Кинематика

20 ғ – дың басынан бастап физикада ашылған жаңалықтар Кеңістік пен уақыттың өзара байланысы, бір – біріне тәуелділігі жөніндегі жаңа көзқарастарға алып келді. Әсіресе, А.Эйнштейннің салыстырмалылық теориясы үлкен жаңалық әкелді. Ол микробөлшектердің кеңістіктегі қозғалысы сәуленің жылдамдығына (секундына 300000 км) жақындаған сайын оның массасы шексіз ұлғая беретіндігін және ол бөлшектің тұрқының да қысқара түсетіндігін дәлелдеді. Сонымен қатар биология қоғамдық ғылымдардың жетістіктері қозғалыстың органикалық және әлеуметтік түрлерінде кеңістік те, уақыт та, тіпті басқаша сипатта болатынын көрсетеді. Әлеуметтік өмірдің ырғағы біздің заманымызда әлдеқайда шапшаңдады. Өзгерістердің тым баяу өтуіне үйренген адамдар көп жағдайда жаңа дәуірдің екпініне бейімделе алмайды. Сондықтан Кеңістік пен уақытты да материя сияқты адамдардың дүниеге қатынасынан оқшау қарап, тек табиғаттағы адамға қатысы жоқ заттар мен құбылыстардың қасиеті деп түсіну – мәселені филос. тұрғыдан қарау емес, физика, т.б. жаратылыстану ғылымдарының тұрғысынан қарау болып шығады. Бұлай қараудың дүниеге көзқарастық мәні жоқ. Философиялық пайымдау кеңістік, уақыт, қозғалыс және болмыстың бірлікте екенін көрсетеді. Бұлар болмыстың өзіндік айқындықтары. Болмыстың ең жалпы, ең абстрактілі айқындықтарынан адам бұрынғыдан да гөрі нақтырақ, мазмұны күрделірек айқындықтарына өрлей береді. Соның негізінде айқындықтарды бейнелейтін ұғымдарды анықтайды. Бұл диалектикалық ойлау жолы.

 

Санақ жүйесі

 

Санақ жүйесі, механикада — материалдық денелер мен нүктелердің қозғалысын (немесе тепе – теңдігін) салыстырып зерттеуге арналған бір не бірнеше денелерге орналасқан координаттар жүйесі мен сағаттар жиынтығы; әртүрлі уақытта қозғалыстағы денелердің (немесе механикалық жүйенің) салыстырмалы орнын анықтайтын нақты немесе шартты алынған қатты дене.

Қозғалыстың барлығы  салыстырмалы, сондықтан кез келген дененің қозғалысын басқа денелерге  қатысты салыстырмалы түрде қарастырады. Мыс., айдың қозғалысы Жермен, Күнмен немесе басқа жұлдыздармен салыстырылады. Таңдап алынған Санақ жүйесімен салыстырғандағы дененің қозғалысы осы жүйедегі дене орнын анықтайтын координаттардың уақыт бойынша өзгерісін білдіретін теңдеулермен өрнектеледі. Кинематика зерттеулерде барлық Санақ жүйесінің атқаратын рөлі бірдей, ал динамика мәселелерінде (бірқалыпты, түзу сызықты қозғалатын немесе тыныштық күйдегі денелерде орналасқан, яғни инерция заңы орындалатын Санақ жүйесі) инерция Санақ жүйесі басты рөл атқарады. Оларға қатысты қолданылатын қозғалыстың дифференциялдық теңдеулерінің түрі қарапайым болып келеді.

Зерттеліп отырған  қозғалысты сипаттау үшін дененің уақытқа байланысты өз орнын қалай өзгертетінін білу керек. Ол үшін санақ денесімен байланысқан координата жүйесін сызамыз. Координата жүйесі өзара тікбұрыш жасап қиылысатын үш түзу сызықтан тұрады. Санақ денесі осы түзулердің қиылысу нүктесінде, яғни О нүктесінде орналасқан деп есептеледі. Санақ денесімен байланысқан сызықтар жүйесін координата жүйесі деп, ал сызықтардың қиылысу нүктесін санақ басы немесе координата басы деп атайды. Дене орнының уақыт өтуіне қарай өзгеруін бақылау үшін тек координата жүйесін таңдап алу жеткіліксіз. Сондықтан қозғалыс басталған мезеттен бастап уақытты есептейтін сағат қажет. Уақытты өлшеу арқылы координата жүйесі деген ұғымның орнына санақ жүйесі деген ұғымды да пайдалануға болады. Сонымен, санақ жүйесі деп санақ денесімен байланысқан координата жүйесі мен сағатты айтамыз. Дене қозғалысы осы жүйеге қатысты қарастырылады. Қозғалысты сипаттау үшін әр түрлі санақ жүйесін таңдап алуға болады. Бір ғана дененің әр түрлі санақ жүйесіне катысты қозғалысы түрліше көрініс береді. Мысалы, Жер бетіндегі денелердің қозғалысын қарастырғанда Жермен байланысты санақ жүйесін алған тиімді. Ал Жердің өз қозғалысын қарастырғанда санақ жүйесін Күнмен байланыстырған ыңғайлы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Материялық  нүкте түсінігі

 

Материялық  нүкте қозғалысының берілу тәсілдері (әдістері)

Қозғалып бара жатқан нүктенің кеңістікте қалдыратын ізі траектория деп аталады. Траектория түзуден тұратын болса, түзу сызықты  қозғалыс, қисық сызықтан тұратын  болса, қисық сызықты қозғалыс делінеді. Егер таңдалған санақ жүйесіне қатысты  нүктенің орнын анықтау тәсілі көрсетілген болса, нүкте қозғалысы берілген деп есептелінеді.

Материялық  нүкте қозғалысы 4 тәсілмен беріледі:

1) векторлық; 

2) координаталық; 

3) табиғи;

4) полярлық. Біз  негізінде үш тәсілмен танысамыз. 

1. Векторлық тәсіл. Айталық, М нүкте Охуz координаттар жүйесіне қатысты АВ траектория бойымен қозғалыста болсын. О және М нүктелерді біріктіретін вектор = нүктенің радиус – векторы делінеді (сурет 3).

 

 

 

 

 

                                                  Сурет 3

 

Уақыт өтуімен  М нүктенің алған орны өзгеріп  отырады. Нәтижеде оның радиус – векторының ұзындығы мен бағыты өзгереді. Егер М нүктенің              радиус – векторы уақыттың функциясы ретінде берілген болса, нүктенің кеңістіктегі орны кез – келген уақыт үшін анықталған болады, яғни

  (1.1)

Демек нүкте  қозғалысының вектор тәсілінде берілгендегі теңдеуі.

 

2. Координаталық тәсіл. Сызба геометриядан және математикадан белгілі болған нәрсе, ол қозғалып бара жатқан М нүктесінің кез – келген уақыттағы алатын орнын х, у, z Декарт координаттары арқылы анықтау мүмкіндігі. Нүкте қозғалғанда координаттар уақыт өтуімен өзгереді, яғни олар уақыттың бір мәнді функциясы болады:

x=x(t), y=y(t), z=z(t) (1.2)

Бізге (1.2) өрнегі белгілі болса, онда нүктенің кеңістіктегі алған орнын кезкелген уақытта анықтау мүмкін.

Олай болса (1.2) теңдеуі нүкте қозғалысының координат тәсіліндегі берілуін анықтайды.

Егер (1.2) өрнектен уақытты жойсақ, нүктенің траектория теңдеуі келіп шығады. М нүкте қозғалысы жазықтықта орын алса, (1.2) төмендегідей болады:

x=x(t), y=y(t) (1.3)

Нүкте қозғалысы  түзу сызықты болса, онда қозғалыс бағытын  Ох өсімен бағыттас деп, (1.2) өрнекті

x=x(t) (1.4)

түрінде жазуға болады.

Егер Охуz координат жүйесі өстерінің бірлік бағыттаушы векторларын сәйкес түрде десек, М нүктенің радиус – векторын төмендегідей жазу мүмкін (3 сурет):

(1.5)

Анықталған (1.5) теңдеуі нүкте қозғалысының вектор тәсілінде берілуімен нүкте координаттары арасындағы қатынасты өрнектейді.

 

3. Табиғи тәсіл. Айталық, М нүкте АВ траектория бойымен қозғалыста болсын (4 сурет). Траекториядағы кезкелген О нүктені санақ орталығы (центрі) деп, оң және теріс бағыттарды белгілеп аламыз. Онда нүктенің траекториядағы орны S қисық сызықты координатпен анықталады, яғни

(1.6)

  

 

 

  

 

                                                    4 сурет

 

Демек (1.6) теңдеуі М нүктенің траектория бойымен жылжығандағы қозғалыс заңын немесе табиғи тәсілде оның берілуі болады.

Сонымен, М нүктенің қозғалысын табиғи тәсілде анықтау үшін 1) траектория; 2) траекториядағы санақ центрі; 3) қозғалыс бағыты; 4) траектория бойымен қозғалыс заңы берілуі керек. Көрініп тұрғандай, траектория белгілі болса, қойылған мәселені шешкен кезде осы тәсілден пайдалану керек.

 

 

 

 

 

 

 

Материялық  нүкте қозғалысының координат тәсілдегі берілуінен табиғи тәсілдегі берілуіне өту

Нүкте қозғалысы (1.2) теңдеулермен берілген болсын, яғни

x=x(t), y=y(t), z=z(t)

Математикадан белгілі:

(1.7)

Жоғарыдағы (1.2) өрнекті уақыт бойынша дифференциалдаймыз:

, , (1.8)

Кейін (1.8) ді (1.7) ге қойсақ:

(1.9)

t=0 және t=t аралықта (1.9) ды интегралдасақ,

(1.10)

келіп шығады.

Демек, (1.2) – ден пайдаланып, нүктенің траектория бойынша (1.10) өрнекпен анықталатын теңдеуін анықтадық. Басқаша айтқанда нүкте қозғалысы координат тәсілінде берілгенде, оның табиғи тәсілдегі берілуін келтіріп шығардық.

 

 

Жылдамдық және үдеу – радиус – вектордың  уақыт 

бойынша туындысы

Материялық  нүктенің жылдамдығы мен үдеуін векторлық тәсілде анықтау

Нүктенің тұрған орнын  және қозғалыс бағытының қаншалықты өзгеруін белгілейтін шама оның жылдамдығы. Материялық нүкте қозғалысы вектор тәсілінде берілгенде, жылдамдық  қалай анықталатынын қарастырайық. Айталық, t=t₀ де қозғалып бара жатқан нүкте М₀ – де болып, радиус – векторы де нүкте М₁-де болып оның радиус – векторы арқылы анықталсын. Бұл жағдайда уақыттың өзгеруі, ал радиус – вектордың өзгеруі болады.

Радиус – вектор өзгеруінің уақыт өзгеруіне қатынасы нүктенің орташа жылдамдық векторын береді (5 сурет):

(1.11)

(1.11) тен да шекке өтсек, нүктенің ақиқаттық (сызықтық) жылдамдық векторы келіп шығады:

немесе 

(1.12)

 

 

 

 

 

 

 

                                                           5 сурет  

 

Табылған (1.12) өрнектен көретініміз, материялық нүктенің жылдамдық векторы, оның радиус – векторынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең.

 нөлге ұмтылғанда М₀нүкте төңірегінде айналып, жанамаға жақындайды. Нәтижеде жылдамдық векторы траекторияға жанама болып, қозғалыс бағытына қарай бағытталады. Жылдамдық халықаралық СИ жүйесінде м/с – те өлшенеді.

Материялық нүкте жылдамдығының  бағыты және шамасы қаншалықты жылдам өзгеруін анықтайтын шама, оның үдеуі.

Айталық, қарастырылып жатқан нүктенің болған кезде алған орны М₀болып, оның жылдамдығы ; де М₁ – де болып, жылдамдығы болсын. Жылдамдықтың өзгеруі ны анықтау үшін нүктенің М₁ – дегі жылдамдығы - ді М₀ нүктеге осы жылдамдыққа параллель түрде көшіреміз. Осы векторлардан параллелограмм құрсақ, онда бұл параллелограммның бір қабырғасы - дан 6 сурет құрылады.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                              6 сурет

Нүктенің орташа үдеуінің векторы төмендегідей болады:

(1.13)

(1.13) тің дегі шегі ақиқат (сызықтық) үдеудің векторын береді:

Немесе 

(1.14)

Демек, нүкте үдеуінің векторы жылдамдық векторынан уақыт  бойынша бірінші, радиус – вектордан алынған екінші туындыға тең.

Егер нүкте бір жазықтықта орналаспайтын қисық сызықтан                 тұрса, , параллелограмм жазықтығы Р – да орналасады. болғанда, яғни М₁ нүкте М₀ – ге жақындасқанда, Р жазықтықтың иеленген орны жабысқы жазықтық делінеді. Демек, М нүктенің үдеу векторы жабысқы жазықтығында жатады және траекторияның ойыстығына қарай бағытталады (6 сурет). СИ жүйесінде үдеу м/с² – пен өлшенеді.

 

Үдеу — нүктенің жылдамдығының мәні мен бағытының өзгеруін сипаттайтын векторлық шама.

• Абсолют үдеу — күрделі қозғалыстағы материялық нүктенің абсолют жылдамдығының мәні мен бағытының өзгеруін сипаттайтын векторлық шама. Абсолют үдеу — орын ауыстыру, салыстырмалы және кориолис үдеулерінің геометриялық қосындысына тең.
• Кориолис үдеуі — нүктенің салыстырмалы жылдамдығының, тасымалдау қозғалысының және тасымалдау жылдамдығының салыстырмалы қозғалысының әсерлерінен өзгеруін сипаттайды. Нүктенің кориолис үдеуі — бұрыштық жылдамдық пен тасымалдау қозғалысының жылдамдығының екі еселенген векторлық көбейтіндісіне тең.
• Салыстырмалы үдеу — салыстырмалы қозғалыстағы нүктенің салыстырмалы жылдамдығының өзгеруін сипаттайды.
• Салмақ күшінің үдеуі — денеге әсер еткен салмақ күшінен туындайтын үдеу.
• Тасымалдау үдеуі — тасымалдау қозғалысындағы нүктенің тасымалдау жылдамдығының өзгеруін сипаттайды.
• Нүкте үдеуі – нүкте жылдамдығының өзгеру тездігін сипаттайтын және жылдамдық өзгерісінің осы өзгеріс өткен уақыт аралығына қатынасына тең физикалық шама.
• Жанама үдеу – нүкте үдеуін құрайтын жанама арқылы траекторияға бағытталған.
• Қалыпты үдеу – нүкте үдеуін құрайтын қалыпты арқылы траекторияға бағытталған.
• Еркін түсу үдеуі – ауырлық күш қимылымен материалды нүктемен пайда болған үдеу.
• Бұрыштық үдеу – аралық уақытқа бұрыштық жылдамдықтың өзгеру қатынасы өзгеріс болған уақыт аралығында.

Формуласы

Материялық  нүктенің жылдамдығы мен үдеуін координаталық тәсілде анықтау

Нүктенің қозғалысы Декарт координаттарында (1.2) теңдеулермен берілген болсын.

Жылдамдық векторының Декарт координат өстеріндегі проекцияларын сәйкес түрде V_x, V_y, V_z десек

(1.15)

(1.13) – ке сәйкес, (1.15) – тен уақыт бойынша туынды аламыз:

(1.16)

(1.15) пен (1.16) ны салыстырсақ,

, , (1.17)

келіп шығады.

                     7 сурет

 

Демек, жылдамдық векторының координата өстеріндегі проекциясы, нүктенің осы өстегі сәйкес координаттарынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең. Жылдамдық векторының проекциялары сәйкес O_x, O_y, O_z өстеріне параллель (8 сурет). - терді параллелограмм тәсілін қолданып қоссақ, жылдамдық - терден құрылған параллелепипед диагоналы бойымен бағытталады.

                8 сурет  

 

Онда математикадан бізге белгілі болған өрнектен пайдаланамыз, яғни:

(1.18)

Жылдамдық векторының бағыттаушы косинустары төмендегідей өрнектерден  анықталады:

, , (1.19)

Қарастырылып жатқан нүктенің үдеу векторының Декарт координат  өстеріндегі проекцияларын  десек, онда

(1.20)

Енді (1.16) дан уақыт бойынша туынды аламыз (бұл өрнектегі бірлік векторлардың шамалары мен бағыттары тұрақты ). Бұл кезде

(1.21)

(1.20) мен (1.21) ді салыстырсақ.

, ,

немесе 

, , (1.22)

келіп шығады.

Нүкте удеуінің проекциялары (1.22) белгілі болса, онда оның модулі

(1.23)

Бағыттаушы косинустар

, , (1.24)

арқылы қозғалып бара жатқан материалдық нүкте үдеуінің координата өстерімен құраған бұрыштары анықталады (8 сурет).

 

Нүкте қозғалысы  табиғи тәсілмен берілген кездегі жылдамдықты  анықтау

Нүкте қозғалысы табиғи тәсілде, яғни (8) теңдеуімен берілген. Нүктенің радиус – векторы - ді қисық сызықты координата S – тің функциясы деп қарау мүмкін. Бұл жағдайда уақыттың күрделі функциясы болады.