Задачи по "Эконометрике"

 

 

Умножаем матрицы, (XTX)

 

В матрице,  (XTX) число 12, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы,  (XTY)

 

Находим обратную матрицу (XTX)-1

 

 

0.82	-0.00318	-0.00805
-0.00318	6.0E-5	-3.3E-5
-0.00805	-3.3E-5	0.000189

 

 

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

 

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = -26.74 + 0.41X1 + 1.73X2

Матрица парных коэффициентов корреляции.

Число наблюдений n = 12. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (12 х 4).

Матрица, составленная из Y и X

 

 

181	87	91
58	26	56
76	96	44
161	115	88
230	149	99
80	115	35
53	117	38
110	108	51
86	100	50
110	46	27
110	49	58
45	18	56

 

 

Транспонированная матрица.

 

 

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
181	58	76	161	230	80	53	110	86	110	110	45
87	26	96	115	149	115	117	108	100	46	49	18
91	56	44	88	99	35	38	51	50	27	58	56

 

 

Матрица ATA.

 

 

12	1300	1026	693
1300	175652	124477	86595
1026	124477	106306	62539
693	86595	62539	45897

 

 

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

 

∑n	∑y	∑x1	∑x2
∑y	∑y2	∑x1 y	∑x2 y
∑x1	∑yx1	∑x1 2	∑x2 x1
∑x2	∑yx2	∑x1 x2	∑x2 2

Найдем парные коэффициенты корреляции.

 

Признаки x и y	∑xi		∑yi		∑xiyi
Для y и x1	1026	85.5	1300	108.33	124477	10373.08
Для y и x2	693	57.75	1300	108.33	86595	7216.25
Для x1  и x2	693	57.75	1026	85.5	62539	5211.58

 

Признаки x и y
Для y и x1	1548.58	2901.56	39.35	53.87	0.52
Для y и x2	489.69	2901.56	22.13	53.87	0.81
Для x1  и x2	489.69	1548.58	22.13	39.35	0.31

Матрица парных коэффициентов корреляции.

 

-	y	x1	x2
y	1	0.52	0.81
x1	0.52	1	0.31
x2	0.81	0.31	1

 

Проверим значимость полученных парных коэффициентов корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. Коэффициенты, для которых значения t-статистики по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми.

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx1 по формуле:

 

где m = 1 - количество факторов в уравнении регрессии.

 

По таблице Стьюдента находим Tтабл

tкрит(n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx2 по формуле:

 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

Таким образом, связь между (y и xx2 ) является существенной.

Наибольшее влияние на результативный признак оказывает фактор x2 (r = 0.81), значит, при построении модели он войдет в регрессионное уравнение первым.

Частные коэффициенты корреляции.

На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели.

 

 

Теснота связи не сильная

Определим значимость коэффициента корреляции ryx1 /x2 .

Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:

 

где k = 1 - число фиксируемых факторов.

 

По таблице Стьюдента находим Tтабл

tкрит(n-k-2;α/2) = (9;0.025) = 2.262

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Как видим, связь y и x1  при условии, что x2  войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x1  остается нецелесообразным.

Можно сделать вывод, что при построении регрессионного уравнения следует отобрать факторы x2  .

Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

 

где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении.

 

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.

Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

ty = ∑βjtxj

Для оценки β-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βm

rx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm

...

rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βm

Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):

0.524 = β1 + 0.315β2

0.805 = 0.315β1 + β2

Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: β1 = 0.3; β2 = 0.711; 

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

y0 = 0.3x1 + 0.711x2 

Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

 

 

Анализ параметров уравнения регрессии.

Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации

Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:

Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

 

 

Y	Y(x)	ε = Y - Y(x)	ε2	(Y-Yср)2	|ε : Y|
181	166.49	14.51	210.58	5280.44	0.4
58	80.85	-22.85	522.08	2533.44	0.87
76	88.85	-12.85	165.25	1045.44	0.43
161	172.81	-11.81	139.37	2773.78	0.33
230	205.82	24.18	584.88	14802.78	0.53
80	81.09	-1.09	1.19	802.78	0.35
53	87.1	-34.1	1163.05	3061.78	1.04
110	105.9	4.1	16.81	2.78	0.0152
86	100.88	-14.88	221.47	498.78	0.26
110	38.89	71.11	5057.27	2.78	0.0152
110	93.76	16.24	263.62	2.78	0.0152
45	77.56	-32.56	1060.22	4011.11	1.41
		0	9405.78	34818.67	5.66