Задачи по "Эконометрике"

 

 

Средняя ошибка аппроксимации

 

Оценка дисперсии равна:

se2 = (Y - X*Y(X))T(Y - X*Y(X)) = 9405.78

Несмещенная оценка дисперсии равна:

 

Оценка среднеквадратичного отклонения равна (стандартная ошибка для оценки Y):

 

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S • (XTX)-1

 

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали

Частные коэффициенты эластичности.

С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:

 

Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора хj на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели.

 

Частный коэффициент эластичности |E1| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

 

Частный коэффициент эластичности |E2| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак.

Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак

 

Связь между признаком Y факторами X сильная

Коэффициент детерминации.

R2= 0.852 = 0.73

Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).

Число v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров.

1) t-статистика 

Tтабл (n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

 

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0:

 

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1:

 

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2:

 

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 подтверждается.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(bi - ti Sbi; bi + ti Sbi)

b0: (-26.74 - 2.262 • 5.15 ; -26.74 + 2.262 • 5.15) = (-38.39;-15.1)

b1: (0.41 - 2.262 • 0.0439 ; 0.41 + 2.262 • 0.0439) = (0.31;0.51)

b2: (1.73 - 2.262 • 0.0781 ; 1.73 + 2.262 • 0.0781) = (1.55;1.91)

Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R2 или b1 = b2 =... = bm = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).

Для ее проверки используют F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2, рассчитанный по данным конкретного наблюдения.

По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=m и k2=n-m-1.

2) F-статистика. Критерий  Фишера 

 

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.

Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

 

Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.

Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H0: β1 = β2 = ... = βm = 0.

Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера.

Если F < Fkp  = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.

 

Табличное значение при степенях свободы k1 = 2 и k2 = n-m-1 = 12 - 2 - 1 = 9, Fkp(2;9) = 4.26

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно

Оценка значимости дополнительного включения фактора (частный F-критерий).

Мерой оценки значимости улучшения качества модели, после включения в нее фактора хj, служит частный F-критерий – Fxj:

 

где m – число оцениваемых параметров.

Оценим с помощью частного F-критерия:

1) целесообразность включения  в модель регрессии факторов  х1 после введения хj (Fx1).

Определим наблюдаемое значение частного F-критерия:

 

R2(x2,xn = r2(x2) = 0.80542 = 0.649

Fkp(k1=1;k2=9) = 5.12

Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим:

Fx1>5.12, следовательно, фактор х1  целесообразно включать в модель после введения факторов хj.

2) целесообразность включения  в модель регрессии факторов х2 после введения хj (Fx2).

Определим наблюдаемое значение частного F-критерия:

 

R2(x1,xn = r2(x1) = 0.52392 = 0.275

Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим:

Fx2>5.12, следовательно, фактор х2  целесообразно включать в модель после введения факторов хj.