Контрольная работа по «Эконометрике»

Задача 21

По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов Известны данные за ноябрь 1997 г.

Район	Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс.руб., Y	Средняя заработная плата и выплата социального характера, тыс. руб., Х
Волго-Вятский
Респ. Марий Эл	302	554
Респ. Мордовия	360	560
Чувашская Респ.	310	545
Кировская обл.	415	672
Нижегородская обл.	452	796
Центрально-Черноземный
Белгородская обл.	502	777
Воронежская обл.	355	632
Курская обл.	416	688
Липецкая обл.	501	833
Тамбовская обл.	403	577
Поволжский
Респ. Калмыкия	208	584
Респ. Татарстан	462	949
Астраханская обл.	368	888
Волгоградская обл.	399	831
Пензенская обл.	342	562
Саратовская обл.	354	665
Ульяновская обл.	558	705

 

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
2. Рассчитайте параметры α и b парной линейной функции yx=a+b*x, степенной yx=a*xb, , экспоненциальной yx=e a+b*x, обратной yx=1/a+b*x и гиперболической функций yx=a+b/x.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уровней.
6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.  По значениям характеристик, рассчитанных в п.п. 4-5 и данном пункте, выберите лучше уравнение регрессии и дайте его обоснование.
7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значения α=0,05
8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

Для построения графика расположим территории по возрастанию фактора Х:

Район	Средняя заработная плата и выплата социального характера, тыс. руб., Х	Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс.руб., Y
Чувашская Респ.	545	310
Респ. Марий Эл	554	302
Респ. Мордовия	560	360
Пензенская обл.	562	342
Тамбовская обл.	577	403
Респ. Калмыкия	584	208
Воронежская обл.	632	355
Саратовская обл.	665	354
Кировская обл.	672	415
Курская обл.	688	416
Ульяновская обл.	705	558
Белгородская обл.	777	502
Нижегородская обл.	796	452
Волгоградская обл.	831	399
Липецкая обл.	833	501
Астраханская обл.	888	368
Респ. Татарстан	949	462

 

 

1. Поле корреляции, гипотеза о связи и ее направлении

Анализируя расположение точек поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками х и у может быть линейной или нелинейной вида: степенной, линейно-логарифмической функции, экспоненциальной, обратной и гиперболической функций.

 

2.1 Модель парной  линейной функции

Гипотеза о форме связи: в данной модели параметр b называется коэффициентом регрессии и показывает, насколько в среднем отклоняется величина результативного признака у при отклонении величины факторного признаках на одну единицу. Чем больше средняя заработная плата и выплаты социального характера (факторный признак), тем больше потребительские расходы в расчете на душу населения (результативный признак).

Составим расчетную таблицу.

№	X	Yфакт.	X2	Y2	Y*X	Yрасч.	dY= Y ф. - Yр.	d2Y	ε',%
1	545	310	297025	96100	168950	336,03	-26,03	677,73	0,08
2	554	302	306916	91204	167308	339,54	-37,54	1409,17	0,12
3	560	360	313600	129600	201600	341,88	18,12	328,48	0,05
4	562	342	315844	116964	192204	342,66	-0,66	0,43	0,00
5	577	403	332929	162409	232531	348,50	54,50	2970,49	0,14
6	584	208	341056	43264	121472	351,22	-143,22	20513,24	0,69
7	632	355	399424	126025	224360	369,92	-14,92	222,64	0,04
8	665	354	442225	125316	235410	382,78	-28,78	828,01	0,08
9	672	415	451584	172225	278880	385,50	29,50	870,14	0,07
10	688	416	473344	173056	286208	391,73	24,27	588,84	0,06
11	705	558	497025	311364	393390	398,36	159,64	25486,26	0,29
12	777	502	603729	252004	390054	426,40	75,60	5715,22	0,15
13	796	452	633616	204304	359792	433,80	18,20	331,18	0,04
14	831	399	690561	159201	331569	447,43	-48,43	2345,93	0,12
15	833	501	693889	251001	417333	448,21	52,79	2786,38	0,11
16	888	368	788544	135424	326784	469,64	-101,64	10330,12	0,28
17	949	462	900601	213444	438438	493,40	-31,40	985,81	0,07
Итого	11818	6707	8481912	2762905	4766283	6707	0,00	76390,07	2,385
Средняя	695,2	394,5	498936		280370			4493,533	0,140
Сигма,σ1	125,2	82,9
Дисперсия, D2	15665,7	6870,4

1. sх = ; sy =
2. D = s2

 

Рассчитаем коэффициенты парной линейной функции yx=a+b*x.

Параметры а и b находятся из следующей системы нормальных уравнений метода МНК:

 

                   ;

 

b = ;                   Уравнение регрессии:   = 123,75+0,39*x

a =

 

Экономический смысл уравнения парной линейной регрессии: с увеличением средней заработной платы и выплат социального характера на 1 тыс.руб. потребительские расходы в расчете на душу населения в среднем увеличиваются на 0,39 тыс.руб., при этом автономное потребление равно 123,75 тыс.руб.

 

Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции.

 

 

rxy = 0,39 * = 0,59; оценивая критерий по шкале Чедока, делаем вывод, что связь между признаком Y фактором X заметна и прямая (0.5 < rxy < 0.7: заметная).

 

Оценим качество построенной модели.

Определим коэффициент детерминации:

 r2 = 0,346, т.е. в 34.6 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 65.4 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

 

Найдем величину средней ошибки аппроксимации.

 

=

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 14.03%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

 

Определим средний коэффициент эластичности.

 

E = 0,39 * =0,69

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1% (0,69%). Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

 

Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

Проверим гипотезу H0, что выявленная зависимость у от  х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Причем α=0,05.

Найдем табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

Fтабл.(α = 0,05; k1 = 1; k2 = n-m-1 = 15) = 4,54

Fнабл. =

Fнабл. = = 7,93

Fнабл. Fтабл., следовательно, гипотеза H0 отвергается, принимается альтернативная гипотеза H1: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными  x и y неслучайна.

 

2. Модель степенной регрессии

Гипотеза о форме связи: степенная функция имеет вид: yx=a*xb. Параметр b степенного уравнения называется показателем эластичности и указывает, на сколько процентов изменится у при возрастании х на 1%. При х = 1 a = Y.

Составим расчетную таблицу.

 

 

№	X	Yфакт.	lnX	lnY*X	lnY	(lnY)2	(lnX)2	lnX*lnY	lnY расч.	d2lnY	Y расч.	ε', %
1	545	310	6,30	3126,43	5,74	32,91	39,70	36,14	5,34	0,16	322,65	0,041
2	554	302	6,32	3163,58	5,71	32,61	39,91	36,07	5,32	0,15	326,79	0,082
3	560	360	6,33	3296,22	5,89	34,65	40,04	37,25	5,45	0,19	329,54	0,085
4	562	342	6,33	3279,16	5,83	34,05	40,09	36,94	5,41	0,18	330,45	0,034
5	577	403	6,36	3461,39	6,00	35,99	40,42	38,14	5,54	0,21	337,29	0,163
6	584	208	6,37	3117,12	5,34	28,49	40,58	34,00	5,03	0,10	340,47	0,637
7	632	355	6,45	3711,18	5,87	34,48	41,59	37,87	5,44	0,18	362,03	0,020
8	665	354	6,50	3903,08	5,87	34,45	42,25	38,15	5,44	0,18	376,65	0,064
9	672	415	6,51	4051,00	6,03	36,34	42,38	39,25	5,56	0,21	379,72	0,085
10	688	416	6,53	4149,11	6,03	36,37	42,69	39,40	5,57	0,22	386,74	0,070
11	705	558	6,56	4458,67	6,32	40,00	43,01	41,48	5,79	0,28	394,15	0,294
12	777	502	6,66	4831,85	6,22	38,67	44,29	41,39	5,71	0,26	425,10	0,153
13	796	452	6,68	4866,49	6,11	37,38	44,62	40,84	5,63	0,23	433,16	0,042
14	831	399	6,72	4976,83	5,99	35,87	45,19	40,26	5,53	0,21	447,90	0,123
15	833	501	6,73	5178,43	6,22	38,65	45,23	41,81	5,71	0,26	448,74	0,104
16	888	368	6,79	5246,38	5,91	34,91	46,09	40,11	5,47	0,19	471,61	0,282
17	949	462	6,86	5822,65	6,14	37,65	47,00	42,06	5,65	0,24	496,61	0,075
Итого	11818	6707	110,983	70639,6	101,211	603,435	725,0727	661,156	93,61	3,44	6609,58	2,352
Средняя	695,18	394,53	6,53		5,95							0,138
Сигма,σ1			0,176		0,226
Дисперсия, D2			0,031		0,051