Простейшие приемы прогнозирования на примере среднего размера назначенных пенсий по Волгоградской области

После выявления аномальных уровней ряда обязательно определение  причин их возникновения. Если точно  установлено, что они вызваны  ошибками первого рода, то они устраняются  либо заменой аномальных уровней  простой средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой  аномальных уровней соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд³.

1.5.Описательные характеристики динамики социально-экономических явлений

Для анализа временных  рядов экономических показателей  вида абсолютные уровни моментных и интервальных рядов, а также уровни из средних величин должны быть преобразованы в относительные величины. Их можно рассчитать соотнесением уровней ряда с одним и тем же уровнем, взятым за базу (тогда получают базисные показатели), либо последовательными сопоставлениями с предыдущим уровнем (цепные показатели).

При анализе временных  рядов для определения изменений, которые происходят в данном явлении, сначала вычисляют скорость развития этого явления во времени. Т.е. абсолютный прирост, вычисляемый по формуле

                                                  

где y_i — i-й уровень временного ряда (i = 2,3, ..., п); индекс k = 1,2, ..., n – 1 – это начальный уровень, он может быть любым в зависимости от целей исследования: при k = 1 получаются цепные показатели, при k = i –1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного и т. д.

Абсолютный прирост характеризует величину изменения показателя за интервал времени между сравниваемыми периодами. Если подходить более строго, то скоростью называют прирост в единицу времени; эта величина называется средним абсолютным приростом:

                                               

Средний абсолютный прирост за весь период наблюдения равен

                                                     

и выражает среднюю скорость изменения временного ряда.

Коэффициенты роста и прироста выражают относительную скорость изменения изучаемого явления в единицу времени. Если эти показатели выражены в процентах, то их называют соответственно темпами роста и прироста.

Коэффициент роста для i-го периода вычисляется по формуле

                                                

, если уровень повышается; , если уровень понижается; при уровень не меняется.

Коэффициент прироста равен

или

                                               

На практике чаще применяют  показатели темпа роста и темпа прироста:

                                               

где – темп прироста для i-гo периода;

или

                                

где – темп прироста для i-гo периода.

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень  одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению с уровнем другого  периода, т.е. этот показатель характеризует относительную величину прироста в процентах.

Среднюю скорость изменения  изучаемого явления за рассматриваемый  период характеризует также средний темп роста. Обычно он рассчитывается по формуле средней геометрической:

                     

где – средние темпы роста за отдельные интервалы времени.

Соответственно средний темп прироста определяется как

                                         

Если уровни временного ряда сильно колеблются, то использование  среднего геометрического темпа роста может привести к серьезным ошибкам в результате искажения реальной тенденции временного ряда.

1.6. Упрощенные приемы прогнозирования: на основе стационарного ряда и на основе средних показателей динамики

Самым распространенным методом статистического прогнозирования экономических явлений является экстраполяция, т.е. распространение прошлых и настоящих закономерностей, связей и соотношений на будущее.

Экстраполяцию в общем  виде можно представить в виде определения значения функции:

,

где:  – прогнозируемое значение временного ряда;

l – период упреждения;

 – уровень ряда, принятый  за базу экстраполяции;

 – параметр уравнения  тренда.

Стационарный  ряд – это последовательность величин , имеющих свойства, постоянные во времени, в частности постоянные значения математического ожидания и дисперсии, а ошибки (случайные отклонения) распределены нормально.

В случае стационарного временного ряда в качестве прогнозного значения может использоваться среднее значение уровней ряда, т.е. , где – прогнозное значение, t – период упреждения. Подобная экстраполяция дает точечную оценку. Точное совпадение этих оценок с фактическими данными маловероятно. Следовательно, прогноз должен быть дан в виде интервала значений. Доверительный интервал прогноза для средней при небольшом числе наблюдений находится по формуле

                                                        

где – табличное значение t критерия Стьюдента с n–1 степенями свободы и уровнем вероятности p; – средняя квадратическая ошибка средней. Значение ее определяется по формуле .

В свою очередь среднее  квадратическое отклонение S для выборки равно:

.

Полученный доверительный  интервал учитывает неопределенность, которая связана с оценкой  средней величины. Общая дисперсия (связанная как с колеблемостью выборочной средней, так и с варьированием индивидуальных значений вокруг средней) составит величину  . Таким образом, доверительные интервалы для прогностической оценки равны:

                                                 

Недостаток рассмотренного подхода оценки доверительного интервала  заключается в том, что доверительный  интервал не связан с периодом упреждения.

Экстраполяция по среднему абсолютному приросту может быть выполнена в том случае, если считать общую тенденцию развития явления линейной.

Для нахождения интересующего  нас прогнозного значения уровня необходимо определить средний абсолютный прирост . Затем, зная уровень ряда динамики, принятый за базу экстраполяции , можно найти прогнозное значение по формуле:

                                               

Экстраполяция по среднему темпу роста может осуществляться, если есть основания считать, что  общая тенденция развития динамики характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Прогнозный уровень ряда определяется по формуле:

,                                         

где – средний темп роста, рассчитанный по формуле средней геометрической.

2. Этапы предварительного анализа временного ряда

2.1. Проверка гипотезы о существовании тенденции. Метод Фостера – Стюарта

Чтобы определить наличие тренда в данном временном ряду существует метод, разработанный Ф. Фостером и А. Стюартом. Метод содержит четыре этапа.

На первом этапе сравнивается каждый уровень исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности:

На втором этапе вычисляются величины s и d:

 

Величина s характеризует изменение временного ряда и если она принимает значения ближе к 0, то все уровни ряда равны между собой, а если ближе к до n–1, то ряд монотонный. Величина d отражает изменение дисперсии уровней временного ряда и изменяется от –(n–1), следовательно, ряд монотонно убывает, и до (n–1) – ряд монотонно возрастает.

Третий этап состоит в проверке гипотез: можно ли считать случайными

1. отклонение величины s от величины μ – математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом,
2. отклонение величины d от нуля.

Эта проверка проводится с  использованием расчетных значений t-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

 

 

где μ – математическое ожидание величины s, определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

 – среднеквадратическое отклонение  для величины s;

 – среднеквадратическое отклонение  для величины d.

На четвертом этапе расчетные значения и сравниваются с табличным значением t-критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости . Если расчетное значение больше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда отвергается; в противном случае тренда нет.

2.2 Метод восходящих и нисходящих серий

Для проверки присутствия во временном ряду трендовой компоненты используется критерий «восходящих и нисходящих» серий. Против каждого из уровней временного ряда объёмом n ставится знак «+», если данный уровень больше предыдущего, или знак «–», если уровень меньше предыдущего. В результате получаем совокупность знаков объёмом (n–1).

Последовательность из знаков «+» или «–» называется серией. Обозначим общее количество серий данного временного ряда как ν. Самую длинную серию из плюсов или минусов обозначим как r_max.

Основной гипотезой является утверждение о том, что трендовая компонента во временном ряду отсутствует.

Если хотя бы одно из следующих  неравенств не выполняется, то основная гипотеза об отсутствии тренда отклоняется.

1. ;

где

, если n<26;

, если 26<n<153;

, если 153<n<170.

Гипотеза об отсутствии тренда проверяется при уровне значимости α=0,05.

2.3. Сглаживание временного ряда простой скользящей средней

Чтобы более точно выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе, чтобы в дальнейшем применять методы прогнозирования на основе трендовых моделей, необходимо сгладить временной ряд.

Методы сглаживания можно условно разделить на две основные группы:

1. аналитическое выравнивание с использованием кривой, которая отображает тенденцию, присущую ряду, и одновременно устраняет незначительные колебания;
2. механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.

Несложным методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней. Он представляет в виде определенной последовательности шагов:

1. Выбирают длину интервала сглаживания g, который включает в себя g последовательных уровней ряда (g<n). При этом, чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени погашаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.
2. Разбивают весь период наблюдения на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.
3. Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый участок.
4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

Наблюдения, для которых рассчитывается среднее значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

где

 – центральный уровень  активного участка;

 – последовательность из p уровней активного участка, предшествующих центральному;

 – последовательность из p уровней активного участка, следующих за центральным.

Тогда скользящая средняя рассчитывается по формуле:

                           

где

 – фактическое значение i-го уровня;

 – значение скользящей средней в момент t;

 – длина интервала сглаживания.