Баланс энергии в самостоятельном разряде

      σE²dV= div(F_изл+F)dV  (3.9)

   Электропроводность  плазмы а, суммарная мощность, теряемая единичным объемом за счет всех видов излучения, θ_сум и коэффициент теплопроводности плазмы א являются функциями температуры, состава плазмы и давления. Они носят название материальных функций. Найдем их выражения в условиях термической дуги.

  Суммарное излучение. Плазма дуги излучает в общем случае спектр, состоящий из множества линий и непрерывного фона. Для баланса энергии важна суммарная мощность, покидающая данный объем в результате излучения всех спектральных линий и непрерывного фона,— θ_сум. Чтобы получить эту величину, надо просуммировать мощности излучения всех отдельных линий с учетом реабсорбции и непрерывного фона. Для спектральных линий, например, объемная плотность чистого суммарного излучения

      θ_сум(r)=∑(S_kj(r)-S_jkпогл(r)) (3.10)

  Расчеты по этой формуле весьма сложны и, кроме  того, требуют знания вероятностей переходов для всех энергетически весомых линий. В. Эленбаас предложил еще в 1935 г. для ртутных дуг ВД приближенный метод нахождения мощности чистого суммарного излучения, который не потерял своего значения до сих пор. Он предложил определять θ_cум, исходя из следующих соображений: резонансное излучение поглощается настолько 

 сильно, что его можно не учитывать,  а излучение нерезонансных линий выходит из разряда без поглощения. Тогда s_cyм будет равно сумме объемных мощностей излучения всех линий, кроме резонансной.

Для длинного разряда  с цилиндрической симметрией

      θ_сум≈S_сум(r)≈∑hν_jkA_jk(g_k/g_o)(p/kT(r))c^{(еU/kT(r) (3.11)}

где г — текущий  радиус; k, j — номера    уровней    возбуждения ртути.

  Выполнить это суммирование прежде не было возможности  из-за отсутствия данных о величинах А и сил осцилляторов для многих линий. В. Эленбаас вычислил S_сум(r), введя некий усредненный эффективный потенциал возбуждения U_в и предположив, что сумма экспонент в (3.11) может быть приближенно заменена одной экспонентой (см. рис. 3.1):

(3.12)

  Значение  U_B можно оценить, рассматривая схему уровней атома. Поскольку наибольшую силу излучения должны иметь нерезонансные линии с самых нижних нерезонансных уровней возбуждения, очевидно, они должны иметь и наибольший вес в сумме так, что U_В должно быть близко по величине к их потенциалам возбуждения. Для Hg, например, U_В≈8B. 

  После выхода в свет «таблиц вероятностей переходов и сил осцилляторов 70 элементов» Корлисса и Бозмана  появилась возможность рассчитывать суммы в формуле (3.11) для различных элементов и температур и находить значение U_в. Приравнивая (3.11) и (3.12) и беря логарифм, получаем

        eU_B/kT=-ln∑+lnc_s+ln(p/kT) (3.13)

 
   Отсюда  численное значение U_B определится по наклону кривой значения суммы, построенной в полулогарифмическом масштабе от 1/Т.  

 
 
 
 

Рис.3.1. Зависимость суммарного излучения ртутного разряда ВД от \/Т в полулогарифмическом масштабе, рассчитанная по формуле (3.13) без линий 185 и 254 нм  
 
 

  

  Отметим, что такой расчет U_s для ртути дает величину, совпадающую со значением, найденным экспериментально.

  Естественно, эти расчеты должны давать значения U_B тем ближе к эксперименту, чем точнее соблюдаются в разряде предположения, положенные в основу расчета.

   При пользовании представлением об эффективном  потенциале возбуждения надо помнить, что это весьма плодотворное упрощение было сделано в свое время в связи с невозможностью более точного расчета излучения. В настоящее время такая возможность имеется, но пока расчеты еще не доведены до вида, пригодного для инженерной практики, и поэтому этот метод продолжает представлять интерес. Анализ выражений, учитывающих поглощение излучения, показывает, что U_в должно зависеть от условий разряда. Так, при предположении о том, что резонансное излучение полностью поглощается, по мере увеличения поглощения нерезонансных линий и_в должно уменьшаться, стремясь в пределе к величине (U_k-Uj/2), где U_k — эффективный потенциал уровней возбуждения нерезонансных линий, U_j — то же уровней их поглощения.

  Для получения уравнения баланса  мощности подставим выраженные через s_cyM из (3.12) в уравнение баланса (3.8), тогда получим дифференциальное уравнение, описывающее распределение температуры в столбе стационарной термической дуги при сделанных выше допущениях (черту над U_B далее в отдельных случаях опускаем):

     const_jp^-1/2E²I^3/4e^-Uj/2kT=const_spT^-1e^-(eU/kT)-div(א grad T)

     (3.14)

Для решения  этого уравнения применительно  к конкретным условиям должны быть заданы краевые условия задачи, которые включают в себя пространство, занимаемое дугой, температуру на границах и значения входящих в уравнение констант и величин.

     Столб с цилиндрической симметрией наиболее прост математически и в то же время практически весьма важен. При цилиндрической симметрии и отсутствии тока в радиальном направлении температура и все другие параметры дуги являются функциями только радиуса r. В цилиндрической системе координат уравнение баланса примет вид

     const_jp^-1/2E²T^3/4e^-(eUj/2kT)2πrdr=

     =const_θpT^-1e^-(eUв/kT) 2πrdr-1/r*d/dr(rא dT/dr) 2πrdr (3.15) 

Граничные условия  для дуги стабилизированной стенками:

1. при r=;0  (dT/dr) = 0;    
2. приг = r_трT(r_тр) = T_тр.                                                (3.16)

  Приведем  уравнение (4.93) к универсальному виду, для чего введем относительный радиус р=г/г_тр. Тогда получим

                   (3.17)

Граничные условия  перейдут в следующие:

1) при ρ = 0 (dT/dρ) = 0, (3.18)

     2)при  ρ = 1 Т=Т_тр.        

Решение уравнения (3.18) дает распределение температуры  по радиусу, зная которое, можно найти  концентрации заряженных частиц и возбужденных атомов и рассчитать электрические, а в ряде случаев и оптические характеристики разряда. 
 
 
 
 

4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

  Приведенное выше приближенное уравнение баланса  мощности не решается в квадратурах даже в простейшем случае цилиндрической симметрии. Поэтому для получения необходимых сведений приходится прибегать к различным приемам. Среди них общий анализ и метод подобия, позволяющие получить некоторые соотношения без интегрирования, приближенные методы решения, основанные на 

       

Рис. 4.1. Формы  столба дуги  при различной стабилизации:

в — стабилизация стенками (ртутный разряд ВД в длинной узкой трубке); б —стабилизация конвекционными потоками (ртутный разряд, горящий в широкой трубке: 0 40 мм; 3-10^s Па; 15 В/см; / — 6 А; расстояние между электродами 80 мм): / — вертикальное положение горения; 2 — горизонтальное; в — стабилизация электродами (ртутный разряд в шаровой колбе; Р_л—2 кВт; 25'10⁵ Па; длина дуги 25 мм); / — вертикальное полвже-ние; 2 — горизонтальное (снято через красный фильтр)

различных упрощениях, и, наконец, численное интегрирование уравнения. Интегрирование важно также и для того, чтобы проверить правильность исходных положений теории и оценить роль различных процессов в дуге. В ряде случаев, когда необходимо быстро оценивать характер изменения параметров при изменении условий разряда, известную пользу могут сослужить приближенные методы решения и отчасти методы подобия.

  Основной  недостаток изложенной модели состоит  в грубом методе расчета суммарного излучения из-за пренебрежения ре-абсорбцией или ее грубого учета. При расчете суммарных характеристик или характеристик, для которых распределение температуры несущественно, получаются более или менее правильные результаты потому, что фиктивный средний потенциал возбуждения и соответствующие значения параметров в формулах определяются непосредственно из опыта. Однако эти данные становятся малопригодными для далеких экстраполяции.  

  Строгий количественный учет роли реабсорбции  пока все еще остается сложным. Поэтому для инженерной практики можно рекомендовать представление результатов трудоемких расчетных решений, однажды полученных на ЭВМ, аппроксимационными формулами, удобными для расчетов на микрокалькуляторе. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. ОБЩИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА И ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ТЕРМИЧЕСКИХ ДУГ

Общий анализ   уравнения баланса   позволяет   сделать ряд

выводов без  интегрирования. На    оси    вследствие симметрии

dT/dρ=0 господствует самая высокая температура. При этой 
температуре, очевидно,

σ₀Е^²=θ_сум(0) (5.1)

  По  мере удаления от оси температура  снижается. Математически это означает, что (d²T/dρ²)_ρ=0<0. Но это возможно только при условии, что с уменьшением осевой температуры на ΔT

(σ₀Е^²-θ_сум)>0 (5.2)

  Отсюда  непосредственно следует, что дуга может существовать только при условии, что

E≥√θ_сум/σ₀ (5.3)

  Исследование  уравнения баланса позволяет  определить характер спада температуры с ростом ρ. Если при снижении температуры ниже осевой σЕ² остается повсюду больше θ_сум, то d²T/dρ² остается по всему сечению отрицательной и, следовательно, скорость спада температуры с ростом р будет все время возрастать до самой стенки. Такой вид характерен для дуг стабилизированных стенкой.

  Если  же при снижении Т θ_сум уменьшается медленнее, чем σ, то при некоторой температуре они сравняются и далее θ_сум станет больше σ, при этом d²T/dρ² переменит знак. Канал дуги сжимается, и дуга уже не стабилизируется стенками. Она может перемещаться внутри трубки, что вызывает неспокойное горение и весьма нежелательно для работы ламп.

  Для того чтобы выяснить, при каких условиях дуга стабилизируется стенками, запишем в явном виде от температуры неравенство (σЕ^²-θ_сум)>0 , следовательно для θ_сум=S_сум. Введем для сокращения записи обозначения: 

  υ_j=еU_j/2k=5800U_j;

  2U_в/U_j=n;

  с_j=сonst_jT^3/4;

  с_s=const_sT^-1.                  (5.6)

   Тогда неравенство (5.2) запишется так:

  e^-υ_j^/T(c_jp^-1/2E²-c_spe^-(n-1)υj/T)>0                          (5.7) 

Для того чтобы оно выполнялось при  всех Т ниже Т(0), необходимо, чтобы второй член в квадратных скобках уменьшался при уменьшении Т. Это реализуется при (п—1)>0. 
 

  

  Подставляя  значение п из (5.6), получаем условие, при котором дуга остается стабилизированной стенками трубки:

     U_в>U_j/2                    (5.6)

     Это условие выполняется в ртутных  дугах ВД, в то время как в металлогалогенных лампах введение излучающих добавок в зависимости от значения U_B/Ui приводит или к стягиванию или расширению дуги.