Задачи по "Эконометрике"

Задача 1.

 

Поле корреляции  

 

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 935 b = 34.8

935 a + 93475 b  = 3405

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.02498, a = 1.1442

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.02498 x + 1.1442

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

 

 

x	y	x2	y2	x • y
120	4	14400	16	480
85	3.6	7225	12.96	306
110	4	12100	16	440
70	2.6	4900	6.76	182
115	4.3	13225	18.49	494.5
90	3.4	8100	11.56	306
60	2.9	3600	8.41	174
55	2.5	3025	6.25	137.5
100	3	10000	9	300
130	4.5	16900	20.25	585
935	34.8	93475	125.68	3405

 

 

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Коэффициент корреляции

Ковариация.

 

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

В нашем примере связь между признаком Y фактором X  весьма высокая и прямая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

 

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

 

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.025 x  + 1.14

 

При объеме товарооборота = 80

у = 0,025*80+1,14 = 3,14

 

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Бета – коэффициент

 

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения Sx приведет к увеличению среднего значения Y на 0.91 среднеквадратичного отклонения Sy.

Ошибка аппроксимации.

 

 

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Эмпирическое корреляционное отношение.

 

 

где

 

Индекс корреляции.

Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции rxy = 0.91.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Коэффициент детерминации.

R2= 0.912 = 0.8254

т.е. в 82.54 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 17.46 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

 

 

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
120	4	4.14	0.27	0.0202	702.25	0.0355
85	3.6	3.27	0.0144	0.11	72.25	0.0923
110	4	3.89	0.27	0.0116	272.25	0.027
70	2.6	2.89	0.77	0.0858	552.25	0.11
115	4.3	4.02	0.67	0.08	462.25	0.0658
90	3.4	3.39	0.0064	5.5E-5	12.25	0.00219
60	2.9	2.64	0.34	0.066	1122.25	0.0886
55	2.5	2.52	0.96	0.000332	1482.25	0.00729
100	3	3.64	0.23	0.41	42.25	0.21
130	4.5	4.39	1.04	0.0117	1332.25	0.024
935	34.8	34.8	4.58	0.8	6052.5	0.67

 

 

Значимость коэффициента корреляции.

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

 

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит — нулевую гипотезу отвергают.

 

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=8 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

В парной линейной регрессии t2r = t2b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

 

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

 

r(0.78;1.04)

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

 

 

S2y = 0.0999 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

 

Sy = 0.32 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

 

 

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

 

 

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

1) t-статистика. Критерий  Стьюдента.

tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

 

 

Поскольку 6.15  >  2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

 

 

Поскольку 2.91  >  2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)

(0.025 - 2.306 • 0.00406; 0.025 + 2.306 • 0.00406)

(0.0156;0.0343)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)

(1.14 - 2.306 • 0.39; 1.14 + 2.306 • 0.39)

(0.24;2.05)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистика. Критерий  Фишера.

 

 

 

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32

Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

 

Дисперсионный анализ.

 

 

Источник вариации	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на 1 степень свободы	F-критерий
Модель	3.78	1	3.78	37.83
Остаточная	0.8	8	0.1	1
Общая	4.58	10-1

 

 

Показатели качества уравнения регрессии.

 

 

Показатель	Значение
Коэффициент детерминации	0.83
Средний коэффициент эластичности	не был рассчитан
Средняя ошибка аппроксимации	6.69

 

 

 

 

Задача 2.

 

Оценка уравнения регрессии.

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:

s = (XTX)-1XTY

Матрица X

 

 

87	91
26	56
96	44
115	88
149	99
115	35
117	38
108	51
100	50
46	27
49	58
18	56

 

 

Матрица Y

 

 

181
58
76
161
230
80
53
110
86
110
110
45

 

 

Матрица XT

 

 

87	26	96	115	149	115	117	108	100	46	49	18
91	56	44	88	99	35	38	51	50	27	58	56