасы (9 – сурет, ә).

 

 

            ә                                                  а

                                     9 сурет

болғандықтан  және лардан құралған үшбұрыш тең бүйірлі болады (9 сурет, а); бұл үшбұрыштан:

М₁ ді М₀ – ге өте жақын деп қарасақ, өте кіші болады. Бұл жағдайда ні мен ауыстыру мүмкін, яғни

немесе 

Нәтижеде:

немесе 

(1.29)

келіп шығады. - қисықтық радиусы, К – сызықтың қисықтығы. вектор

 - ға перпендикуляр, шынында да, - дың квадраты бірге тең

Бұл теңдіктен уақыт  бойынша туынды аламыз:  

(1.30)  

 

 

   

 

 

  

 

 

  

 

 

 

                                                  10 сурет  

 

Математикадан белгілі, мен перпендикуляр болатын жағдайда (1.30) дұрыс болады. Демек,

немесе  (1.31)

(1.31) – ді (1.28) – ге қойсақ:

(1.32)

Материал нүкте үдеуінің табиғи координат өстеріндегі проекцияларын сәйкес деп белгілесек, онда

(1.33)

(1.33) пен (1.32) – ні салыстырсақ,

(1.34)

келіп шығады. (1.34) тен пайдаланып, толық үдеуді анықтау мүмкін.

(1.35)

немесе 

(1.36)

Жанама үдеу мен нормал үдеу арасындағы бұрыш - мен анықталады (10 сурет).

Егер нүкте қозғалысы  координат тәсілінде беріліп, қисықтық радиусын анықтау талап етілген  болса, жылдамдықты Декарт координат  өстеріндегі проекциялары арқылы өрнегін  жазамыз:

Бұл өрнектен уақыт бойынша  туынды алсақ, онда

Бұдан

немесе 

(1.37)

келіп шығады

(1.37) ге сәйкес:

(1.38)

мұнда

(1.38) ді (1.34) тің екіншісіне қойсақ, сызықтың қисықтық радиусы

(1.39)

келіп шығады.

Годографтар

Өзгеруші радиус – вектордың ұштарын біріктіруші сызық радиус – вектор годографы деп аталады.

Қозғалып бара жатқан нүктенің жылдамдық векторларын  қандайда бір орталыққа келтірген кезде осы векторлардың ұштарын біріктіруші сызық жылдамдық годографы деп аталады.

Қозғалып бара жатқан нүктенің әр – бір сәттегі үдеулерінің векторларын қандайда бір орталыққа келтірген кезде осы векторлардың ұштарын біріктіруші сызық үдеулер годографы деп аталады.

Радиус – вектор годографына жүргізілген жанама жылдамдық векторы бағытталған жаққа қарай бағытталған болады.

Жылдамдық годографына  жүргізілген жанама нүктенің тиісті толық үдеуінің векторына параллель  болады.

Қозғалып бара жатқан нүктенің қозғалыс теңдеулері координаталар  жүйесіне қатысты берілген болса, онда оның жылдамдық годографын анықтау үшін алдын – ала осы теңдеулерден уақыт бойынша бірінші туынды алып V_x, V_y, V_z – ді анықтаймыз. Кейін табылған теңдеулер құрамынан уақытты жоямыз. Сонда жылдамдық годографы табылады. Осы жолды қолдана отырып нүкте үдеулерінің де годографын табуға болады.

 

 

 

Айналмалы қозғалыстың кинематикалық элементтері

 

Қатты денелердің айналмалы қозғалысы

Қандай болмасын, айналу осімен салыстырғандағы F күштің М  моменті   төмендегі  формуламен анықталады:    

мұндағы l – айналу осінен бойымен күш әсер ететін түзуге дейінгі қашықтық.

Материялық  нүктенің қандай  болмасын  айналу осіне қатысты инерция моменті деп мына шаманы айтамыз:     ,

мұндағы т — материялық нүктенің массасы, ал — нүктенің  осьтен қашықтығы.

Қатты дененің  оның айналу осі арқылы алынған инерция моменті 

мұнда интегралдауды  дененің барлық көлемі арқылы жүргізу  керек. Интегралдау жүргізе отырып мынадай формулалар алуға болады:

1) өзінің осі  арқылы алынған тұтас біртекті цилиндрдің инерция моменті

мұндағы R — цилиндрдің   радиусы,   ал   m — оның   массасы.

2) цилиндр осінс қатысты ішкі радиусы R₁ және сыртқы   радиусы ₂  қуыс цилиндрдің  (құрсаудың)   инерция моменті    ,

жұқа қабырғалы  қуыс цилиндрдің R₁ R₂ = R және

3)  шардың центрінен өтетін оське қатысты радиусы біртекті шардың инерция моменті

4) стерженьнің ортасынан өткен оське қатысты біртекті стерженьнің инерция моменті оның ұзындығына перпендикуляр    .

Егер қандай болмасын дененің ауырлык центрінен  өтетін оське қатысты инерция момснті ₀ белгілі болса, онда бірішні оське параллель болатын кез келген ось арқылы алынған инерция моментін Штейнер формуласымен табуға болады:   ,

мұндағы т — дененің массасы, ал d — ауырлық центрінен айналу осіне дейінгі қашықтық.

Айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі заңы төмендегі теңдеумеи көрсетіледі:

,

мұндағы  М — инерция моменті -ге тең денеге түсірілген күш моменті;             — дененің  айналысының бұрыштық жылдамдығы. Егер = const болса, онда   

мұндағы — айналыс моментінің М әсерінен дененің алатын бұрыштық үдеуі.

Айналатын дененің  кинетикалық энергиясы 

мұндағы — дененіц инерция моменті, ал — оның бұрыштық жылдамдығы.

Айналмалы қозғалыс динамикасы теңдеуінің ілгерілемелі қозғалыстыц теңдеуімен салыстырмасы 2 – кестеде берілген.

Физикалық маятниктің кіші тербелістерінің периоды  

мұндағы — маятниктің осіне қатысты инерция моменті, m — маятниктің  массасы,   d — айналу  осінен   ауырлық центрге    дейінгі     қашықтық,     g— ауырлық     күшінің үдеуі.

2 – кесте

Ілгерілемелі  қозғалыс	Айналмалы қозғалыс
Ньютонның екінші заңы
немесе	немесе
Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы	Қозғалыс мөлшері  моментінің сақталу заңы
Жұмыс және кинетикалық энергия