Контрольная работа по "Эконометрике"

 

Вариант 16

Задание 1

Разрабатывается оптимальная  политика использования и замены сельскохозяйственной техники не старше N лет, для которой известны:

– стоимость выполняемых  работ в течение года r(t);

– ежегодные расходы, связанные  с ее эксплуатацией u(t);

– остаточная стоимость S;

– стоимость новой техники P.

ТРЕБУЕТСЯ:

1. Используя функциональные  уравнения, составить матрицу  максимальных прибылей B(t, n) за N лет.

2. Сформировать по матрице  максимальных прибылей оптимальные  стратегии замены оборудования  возраста T  лет в плановом периоде  продолжительностью N лет

Все необходимые данные приведены  в таблице

Исходные данные:

№ вар	N T	S P	t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
16	N=10	S=2	r(t)	25	24	24	24	23	23	21	21	21	21	20
	T=8	P=12	u(t)	15	15	16	16	17	17	18	19	20	20	20

Система S для рассматриваемой задачи – процесс эксплуатации оборудования, который характеризуется продолжительностью планового периода N и начальным возрастом оборудования T. Для осуществления принципа инвариантного погружения будем рассматривать различные длины n планового периода и все возможные значения t возраста оборудования. При этом задача естественным образом распадается на этапы по продолжительности планового периода. Функция Беллмана B(t, n) означает в данном случае максимальную прибыль от эксплуатации оборудования возраста t лет в плановом периоде длиной n лет. Таким образом, в данной задаче можно считать: n – моменты; t – состояния; решения о сохранении или замене оборудования – управления.

Если обозначить (t, n) – состояние системы S в момент n, то применив, например, политику сохранения система перейдет в состояние (t+ 1, n – 1).

Отметим, что для каждого  состояния только два управления: «сохранение» или «замена».

Построение функции B(t, n) начнем со случая n = 1. Этот случай можно рассматривать как последний год планового периода. Если принять решение о сохранении оборудования возраста t на этот год, то прибыль от

эксплуатации B(t, 1) = r(t) – u(t), т.е. прибыль состоит из стоимости выполняемых за год работ за вычетом эксплуатационных расходов. Если же принять решение о замене оборудования, то прибыль составит B(t, 1) = s + r(0) – p – u(0), т.е. она состоит из остаточной стоимости старого оборудования плюс стоимость выполняемых за год работ на новом оборудовании за вычетом покупки нового оборудования и эксплуатационных расходов. Теперь можно определиться с политикой «сохранение – замена». Если r(t) – u(t) ≥ r(0) – u(0) + S – P, оборудование сохраняется. В противном случае, когда новое оборудование дает большую прибыль, в начале года старое оборудование следует заменить.

Таким образом, значения B(t, 1) представляют собой для каждого t максимум из двух чисел. С указанием политики «сохранение – замена», эту функцию можно задать в виде

B(t,1)=max{ r(t) – u(t) (сохранение); r(0) – u(0) + S – P (замена)}

Практически вычисление значений B(t, 1) начинают с определения величины

I(1)= r(0) – u(0) + S – P,

которую можно назвать  «индикатор замены». Если при t = 0, 1, …, k соблюдаются соотношения r(t) – u(t) ≥ I(1) и r(k + 1) – u(k + 1) ≤ I(1), полагают B(t,1) = r(t) – u(t). Одновременно для t = k +1, k +2,… B(t,1) = I(1). При записи в матрицу, значения B(t, 1) разделяем (например, вертикальной чертой) на две области: «область сохранения» (левее вертикальной черты) и «область замены» (правее).

В данном случае I(1) = 25 –15 +2 – 12 =0. Вычисляем:

r(0) – u(0) = 25 – 15 = 10 > 0;   r(1) – u(1) =24 –15 = 9 > 0; …;

r(6) – u(6) = 21 – 18 = 3 > 0;   r(7) – u(7) = 21 –19 = 2> 0; ;   r(8) – u(8) = 21 –20 = 1> 0; ;   r(9) – u(9) = 21 –20 = 1>0, r(10)-u(10)=20-20=0=0  т.е. B(0,1) =10;   B(1,1) = 9;…;B(9,1)= 1; B(10.1)=0 В(10,1)= 0=0.

Вычисленные значения заносятся  в первую строку таблицы 1.

Пусть n = 2. Смысл B(t, 2) – максимальная прибыль от оборудования возраста t лет за два последних года. За первый год эксплуатации (n = 2) при политике сохранения оборудование даст прибыль r(t) – u(t), а при политике замены – S + r(0) – P – u(0). Через год оборудование постареет и за оставшийся год (n = 1) даст прибыль B(t + 1,1) или B(1,1) в зависимости от примененной в будущем политики, т.е. максимальная прибыль за два последних года работы составит

«Индикатором замены»  при n=2 можно считать I(2)=I(1)+B(1,1)=0+9=9.

Вычисления второй строки таблицы 1: r(0) – u(0) + B(1,1) = 25 –15 +9 =

= 19 > 9; ;   r(4) – u(4) + B(5,1) = 23 – 17 +6 = 12> 9; r(5)-u(5)+B(6,1) = 23-17+3=9 =9;   Þ  B(0,2) =19;В(1,2)=17;В(2,2)=16;..В(5,2)=9   B(6,2) = B(7,2) =…= B(10,2) = 9.

В общем случае, если B(t, n) уже построена, получаем функциональное уравнение Беллмана

Используя на каждом этапе  «индикатор замены» I(n+1) = I(1)+B(1, n) и функциональное уравнение Беллмана, последовательно заполняем все строки таблицы 1 (n = 1, 2, …, 10; t = 0, 1, 2, …, 10), отделяя вертикальной чертой область «сохранение» от области «замена». В результате получим таблицу значений функции Беллмана:

t B(t,m)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B(t, 1)	10	9	8	8	6	6	3	2	1	1	0
B(t, 2)	19	17	16	14	12	9	9	9	9	9	9
B(t, 3)	27	25	22	20	17	17	17	17	17	17	17
B(t, 4)	35	31	28	25	25	25	25	25	25	25	25
B(t, 5)	41	37	33	33	31	31	31	31	31	31	31
B(t, 6)	47	42	41	39	37	37	37	37	37	37	37
B(t, 7)	52	50	47	45	43	43	42	42	42	42	42
B(t, 8)	60	56	53	51	50	50	50	50	50	50	50
B(t, 9)	66	62	59	58	56	56	56	56	56	56	56
B(t, 10)	72	68	66	64	62	62	62	62	62	62	62

После заполнения таблицы  можно ответить на второй вопрос задачи.  Cформируем оптимальную стратегию «сохранение – замена» при N = 10 и T = 8. В таблице 1 значение функции Беллмана B(8,10) = 62 – максимальная прибыль за 10 лет при условии, что в начале периода имелось оборудование возраста 8 лет – находится в области «замена». Это означает, первый год следует работать на новом оборудовании.

После года работы оборудование постареет на один год. Так как B(1,9) = 62,   B(2,8) =53, В(3,7)=45, находится в области сохранения, то 2-й, 3-й, 4-й  год следует работать на старом оборудовании, так как  В(4,6)=37 , находится в области «замена» , то 5-й год следует заменить оборудование, В(1,5)=37, В(2,4)=28, находятся в области сохранения, то  6-й, 7-й год следует работать на старом оборудовании. Так как  В(3,3)=33, находится в области «замена» , то 8-й год следует заменить оборудование, В(1,2)=17, В(2,1)= 8,  находятся в области сохранения, то  9-й, 10-й  год следует работать на старом оборудовании.

 

Схематически этот процесс  можно изобразить следующим образом:

 

 

 

 

 

Задание 2. Партия изделий может изготавливаться по одному из четырех технологических способов . Сырье , необходимое для изготовления этих изделий, может поступать двух видов. Известны затраты на изготовление одного изделия по i-му технологическому способу из сырья m-го вида ( ; ). Рынок сбыта изделий может находиться в одном из двух состояний . Известно, что при состоянии рынка изделие будет продаваться по цене . Требуется определить, по какому из четырех технологических способов следует изготавливать изделия, чтобы получить возможно большую прибыль, если:

а)известны вероятности  и поступления сырья первого и второго видов соответственно и известны вероятности и состояний рынка и ;

б) о вероятностях поступления  сырья и состояний рынка сбыта  ничего определенного сказать нельзя.

Исходные данные:

№	а11	а12	а21	а22	а31	а32	а41	а42	Z1	Z2	q1	q2	p1	p2	Λ
16	5	6	7	9	5	10	6	4	14	16	0,2	0,8	0,3	0,7	0,7

Решение:

1. В игре есть два участника: первый игрок Т – это предприятие, второй игрок П – природа. Так как второй игрок (природа) безразличен к выигрышу первого игрока, то рассматриваемая игра статистическая. Чистые стратегии предприятия Т_i – это способы изготовления  деталей на предприятии. Укажем четыре возможных способа:

Т₁ – изготавливать изделия по 1-му технологическому процессу;

Т₂ – изготавливать изделия по 2-му технологическому процессу;

Т₃ – изготавливать изделия по 3-му технологическому процессу;

Т₄ – изготавливать детали по 4-му технологическому процессу.

Чистые стратегии природы:

П₁ – имеется сырье 1-го типа при состоянии рынка 1;

П₂ – имеется сырье 1-го типа при состоянии рынка 2;

П₃ – имеется сырье 2-го типа при состоянии рынка 1;

П₄ – имеется сырье 2-го типа при состоянии рынка 2.     

Для составления платежной  матрицы сначала подсчитаем прибыли  h_ij предприятия при состоянии рынка R_j(i=1,2,3,4; j=1,2) по формуле :

 

 

 Платежная матрица 

Природа Предприятие	П1	П2	П3	П4
Т1	9	11	8	10
Т2	7	9	5	7
Т3	9	11	4	6
Т4	8	10	10	12

2. Для выбора оптимальных стратегий по критериям Байеса, Лапласа, Вальда и Гурвица составляем таблицу. Первые пять столбцов таблицы -  платежная матрица. В последующих столбцах выписаны расчетные значения для применения указанных выше четырех критериев.

а) критерий Байеса применяется  следующим образом. Для каждой из стратегий вычисляется среднее  значение (математическое ожидание) выигрыша по формуле 

 Оптимальной по Байесу считается  та стратегия, при которой достигается  максимум из чисел b_i. В рассматриваемом случае: р₁=0,3; р₂=0,7; q₁=0.2; q₂=0.8:

Из полученных чисел наибольшим является b₄, т.е. оптимальной по Байесу является вторая стратегия Т₄: изготавливать детали по 4-му технологическому процессу.

Рынок Банк	П1	П2	П3	П4	bi для крит. Байеса	li для крит. Лапласа	vi для крит. Вальда	gi для крит. Гурвица
Т1	9	11	8	10	9,6	9,5	8	8,9
Т2	7	9	5	7	6,8	7,0	5	6,2
Т3	9	11	4	6	6,4	7,5	4	6,1
Т4	8	10	10	12	11,0	10,0	8	9,2