Практические аспекты линейного программирования в финансовом анализе и планировании

       Линейное  программирование может быть использовано для оптимального распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими направлениями деятельности. Метод линейного программирования может быть наиболее эффективен в тех случаях, когда и целевая функция фирмы, и установленные ограничения представляют собой линейную функцию переменных, учитываемых при выборе решений. Первым шагом должна быть такая постановка задачи, которая бы позволяла применить к ней метод линейного программирования. Для этого нужно делать следующее.

       Во-первых, нужно выделить поддающиеся контролю переменные, учитываемые при выработке финансового решения. Во-вторых, нужно определить целевую переменную, которая должна быть максимизирована или минимизирована, и представить ее в виде линейной функции от контролируемых переменных. В финансовом деле целевой функцией обычно является максимизация прибыли, рыночной стоимости или минимизация себестоимости. В-третьих, нужно установить ограничения и выразить их в форме линейных уравнений. Обычно приходится определять свойства ограниченных ресурсов и находить их линейные зависимости от переменных, учитываемых при принятии решений.

       Предположим, например, что X₁ ,X_2,…X_n обозначают объем производства. Тогда модель линейного программирования можеть быть записана в самом общем виде.

       Z= C1X1 + C2X2 + ... + Cnxn → max(min);                                   (3.2.1)

       При следующих ограничениях:

       А11X1 + A12X2 + ... + A1nXn ≤ B1;

       А21X1 + A22X2 + ... + A2nXn ≤ B1;

       Am1X1 + Am2X2 + ... + AmnXn ≤ Bm;

       Xj ≥ 0, j=(1,2,…n).                                                                           (3.2.2)

       Z обозначает целевую функцию, которая должны быть максимизирована или минимизирована (прибыль, рыночная стоимость или себестоимость); С1,С2,..Сn и A1,A2,…Amn – это постоянные коэффициенты, соответствующие вкладу отдельных переменных в прибыль, а B1,B2…Bn – объем принадлежащих фирме ограниченных ресурсов. Последнее ограничение означает, что интересующие нас переменные должны быть неотрицательными.

       По  модели линейного программирования нужно сделать несколько замечаний. Во-первых, ограничения могут быть сформулированы в виде равенств, либо выражений больше или меньше. Во-вторых, решения могут быть дробными. Если допустимы только целые значения, может быть использована соответствующая математическая техника. В-третьих, значения коэффициентов предполагаются известными и постоянными. Если же их значения имеют вероятностную природу, тогда следует использовать какой-либо метод стохастического программирования.

       Рассмотрим  пример использования линейного  программирования в задаче инвестиционного  анализа с рационированием капиталов. Предположим, что фирма располагает для инвестирования 15 млн. долл, а стоимость капитала для нее составляет 12%. Рассматриваются 4 проекта.

                                                                                                        Таблица 3.2.1

 

       В данном случае целью является выбор  проектов, способных в наибольшей степени увеличить чистую приведенную  стоимость. Иными словами, нужно инвестировать в оптимальное число таких альтернативных проектов, чтобы значение функции чистой приведенной стоимости стало максимальным:

       NPV=34,72Xa+41,34Xb+27,8Xс+60,88Xd,                                    (3.2.3)

       Где Xa,Xb,Xc,Xd обозначают сумм, инвестируемые в проекты A,B,C,D.

       Задача  имеет несколько ограничений. Во-первых, суммарные вложения в момент 0 не могут превышать 15 млн. долл. То есть:

       15Xa+7,5Xb+7,5Xc+60Xd≤15,                                                        (3.2.4) 

       Кроме того, не может быть приобретено больше одного проекта и не может быть приобретен проект с отрицательным значением параметра:

       0≤Xa≤1;

       0≤Xb≤1;

       0≤Xc≤1;

       0≤Xd≤1.                                                                                             (3.2.5)

       Совокупность этих уравнений и определяет задачу линейного программирования:

       34,72Xa+41,34Xb+27,81Xc+60,88Xd→ max,                                (3.2.6)

       при 

       15Xa+7,5Xb+7,5Xc+60Xd≤15                                                          (3.2.7)

       0≤Xa≤1; 0≤Xb≤1; 0≤Xc≤1; 0≤Xd≤1.                                                (3.2.8)

       Оформим данную задачу в Excel

                                                                                             Таблица 3.2.2

 

       С помощью функции поиск решения  получим следующий результат 

                                                                                                 Таблица 3.2.3

         

       Запросим  отчет по устойчивости

                                                                                                   Таблица 3.2.4

 

       Нормированная стоимость показывает, как изменится наш NPV, при принудительном выборе того или иного проекта в пределах допустимых ограничений. Теневая цена показывает сколько принесет дополнительно вложенный 1 млн.долл. инвестиций, при заданных условиях в пределах допустимого увеличения – 15млн.

       Взаимоисключающие проекты. Предположим теперь, что  проекты B и C являются взаимоисключающими. Мы можем использовать интегральную программу с условием, что наши совокупные инвестиции в два проекта не могут быть больше 1

       Xb+Xc≤1                                                                                            (3.2.9)

       Другими словами, если Xb равно 1, то Xc должно равняться 0; и наоборот.

       Предположим далее, что проект D связан с проектом A и мы не можем принять проект D, не приняв проект А. В этом случае нам необходимо добавить условия:

       Xd-Xa≤0                                                                                            (3.2.10)

       Иначе говоря, если Xd равно 1, то Xa может равняться 0 или 1, но если Xd рано о, то Xa также должно равняться 0. 

       3.3. Максимизация прибыли 

       Производитель игрушек компания XYZ Toys производит три типа игрушек: Королевская кобра(КК), пистолет Пит(ПП) и Рок Кули(РК). Производство во всех случаях стоит в изготовлении пластмассовых отливок и сборке деталей.

                                                                                                        Таблица 3.3.1

       Расходы времени на отливку и сборку деталей