.

     Как показывает практика, данные предположения  обоснованы в большинстве случаев, а расхождения между фактической ценой опциона и теоретической у ликвидных инструментов лежит в пределах рыночного спрэда между ценами покупки и продажи.

     На  основе формулы Black-Scholes в последние  годы было разработано ряд моделей  ценообразования опционов для разных нужд.

     Рассмотрим  многомерный (B, S)-рынок.

     Как и раньше B означает безрисковый  актив, но S уже является вектором , где процесс описывает поведение цены i-ой акции. и это скорость роста акций и волатильность (непостоянство) акции номером i соответственно.

     Изменение цен акций и облигаций подчиняется  следующей системе ДУ:

     

.

     В начале мы можем допускать, что Винеровские  процессы независимы.

     Тем не менее, это допущение, упрощающее вычисление, не является верным для  многомерных рынков. Рассмотрение взаимосвязей (корреляций) между Винеровскими процессами делает нашу модель более адекватной. Далее подробнее рассмотрим несколько случаев.

     Во-первых, случай, когда все акции коррелируют  только с акцией . Поведение цен акций может быть, описано стохастическими дифференциальными уравнениями.

     

     Где есть корреляционный коэффициент между и акциями.

     В более общем случае все акции  коррелируют друг с другом. Мы снова  исследуем систему стохастических дифференциальных уравнений:

     

,

     но  приращения Винеровских процессов  не независимы. Коэффициент корреляции и есть .

     На (B,S) рынке участник может выпустить  ценную бумагу-опцион купли Европейского типа , дающую право ее покупателю приобрести у него в некоторый фиксированный момент времени N акции по оговоренной контрактом цене K.

           Если в момент времени N S_n>K , то владелец опциона предъявит его к исполнению , то есть купит акции по цене K. После этого он может их продать и получить прибыль S_n-K. Если цена акции S_n будет меньше или равна К , то покупатель не предъявит опцион к исполнению так как не получит никакой прибыли. То есть продавец опциона должен выплатить его покупателю max(S_n-K).

           Цена на опцион определяется исходя из того, что продавец опциона должен получить от покупателя такую сумму минимальную сумму, чтобы в любой из возможных ситуаций обеспечить выполнение условий контракта.

 

     

3. Модель Блэка-Шоулза

3.1 Формула Блэка-Шоулза

 

     Фишер Блэк (Fischer Black) из Чикагского университета и Майрон Шоулз (Myron Scholes) из M.I.T разработали модель ценообразования премии опциона колл. Впервые она была описана в 1973 году (May — June 1973 Journal of Political Economy). Black-Scholes считается предельной формой биномиальной модели. В биномиальной модели нужно задать число тиков, определяющее движение вверх или вниз, прежде чем будет зафиксировано возможное значение цены.

     Текущая цена на первом шаге может пойти  в 2-х направлениях. На втором шаге в 4-х направлениях. В биномиальной модели для расчета справедливой цены опциона вы должны заранее определить, сколько всего периодов использовать. Black-Scholes считается предельной формой биномиальной модели, так как допускает бесконечное число периодов (в теории), то есть Black-Scholes подразумевает, что эта небольшая диаграмма будет расширяться до бесконечности. Если вы определите справедливую цену опциона по Black-Scholes, то получите тот же ответ, что и в случае с биномиальной моделью, если число периодов, используемых в биномиальной модели, будет стремиться к бесконечности. (Тот факт, что Black-Scholes является предельной формой биномиальной модели, подразумевает, что биномиальная модель появилась первой, но на самом деле сначала появилась именно модель Black-Scholes). Справедливая стоимость фондового колл-опциона по Black-Scholes рассчитывается следующим образом:

     

,

где C - теоретическая премия по опциону колл 
S - текущая цена базовых акций 
t - время, остающееся до срока истечения опциона, выраженное как доля года (количество дней до даты истечения/365 дней) 
К - цена исполнения опциона (цена страйк) 
r - процентная ставка по безрисковым активам 
N(x) - кумулятивное стандартное нормальное распределение 
е - экспонента (2,7183)

     

     В этой модели должно выполняться следующее  равенство (цена опциона call должна быть равна или превышать цену актива (stock price) минус цена страйк на день расчетов (the present value of the exercise price)).

     В модели Блэка-Шоулза опцион рассматривается как функция следующих элементов: 
 
• Цена базового актива и цена страйк (цена исполнения). Наиболее важный фактор, влияющий на цену опциона - соотношение между ценой лежащего в основе опциона актива и ценой страйк. Это соотношение определяет статус опциона ("в деньгах" или "вне денег") и внутреннюю стоимость опциона (величина, на которую цена базового актива выше или ниже цены страйк для опционов колл и пут соответственно).  
 
• Время, остающееся до даты истечения опциона. Время работает против покупателя опционов, так как цена опционов вне денег снижается ускоренными темпами с приближением даты их истечения. Этот эффект называется "разрушение временем" (time decay). Больший срок, остающийся до окончания срока действия опциона, означает большую неопределенность.  
 
• Степень колебаний (волатильность). Этот показатель отражает подверженность базового актива ценовым колебаниям. Величина премии по опционам в деньгах прямо пропорциональна ожидаемой ценовой неустойчивости базового актива.  
 
• Дивиденды. Повышенные дивиденды сокращают цену опционов колл и увеличивают цену опционов пут, потому что выплата дивидендов сокращает цену лежащих в основе опциона акций на сумму дивиденда. Дивиденды увеличивают привлекательность покупки и держания акций по сравнению с покупкой опционов колл и хранением резервов наличности. И обратно, продавцы в короткую должны учитывать выплату дивидендов, поэтому покупка опционов пут выглядит более предпочтительной, чем короткая продажа акций. 
 
• Уровень процентных ставок. Растущие процентные ставки увеличивают форвардную цену базовых акций, которая рассчитывается как цена акции плюс ставка по безрисковым активам на период действия опциона. Форвардная цена в модели понимается как стоимость акции на дату истечения опциона. 

3.2 Допущения в модели Блэка-Шоулза 
 
1). В течение срока действия опциона дивиденды по базовым акциям не выплачиваются. 
Большинство компаний выплачивают своим акционерам дивиденды, поэтому данное допущение в модели может показаться достаточно серьезным, учитывая тот факт, что высокие дивиденды снижают величину премии по опционам колл. Наиболее простой способ скорректировать модель в этом случае - вычесть дисконтированную величину будущих дивидендов из цены базовых акций. 
 
2). Используются временные сроки исполнения для европейских опционов.  
Европейские опционы могут быть исполнены только в день истечения своего срока, тогда как условия исполнения американских опционов позволяют исполнить опцион в любой момент срока его действия, что делает американские опционы более привлекательными из-за своей большей гибкости. Это ограничение не является основным недостатком, потому что очень мало опционов колл, которые исполняются задолго до даты истечения своего срока. Это верно, потому что когда вы исполняете опцион колл в начале срока действия, вы лишаетесь его остающейся временной стоимости, реализуя только внутреннюю стоимость. С приближением даты истечения опциона его временная стоимость уменьшается, тогда как внутренняя стоимость остается на том же уровне.  
 
3). Рынки являются эффективными.  
Данное допущение предполагает, что люди не могут постоянно предсказывать направление движения всего рынка или отдельной акции. Считается, что движение фондового рынка подчиняется законам непрерывного Itф процесса. Чтобы понять, что такое непрерывный Itф процесс, сначала нужно познакомиться с процессом Маркова - "наблюдение в момент времени t зависит только от результатов предыдущих наблюдений". Itф процесс отличается от процесса Маркова только своей непрерывностью во времени. Пример непрерывности - рисование, не отрывая карандаш от бумаги.  
 
Случайное движение цены акции - одно из основных допущений модели Блэка-Шоулза. Она строится на теории эффективного рынка, которая гласит, что ценовые колебания полностью отражают знания и ожидания инвесторов, поэтому трендовых или инерционных акций не существует (trending stock or momentum stock - акции, которые обладают сильными инерционными качествами). Опционы, цена страйк которых близка к текущей цене базовых акций, и опционы, торгуемые в достаточно больших объемах, оценены рынком объективно. 
 
Из данного предположения можно сделать вывод: если рыночная цена опциона является объективной и справедливой, то она может быть зафиксирована в формуле Блэка-Шоулза, тогда как волатильность становится неизвестной переменной. Поэтому многие инвесторы, занимающиеся опционами, часто принимают решение на основе предполагаемой "рыночной волатильности" (implied volatility), т.е. покупают опционы с низкой степенью колебаний и продают опционы, отличающиеся высокой ценовой неустойчивостью, а не на основе прогнозов в отношении движения базового актива.  
 
4). Отсутствие взимаемых комиссий.  
Обычно при покупке и продаже опционов с рыночных участников взимаются комиссионные. Даже трейдеры в зале биржи уплачивают своего рода комиссию, правда, очень низкую. Вознаграждения, уплачиваемые индивидуальными инвесторами, более значительны и даже могут привести к искажению результата применения модели.  
 
5). Уровень процентных ставок остается неизменным и известен заранее.  
Модель Блэка-Шоулза использует в качестве этой неизменной и известной процентной ставки ставку по безрисковым активам. В реальности такой единой ставки по безрисковым активам не существует, и обычно в этих целях используется дисконтная ставка по казначейским векселям за 30 дней до срока погашения. В периоды быстро меняющихся процентных ставок эти 30-дневные ставки также меняются, нарушая одно из допущений данной модели. 
 
6). Модель основывается на логнормальном распределении цен акций.  
Хотя функция нормального распределения является составной частью модели, использование экспоненты делает распределение логнормальным. Проблема при использовании нормального распределения состоит в том, что оно предполагает возможность для цены акций принимать отрицательные значения. Поэтому в случае цены акций чаще всего используется логнормальное распределение, предполагающее, что цены на акции могут принимать значения в интервале от нуля до бесконечности.

3.3 Оценка риска в операциях с опционами  
Через использование формулы Блэка-Шоулза инвестор, осуществляющий операции с опционами, может оценить принимаемый на себя риск и потенциальную прибыль. Эти параметры, получаемые в результате промежуточных расчетов по формуле Блэка-Шоулза, получили название "греков", "Greeks" (по буквам греческого алфавита). 
 
Дельта является важнейшим промежуточным результатом формулы Блэка-Шоулза и измеряет чувствительность рассчитываемой стоимости опциона к незначительным колебаниям цены базового актива. Часто называется "хеджевым коэффициентом" (hedge ratio). 

     

 

 

Заключение

 

Опцион  — это контракт между двумя  инвесторами, который предоставляет  одному инвестору право (но не обязательство) продать или купить у другого  инвестора определенный актив по определенной цене в течение определенного периода времени. Существует два основных вида опционов. Это опцион «колл» и опцион «пут».

Опцион  «колл» на акции дает право покупателю приобрести определенное количество акций  определенной компании у продавца опциона  по определенной цене в любое время до определенной даты включительно.

Опцион  «пут» на акции дает его покупателю право продать определенное количество акций определенной компании продавцу опциона по определенной цене в любой момент времени до определенной даты включительно.

Общими  для обоих видов опционов являются параметры:

Компания, акции которой могут быть куплены.

Число приобретаемых акций.

Цена  приобретения акций, именуемая ценой  исполнения (exercise price), или цена «страйк».

Дата, когда  право купить утрачивается, именуемая  датой истечения (expiration date).

Существуют  два стиля опциона: европейский  и американский. Европейский стиль  означает, что опцион может быть использован только в фиксированную дату; американский стиль - в любой момент в пределах срока опциона.

Опционная торговля на биржах облегчается благодаря  стандартному характеру контрактов. Данные биржи пользуются услугами клиринговой корпорации, которая регистрирует все сделки и выступает покупателем опционов для всех продавцов опционов и продавцом для всех покупателей опционов.

Продавцы  опционов должны вносить маржу для  обеспечения исполнения своих обязательств. Сумма и форма маржи зависят  от конкретного опциона и осуществляемой стратегии.

Внутренняя  стоимость опциона «колл» равна  разности между курсом акции и  ценой исполнения опциона при  условии, если эта разность положительна. В противном случае внутренняя стоимость  опциона равна нулю.

Внутренняя  стоимость опциона «пут» равна  разности между ценой исполнения и курсом акции при условии, если эта разность положительна. В противном случае внутренняя стоимость опциона равна нулю.