Простейшие приемы прогнозирования на примере среднего размера назначенных пенсий по Волгоградской области

Для устранения сезонных колебаний  часто требуется использовать четырех- и двенадцатичленные скользящие средние, но при этом не будет выполняться  условие нечетности длины интервала  сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными  весами:

  

Тогда для сглаживания  сезонных колебаний при работе с  временными рядами квартальной или  месячной динамики можно использовать 4- и 12-членные скользящие средние:

                                 

                            

Когда используется скользящая средняя с длиной активного участка первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения утрачиваются.

Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда при использовании  простой скользящей средней. Для этого необходимо:

1. Вычислить средний абсолютный прирост на последнем активном участке

,

где

 – значение последнего  уровня на активном участке;

 – значение первого уровня  на активном участке;

 – средний абсолютный прирост  на последнем активном участке.

2. Получить p сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению, либо вычитания из первых сглаженных значений.

2.4 Выравнивание динамического ряда с помощью кривых роста

Часто для описания тенденции развития исследуемого явления применяются модели кривых роста, которые представляют различные функции времени y = f(t). Выбранная модель кривой роста должна отражать характер изменения тенденции исследуемого явления. Кривая роста позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней динамического ряда.

Прогнозирование на основе модели кривой роста основывается на экстраполяции, т. е. на распространении в будущее закономерностей, наблюдавшихся в прошлом.

Разработка прогноза с использованием кривых роста состоит из следующих этапов:

1) выбор одной или нескольких  кривых, форма которых соответствует  характеру изменения временного  ряда;

2) оценка параметров выбранных  кривых;

3) проверка адекватности  выбранных кривых прогнозируемому  процессу, оценка точности моделей  и окончательный выбор кривой  роста;

4) расчет точечного и  интервального прогнозов.

Кривые роста условно  разделяют на три класса в зависимости от того, какой тип динамики развития они лучше описывают.

К I типу относятся функции, которые используются для описания процессов с монотонным характером тенденции развития и отсутствием пределов роста.

Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет  предел роста в исследуемом периоде. Функции, относящиеся ко II классу, называются кривыми насыщения.

Если кривые насыщения  имеют точки перегиба, то они относятся  к III типу кривых роста — к S-образным кривым. Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, другой — с замедлением.

Вопрос о том, какую кривую выбрать является главным при выравнивании ряда. Чтобы сделать правильный выбор необходимо ознакомиться с основными свойствами кривых роста.

Среди кривых роста I типа, выделяют класс полиномов:

                                  

где

- параметры многочлена,

t – независимая переменная (время),

Отличительной чертой полиномов является отсутствие в явном виде зависимости приростов от значений ординат .

Экспоненциальные кривые хорошо описывают процессы, имеющие «лавинообразный» характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции.

Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид:

                                                       

Более сложным вариантом  экспоненциальной кривой является логарифмическая  парабола

                                                      

Все рассмотренные типы кривых используются для описания монотонно  возрастающих или убывающих процессов  без «насыщения».

Когда процесс характеризуется  «насыщением», его следует описывать  при помощи кривой, имеющей отличную от нуля асимптоту. Примером такой кривой может служить модифицированная экспонента:

                                                    

где

y=k является горизонтальной асимптотой.

При решении экономических  задач часто можно определить значение асимптоты исходя из свойств, прогнозируемого процесса. Иногда значение асимптоты задается экспертным путем. В этих случаях другие параметры кривой могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения уравнения к линейному виду:

                                                     

где

- заданное значение асимптоты.

Наиболее известными из S-образных кривых являются кривая Гомперца и логистическая кривая (кривая Перла-Рида).

Уравнение кривой Гомперца имеет вид:

                                                     

Кривая несимметрична.

Уравнение логистической  кривой получается путем замены в  модифицированной экспоненте обратной величиной :

.                                              

Используется и иная форма записи уравнения логистической кривой:

                                             

Однако выявленные закономерности развития следует обобщать с определенной осторожностью, причем для коротких периодов.

2.5 Выбор кривой роста: метод характеристик прироста.

Допустим имеется временной ряд

_{Самым универсальным методом предварительного выбора кривых роста является метод характеристик прироста. При этом методе имеющийся временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней.}

_{Потом вычисляются первые средние приросты}

 

вторые средние приросты

и ряд произвольных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда:

 

В соответствии с характером изменения средних приростов  и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного  временного ряда, при этом используется таблица 4.1.

На практике выбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда.

Таблица 4.1

Показатель	Характер изменения показателя во времени	Вид кривой роста
Первый средний прирост	Примерно одинаковы	Полином первого порядка (прямая)
То же	Изменяются линейно	Полином второго порядка (парабола)
Второй средний прирост	Изменяются линейно	Полином третьего порядка (кубическая парабола)
	Примерно одинаковы	Простая экспонента
	Изменяются линейно	Модифицированная экспонента
	Изменяются линейно	Кривая Гомперца
	Изменяются линейно	Логистическая кривая

 

3. Прогнозные оценки показателя среднего размера назначенных пенсий по Волгоградской области

Исходные данные, полученные для анализа, охватывают период 2009-2011 гг. и включают средний размер начисленных  пенсий по Волгоградской области (табл. 3.1) ⁴.

Средний размер назначенных  месячных пенсий пенсионеров определяется делением общей суммы назначенных месячных пенсий на численность пенсионеров.

Таблица 3.1.

Месяц	2009	2010	2011
Январь	4349,2	6803,6	7227,3
Февраль	4349,5	6802,8	7825
Март	4535,3	6799,7	7821,2
Апрель	4917,9	7231,1	7852,9
Май	4914,9	7226,2	7847,1
Июнь	4913,6	7222,6	7842
Июль	4927,7	7237,7	7843,4
Август	5141	7254,6	7873,8
Сентябрь	5141,9	7246,5	7868,4
Октябрь	5139,2	7240,9	7862,6
Ноябрь	5137	7234,6	7856,3
Декабрь	5868,5	7230,6	7850,2

Графический анализ среднего размера назначенных пенсий представлен на рис. 3.1.

Рисунок 3.1

Для выявления аномальных уровней временного ряда используем метод Ирвина. Получаем, что ,

_{Таблица 3.2}

_{Расчетные значения λi}

1	0	6	0,011	11	0,578	16	0,004	21	0,004	26	0,003	31	0,024
2	0,147	7	0,169	12	0,739	17	0,003	22	0,005	27	0,025	32	0,004
3	0,302	8	0,001	13	0,001 0,	18	0,012	23	0,003	28	0,005	33	0,005
4	0,002	9	0,002	14	0,002	19	0,013	24	0,003	29	0,004	34	0,005
5	0,001	10	0,002	15	0,341	20	0,006	25	0,472	30	0,001	35	0,005

В результате сравнения расчетных  значений и т.д. с табличным значением критерия Ирвина оказалось, что все значения меньше табличного, т.е. не представляют собой аномальные уровни.

Рассчитаем показатели динамики на основе формул (2.4), (2.10):

Таблица 3.3

Средний уровень ряда	6623,23
Средний абсолютный прирост	101,7015923
Средний темп роста	1,7015923

По методу Фостера –  Стюарта определяем две числовые последовательности k и l.

_{Таблица 3.4}

Данные	k	l	k+l	k – l
4349,5	1	0	1	1
4535,3	1	0	1	1
4917,9	1	0	1	1
4914,9	0	0	0	0
4913,6	0	0	0	0
4927,7	1	0	1	1
5141	1	0	1	1
5141,9	1	0	1	1
5139,2	0	0	0	0
5137	0	0	0	0
5868,5	1	0	1	1
6803,6	1	0	1	1
6802,8	0	0	0	0
6799,7	0	0	0	0
7231,1	1	0	1	1
7226,2	0	0	0	0
7222,6	0	0	0	0
7237,7	1	0	1	1
7254,6	1	0	1	1
7246,5	0	0	0	0
7240,9	0	0	0	0
7234,6	0	0	0	0
7230,6	0	0	0	0
7227,3	0	0	0	0
7825	1	0	1	1
7821,2	0	0	0	0
7852,9	1	0	1	1
7847,1	0	0	0	0
7842	0	0	0	0
7843,4	0	0	0	0
7873,8	1	0	1	1
7868,4	0	0	0	0
7862,6	0	0	0	0
7856,3	0	0	0	0
7850,2	0	0	0	0