Баланс энергии в самостоятельном разряде

    6. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО  РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА МОЩНОСТИ  ИЗЛУЧАЮЩИХ ТЕРМИЧЕСКИХ ДУГ 

  Обычно  рассматривается однородный в осевом направлении столб дуги в цилиндрической трубке, у которого все параметры являются функциями только радиуса. Далее, принимается, что выделяющаяся в столбе электрическая мощность уносится за счет излучения и теплопроводности и существует ЛТР. В этих условиях уравнение баланса мощности для единичного объема и закон Ома принимают вид

     σЕ²=divF_изл-1/2*d/dρ(ρא*dT/dρ)                (6.1) 

     I=2πr²_трЕ  σρdρ 
 

     Граничные   условия:    (dT/dr)_r=0=0 и Т(r_тр) = Т_тр. К   ним добавляется уравнение работы лампы в электрической цепи.

  Практически во всех случаях расчет начинается с задания некоторого исходного профиля температуры. Далее рассчитываются материальные функции конкретной плазмы в зависимости от температуры. Расчет σ и א в настоящее время не является проблемой, за исключением правильного выбора соответствующих эффективных сечений. По-прежнему основные трудности связаны с расчетами излучения при наличии заметного поглощения. В этих условиях значения F_изл для отдельных спектральных линий и суммарной плотности потока чистого излучения в данной точке разряда зависят не только от состояния излучения вблизи данной точки, но и от состояния излучения во всем излучающем объеме. При этом для нахождения F_изл надо решать трехкратные интегралы по объему разряда и интегрировать по частотам с учетом резкой и разнообразной зависимости θ_ν и k_v в пределах каждой спектральной линии. В настоящее время, несмотря на наличие мощных и быстродействующих ЭВМ, строгое решение этих задач требует непомерно больших затрат машинного времени. Остается также серьезная проблема, связанная с отсутствием надежных исходных данных для расчета формы ряда спектральных линий, вследствие чего абсолютные ошибки в расчетах могут быть очень значительными. Поэтому для согласования результатов расчета с данными эксперимента приходится пользоваться методом корректировки ряда констант.

  Однако  представим себе, что σ, א, F_изл(r) и divF_изл(r) вычислены. Далее возникает задача корректировки исходного профиля температуры в целях нахождения истинного распределения. Наиболее физически наглядным представляется так называемый релаксационный метод. Он базируется на решении зависящего от времени нестационарного уравнения баланса, которое в рассматриваемом случае для единичного объема имеет вид

               (6.2)

  Принимается, что исходный произвольный профиль  температуры соответствует начальному моменту времени. В уравнение (6.1) для выбранных точек сетки на радиусе (разбивается на равные интервалы) подставляют вычисленные значения σE², divF_изл и divF_теп. Значения (dT(r_i)/dt)_t=0 указывают, в каком направлении надо изменить T(r_i), чтобы приблизиться к стационарному состоянию, при котором для любого r производные (dT(r_i) /dt) = 0. Задача решается методом итераций через интервалы времени Δt. Для интервала Δt находят значения ΔT(r_i) и соответственно измененный профиль температуры. С новым профилем рассчитываются значения величин в правой части через  интервал Δt , находятся новые значения ΔT(r_i)  и т. д. до тех пор, пока в каждой точке радиуса ΔT(r_i)/ Δt не обратятся и нуль. 

  Практическое  нахождение стационарного распределения  температуры по радиусу этим методом встречает ряд трудностей. Это нестабильность решения, медленное схождение, но главная сложность остается в нахождении значения F_изл для каждого нового профиля температуры. По данным Ловке число итераций доходит до 50, и даже при упрощенном методе нахождения F_изл(r) необходимое машинное время оказывается недопустимо большим. Поэтому главные усилия исследователей направлены на упрощение этой процедуры в целях сокращения машинного времени.

  Среди работ этого направления отметим  теоретические и экспериментальные исследования Р. Зольвега, Д. Ловке, Р. Либермана

X. Штормберга и Шефера Б. Джонса и Д. Моттрама, Де Гроота ,С. П. Решенова и др.

  Упомянутые  авторы использовали различные методы численного решения уравнений баланса мощности столба разрядов совместно с законами Ома и уравнением цепи.

  Поскольку характер излучения и поглощения в столбе в решающей степени определяется составом наполнения и другими условиями разряда, каждый тип разряда рассматривается с учетом специфических для него конкретных особенностей и соответственно вводятся те или другие допущения и упрощения, которые затем проверяются экспериментально. Усилия исследователей направлены, главным образом, на поиски путей экономии машинного времени и использование различных аппроксимаций в целях упрощения расчетов F_изл.

  Так, Р. Зольвег на основе экспериментальных  данных о распределении температуры по сечению разряда (по излучению линии 577 нм) определил из уравнения баланса объемную плотность чистого суммарного излучения ртутных разрядов ВД в зависимости от температуры плазмы для трех давлений (около 3-10⁵, 5,3-10⁵ и 13,5-10⁵ Па) и нескольких токов и сравнил с теоретически рассчитанными значениями. (Последние рассчитывались для упрощенной П-образной модели канала разряда при нескольких значениях R_эф.)

  Эти же полученные из эксперимента данные были использованы им в численных расчетах баланса мощности ртутных разрядов ВД с учетом и без учета роли вертикальной конвекции.

  X. Штормберг и Шефер определили объемную плотность чистого суммарного излучения ртутных разрядов ВД путем точного расчета излучения 18 наиболее интенсивных линий ртути, при этом для более точного совпадения расчетных форм линий с экспериментом некоторые константы корректировались.

   В целях универсализации и упрощения  расчеты проводились с использованием модельного распределения температуры плазмы по радиусу, предложенного Де Гротом Т(ρ)=Т(0)-(Т(0)-Т_тр)ρ^β, где ρ=r/r_тр;Т(0)—температура на оси разряда; β— параметр. С помощью этой формулы путем изменения Т(0) и β удается очень хорошо аппроксимировать реальные профили температур самых различных дуг ВД, стабилизированных стенками.

  Результаты  своих весьма трудоемких расчетов авторы представили в виде аппроксимационных формул, в которых локальные значения объемной плотности чистого суммарного излучения однозначно выражены через Т(р), r_тр, ρ_Hg, T(0) и β. В статье приведены необходимые для расчетов формулы и коэффициенты и дано сравнение с экспериментом.

  Б. Джонс и Д. Моттрам в целях  упрощения расчетов и сокращения машинного времени при вычислении F_изл(Т(ρ)) предложили полуэмпирическую формулу. При наличии строго рассчитанных значений F_изл(Т(ρ)) для нормализованных условий разряда эта формула позволяет вычислить четыре входящие в нее константы и далее сравнительно просто находить значения F_изл для условий разряда с тем же составом наполнения, но отличающихся от нормализованных по d_тр, ρ и Т. Возможности этого метода были продемонстрированы на примере расчета плазмы ртутно-натриевого разряда ВД .

  С. П. Решенов решал задачу численного расчета баланса мощности плазмы ртутного разряда ВД и закона Ома, используя аппроксимационные формулы Штормберга и Шефера для суммарного излучения.

  Сравнение результатов расчетов в перечисленных  выше работах с данными экспериментов показывает, что при использовании корректирующих коэффициентов получается вполне удовлетворительное согласие.

  Рассматривая  вопрос о точности решения уравнения  баланса следует учитывать, что ошибка в расчете одного из членов может оказаться скомпенсированной противоположной ошибкой в другом члене баланса. Поэтому крайне важно иметь дополнительные и независимые методы расчета и проверки входящих и уравнение величин.

  В заключение отметим наиболее важные результаты этих расчетов.

  Вследствие  цилиндрической симметрии F_изл на оси всегда равна нулю, затем быстро возрастает, проходит через максимум ч начинает падать (рис.6.1). Характер кривой определяется соотношением прямого и обратного потоков с ростом r и зависит от интенсивности и поглощения и их распределения по сечению.

При известном  распределении F_изл (r) находим div F_изл (r), представляющую собой чистую объемную плотность излучения (Bт/см³). В зависимости от состояния излучения и поглощения в периферийных зонах разряда поглощение может превышать излучение, div F_изл и становится здесь отрицательной. Такое положение наблюдается, например, для излучения резонансных линий натрия в НЛВД (6.1).

  На  рис. 6.2 приведены результаты расчетов распределения по сечению температуры плазмы ртутного разряда ВД, полученные С. П. Решеновым.

С ростом удельной мощности (и тока) при постоянных значениях остальных параметров (т₁ и d₁) форма кривых спада температуры уширяется, слабо растет Т_тр, в то время как Т(0) практически не изменяется (рис.6.2,а). Вследствие этого увеличивается градиент температуры в пристеночной области и растут тепловые потери.

  С ростом m₁ (и p_Hg) при постоянстве остальных параметров (P_1ст и d) заметно падает Т(0), в то время как Т_тр и профиль температуры практически не изменяются (рис. 6.2,б).

  Изменения диаметра трубки в пределах от 1 до 3 см при постоянстве остальных параметров (Р_1ст и т₁) практически не сказываются на Т(ρ), кроме узкой пристеночной зоны.

  На  основе данных численного решения уравнения  баланса были получены практически все закономерности для ртутных разрядов ВД, известные ранее из экспериментов и приближенных методов расчета, выполненных в основном В. Эленбаасом. Анализ результатов расчетов позволил более глубоко понять и количественно оценить роль различных факторов, в том числе зависимости ρ и Р_1т от Р_1ст при m и d= const и др.

 
 

     Рис.  6.1.Типичное распределение плоности потока излучения (с учётом поглощения ) F_изл и div F_изл по радиусу трубки для натриевого разряда ВД  
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рис.6.2.Радиальное распределение температуры плазмы в столбе ртутного разряда ДВ в зависимости от ударной мощности  Р_ст (а) и от удельного количества ртути m₁ (б) при постоянстве остальных параметров. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7.ВКЛАД  ИЗЛУЧЕНИЯ В БАЛАНС ЭНЕРГИИ  ПС 

       Полную теорию ПС (особенно нахождение E_z) даже в случае малых плотностей газа (диффузионный ПС) невозможно дать, если неизвестна доля энергии, уносимая излучением ПС. В широком диапазоне давлений (10^-3÷10 мм рт. ст.) эта доля может быть очень велика. Теоретический подсчет концентрации возбужденных атомов и мощности, уносимой излучением, затруднен вследствие реабсорбции резонансного излучения; даже теоретические работы последних лет дают лишь грубые результаты ,что связано со следующими обстоятельствами:

1. отсутствие максвелловского распределения  электронов  с   энергиями порядка потенциалов возбуждения
2. неточное знание всех сечений возбуждения, особенно для ступенчатого возбуждения;

       3) сложность   и   громоздкость комплексной   задачи о   расчете   ПС   в целом   (с   учетом  выхода  излучения  и истинной функции   распределения электронов  по  скоростям). В общем виде эта задача до настоящего времени не решена.

       Поэтому большое значение имеют экспериментальные  исследования вклада энергии излучения в общую величину энергии, теряемой положительным столбом в единицу времени. Общая энергия излучения как резонансных, так и нерезонансных линий ПС в Ne, He, Аг,

       

       

       в смеси Na с инертными газами при давлениях газа до 10 мм рт. ст. и при токах до 0,2 а: обнаружено, что при низких давлениях вплоть до давлений порядка 1 мм рт. ст. потери энергии на излучение преобладают над другими видами потерь (нагрев пара, уход ионов на стенки). Баланс энергии ПС в парах цезия исследовался в смеси Cs + Аг . Давление паров менялось в пределах 10^-3 мм рт. ст., ток - в пределах 10 ^-1 ÷4 а. Энергия, уносимая излучением, измерялась с помощью фокусировки света от 1 см длины ПС на калиброванный термостолбик.

         Измерения показали, что почти вся энергия уносится в резонансных линиях. Фотоэлектрическим методом найдено, что вклад излучения (главным образом резонансного) велик при малых плотностях паров Cs (n_cs≈10¹³÷10¹⁴см^-3,n_Ar≈10¹⁸cм^-3), но  при  больших значениях n_Cs доля энергии, уносимой излучением, заметно падает. Как упоминалось выше, измерения мощности резанансного излучения ПС в парах ртути низкого давления делались с помощью фотоэлемента. Измерения мощности излучения  ртутного ПС высокого давления производились в условиях , где доля  энергии велика, уносимой нерезонансными линиями.