Лекції з фінансового менеджменту

FV = PV + I  = PV * ( 1 + n * i )   

Множник ( 1 + n * i ) називають множником або коефіцієнтом нарощення суми простих відсотків.

( 1 + n *i ) завжди > 1.

Методичний  інструментарій оцінки вартості грошей  за складними  відсотками .

Для розрахунку майбутньої суми вкладу (вартості грошей) в процесі  його прирощення за складними відсотками використовується формула:

FV =  PV * ( 1 +  i )ⁿ,

де FV – майбутня вартість вкладу (грошових коштів) при його нарощенні за складними відсотками;

PV – початкова сума вкладу (грошових коштів);

і - відсоткова ставка, виражена десятковим дробом;

n – кількість інтервалів , по яких здійснюється кожний відсотковий  платіж, в загальному обумовленорму періоді часу.

Відповідно, сума відсотка І в цьому випадку визначається за формулою:

І  = FV – PV.

Слід зазначити, що складний відсоток може нараховуватись декілька разів в межах одного року. Якщо m-кількість разів нарахування  складного процента протягом  року , тоді майбутня вартість FV депозиту PV при ставці процента і після n років складає: 

Проблема “гроші-час” не нова, тому відпрацьовано зручні моделі та алгоритми, які дозволяють орієнтуватися в справжній вартості майбутніх дивідендів з позицій  поточного періоду.

Різноманітність задач щодо визначення зміни вартості грошей в часі можна звести у такі групи:

І. Компаундирування - визначення майбутньої вартості грошей. (FV, future value - майбутня вартість, англ.):

1.1. вкладених водночас  на певний термін під певний % (просте компаундирування);

1.2. вкладених рівними  частками через рівні проміжки  часу під певний % - це визначення FV ануїтетів або ренти:

1.2.1. компаундирування  звичайної (відстроченої) ренти - це визначення FV ренти, вклади  по якій проводяться в кінці  кожного періоду;

1.2.2. компаундирування  вексельної ренти - визначення FV ренти, вклади по якій проводяться  на початку кожного періоду.

ІІ. Дисконтування - визначення поточної (теперішньої) вартості грошей (PV, present value - теперішня вартість, англ.):

2.1. отриманих в майбутньому водночас (просте дисконтування);

2.2. отримуваних в майбутньому  через рівні проміжки часу:

2.2.1. в кінці кожного  періоду – це визначення теперішньої  вартості звичайних анюїтетів,  або PV звичайної (відстроченої) ренти;

2.2.2. на початку кожного періоду - це визначення PV вексельної ренти.

 

2. Майбутня  вартість грошей та її визначення.

2.1.Просте компаундирування.

Компаундирування - процес переходу від теперішньої вартості (PV) до майбутньої (FV). Порядок визначення майбутньої вартості грошей розглянемо на прикладі.

Приклад 1.

Підприємець хоче покласти на депозит в банк 100 гр.одиниць  одноразово під 5% річних на 5 років. Яку  суму грошей матиме підприємець наприкінці першого року і який буде результат  через 5 років?

PV = 100 гр.одиниць

і = 0,05.

I = 100 гр.од. х 0, 05 = 5 гр.од. - грошовий вираз відсотка, який отримає підприємець наприкінці 1 року.

n = 1;  n = 5.

Таким чином , для  n = 1 :

FVn = FV₁ = PV + I = PV + PV(i) = PV (1+ i) = 100 гр.од.  *  (1 + 0,05) =  100 гр. од.  *  (1,05) = 105 гр.од.

Тобто наприкінці першого  року підприємець матиме 105 гр.одиниць. Підприємець заробив за перший рік 100 гр.од. * 0,05 = 5 гр.од, тому по закінченні першого року сума внеску дорівнювала  вже 100 гр.од + 5 гр.од. = 105 гр.од.

Другий рік почався  вже з цієї суми,   відсоток склав 5,25 гр.од.. Відсоток за другий рік більше відсотку за перший тому, що підприємець заробив вже відсоток на відсоток першого року внеску: 5 гр.од. х 0,05 = 0,25 гр.од. Цей процес продовжується, і внаслідок того, що кожного разу початкова сума вище попередньої, річний відсоток  виростає. Загальний зароблений відсоток  5,00+5,25+5,51+5,79+6,08=27,63 гр.од.,

Вартість наприкінці 2 року:

FV₂ = FV₁ (1+ i) = PV (1+ i)(1+ i) = PV (1+ i)² = 100 гр.од. * (1,05)² = 110,25гр.од.

 Кінцевий результат третього року внеску: FV₃= FV₂ (1+ i) = PV(1+i)³ =  100 гр.од х (1,05)³ = 115,76 гр.од.

Таким чином, FV₅ = 100 гр.од. * (1,05)⁵ = 127,63 гр.од.

Всі ці розрахунки можна  звести до вищевикладеного рівняння:

FVn= PV (1+ i)ⁿ,

Таке рівняння можна  вирішити за допомогою таблиць визначення майбутньої вартості грошей, які можна знайти в будь-якому підручнику з фінансового менеджменту. В таблицях  підраховано фактор майбутньої вартості відсотку для і та n (FVIF_i,n), тобто визначена майбутня вартість 1 грошової одиниці, залишеної на рахунку  на n періодів під і відсоткову ставку.

Оскільки (1+ і)ⁿ = FVIFi,n; рівняння може бути переписане таким чином: 

FV_n = PV * (FVIF_i,n).

В нашому випадку в  таблиці можна знайти  FVIF для 5 років з 5% ставкою цифру, яка знаходиться на перехрещені стовпчику для періоду 5, і  стовпчику для 5%. Бачимо, що FVIF  = 1,2763 . Звідси FVn = PV * (FVIFi_,n)= 100 гр.од. * (1,2763) = 127,63гр.од.

Банкіри та фінансові менеджери  іноді також використовують так  зване “Правило числа 72” . Воно дозволяє приблизно визначити, яка комбінація рівня відсоткової ставки і термінів вкладу приведе до подвоєння вкладенного капіталу. Наприклад, інвестиції з 9%-м річним доходом подвоюється приблизно за 8 років (8 х 9 = 72). Інвестиція з доходом 6% на рік вимагає 12 років для подвоєння вкладенного капіталу, і так далі.

 

2.2.Компаундирування  анюїтетів (ренти).

Рента (анюїтет) - це серія вкладів або виплат рівних сум, що здійснюються через певні інтервали або певну кількість періодів. Такі вклади можуть проводитись або на початку, або в кінці кожного періоду. Якщо вони здійснюються в кінці періоду, як це, звичайно, і робиться, така рента називається звичайною або відстроченою.

Якщо виплати провадяться на початку кожного періоду, то така рента називається вексельною.

Оскільки у фінансовій практиці частіше зустрічається відстрочена рента, то , якщо в задачах стоїть запитання “знайти FV ануїтетів (ренти)”, слід розуміти, що виплати здійснюються у кінці періоду. В протилежному випадку буде спеціально вживатися слово “вексельна рента”.

Для розуміння сутності визначення майбутньої вартості ануїтетів звернемося до прикладу.

Приклад 2.

Підприємець хоче класти на депозит  на трьохрічний строк по 100  гр.од. в кінці кожного року під 5% річних. Яку суму він матиме по закінченні 3 років?

Цей приклад відрізняється від  попереднього тим, що загальний вклад  зроблено не одноразово на певний термін, а серією рівних вкладів, тобто рентою або ануїтетами.

Для розв'язання задачі ми повинні  розрахувати майбутню вартість ануїтетів  або ренти,  FVAn.

Здійснюється нарахування платежу  на платіж до n-го періоду. Сума цих платежів і є майбутньою вартістю ануїтету, FVАn.

Кожний потік грошових коштів компаундирується для того, щоб отримати FVAn.          

                                                                                                                  

Приріст від вкладання  водночас більший, ніж частками. Це підтверджує теорію, що із зростанням ризику зростає компенсація - винагорода за ризик.

 

3. Теперішня  вартість грошей та її визначення.

3.1. Просте дисконтування.

Дисконтування – процес, протилежний компаундируванню. Це  визначення поточної вартості грошей (PV). Порядок визначення теперішньої вартості відобразимо за  допомогою прикладу.

Приклад 3.

Яку суму грошей повинен покласти підприємець в банк на депозитний рахунок, якщо при відсотковій ставці 5% через років він планує отримати 127,63гр.од.

Приклади 3 і 1 мають дещо спільного : відсоткову ставку і термін, на який кладуться гроші на депозит . Але  в прикладі 1 визначена сума, яку  підприємець має покласти на депозит, а в прикладі 3 ми повинні визначити цю суму. В прикладі 3 задається очікувана сума через 5 років, а в прикладі 1, навпаки, саме ця сума невідома. Отже приклад 3 є оберненним до прикладу 1.

Процеси компаундирування (приклад 1) і дисконтування (приклад 3) знаходяться в тісному взаємозв”язку один з одним. Визначення поточної вартості (дисконтування) є прямою протилежністю компаундируванню. Таким чином, якщо нам відомий показник PV, то за допомогою компаундирування ми можемо розрахувати FV. Якщо ж нам відома змінна FV, то , застосувавши дисконтування, ми знайдемо PV, маючи справу з одним і тим же рівнянням, тільки в різних формах:

, FVn=PV(1+і)ⁿ                                                                                   

Частина рівняння, що взята  в дужки, називається фактором відсотку поточної вартості PVIF, тобто фактор відсотку поточної вартості (PVIFi,n) для і та для n - це поточна вартість  1 грошової одиниці за період n, дисконтована в майбутньому на і відсоток за кожний період. 

Таким чином, якщо         PVIFi,n     =  1 / (1+і)ⁿ              ,то 

PV=FV_n * (PVIF_i,n) 

                 Відповідні таблиці містять показники  факторів відсотку поточної вартості  для відображених  і  та  n. 

Вартість PVIFi,n  при  і = 5% та n= 5 буде 0,7835.

PV = FV  *  (PVIFi,n)  = 127 гр.од.  * 0,7835  = 100 гр.од.

Відповідь: Для того, щоб  отримати через 5 років суму 127,63 гр.од., необхідно при заданій процентній ставці 5% покласти на депозит сьогодні 100 гр.од.

 

3.2. Дисконтування ануїтетів (ренти).

Приклад 4.

Підприємцю запропонували  вибір:

І варіант- трьохрічна рента  з виплатою 100 гр.од. в кінці кожного  року;

ІІ варіант-трьохрічна рента з виплатою 100 гр.од. на початку  кожного року;

ІІІ варіант- одноразова виплата всієї суми 300 гр.од. по закінченні 3 років.

Процентна ставка - 5% в  усіх випадках.

Варіант І.

Визначимо поточну вартість кожного  потоку грошей, потім підсумовуємо ці показники і одержуємо PV ренти.

Рівняння для визначення теперішньої  вартості ануїтетів (ренти):

 

Різниця в дужках рівняння називається фактором відсотку поточної вартості ренти (PVIFAi,n). В таблиці  визначення теперішньої вартості ануїтетів  обчислено значення цього показника  для різних n та і. Рівняння матиме вигляд:

PVA_n=PMT(PVIFA_i,n)

Фактор відсотку поточної вартості ренти (PVIFAi,n) - це показник ануїтетів  за   n-ну кількість періодів, дисконтований на і відсотків. PVIFA _5%,3  =2,7232

PVA₃ = 100 гр.од.  *  (PVIFA  _5%,3)  =  100 гр.од.  *  2,7232 =  =272,32 гр.од.

Варіант ІІ.

При вексельній ренті кожний платіж буде зміщений вліво на 1 рік, тобто, буде дисконтуватись на 1 рік менше.

Принцип же ж вирахування  такий самий, як і при звичайному анюїтеті. Оскільки виплати виконуються  швидше, вексельна рента має більшу вартість, ніж звичайна. Рівняння для вексельної ренти:                                                                                   

PVA (вексельна) = РМТ  * (PVIFAi,n)  *  (1+ і)          

 

PVA (вексельна)  = 100 гр.од.  * 2,7232  * 1,05  = 285,94гр.од.

Варіант ІІІ.

За допомогою рівняння теперішньої вартості грошей і таблиці  отримаємо:

FVn  x  PVIF _5%,3 = 300  *  0,8638  =  259,14 гр.од.

Наведені підрахунки показують, що три надходження по 100 гр.од. кожного року протягом 3 років  тепер коштують лише 272,32 гр.од. за дисконта 5% при звичайній ренті або 285,94 гр.од. за цієї ж ставки відсотку при вексельній. Ці приклади демонструють суть дисконтування. Різниці між сумами

300 гр.од.  -  272,32 гр.од.  = 27,68 гр.од.

300 гр.од.  -  285,94 гр.од.  =  14,06 гр.од.

є різницями вартості грошей з часом, або загальний  дисконт.

При одноразовому вкладанні 300 гр.од. на 3 роки зиск становить

300  -  259,14  =  40,86 гр.од.

Тобто прибуток від вкладання  одноразово набагато більший, але і  ризик з часом зростає, адже ці гроші “лежать” на депозитному рахунку всі 3 роки. Цей приклад ще раз підтверджує концепцію, що чим вище ризик, тим більша компенсація за цей ризик, і сьогодні гроші дорожчі, ніж завтра.

 

4. Оцінка майбутньої  та теперішньої вартості грошей  з врахуванням фактору інфляції.

Методичний  інструментарій оцінки вартості грошових коштів з врахуванням фактору  інфляції дозволяє здійснювати розрахунки як майбутньої, так і поточної їх вартості з відповідною «інфляційною складовою». В основі здійснення цих розрахунків лежить реальна відсоткова ставка, що формується.

При оцінці майбутньої вартості грошей з врахуванням фактору  інфляції використовується формула: FV=PV*[(1+i)*(1+ТІ)]ⁿ, де

ТІ- прогнозований темп інфляції, вираженний десятковим дробом.

При оцінці теперішньої  вартості грошей з врахуванням фактору інфляції використовується наступна формула:

ТЕМА 5. Управління прибутком.

1. Поняття управління прибутком.
2. Стратегії управління прибутком.
3. Процедура розрахунку прибутку.