Контрольная работа по "Эконометрике"

 

g_b1 = b₁ ± D

 

Данные интервалы  задают соответствующие границы  для изменения параметров уравнения:

 

– верхнюю  границу 95%: g_b0/1 ^верх= b_0/1 + D

 

– нижнюю границу 95%:  g_b0/1 ^нижн = b_0/1 – D

 

Если в доверительный  интервал входит отрицательное значение показателя (т.е. нижняя граница < 0, верхняя > 0), то поскольку оцениваемый параметр не может одновременно принимать как положительное, так и отрицательное значение, то нижняя граница принимается равной 0.

 

Следовательно, в данном случае:

 

Уровень вероятности p = 95% соответствует уровню значимости a = 100% – 95% = 5% = 0,05

 

По таблице распределения Стьюдента находим критическое значение t-критерия для k = 10 – 2 = 8 и уровня значимости a = 0,05 = 5,0%.

 

t_табл = 2,306

▪ Стандартные  ошибки коэффициентов:

 

– для параметра b₀: m_b0 = 1,12

– для параметра b₁: m_b1 = 1,302

 

▪ Предельные ошибки коэффициентов:

 

– для параметра b₀: D_b0 = 2,306 ´ 1,12 = 2,58

– для параметра b₁: D_b1 = 2,306 ´ 1,302 = 3,002

Тогда 95%-е доверительные  интервалы для теоретических  коэффициентов регрессии (при уровне значимости a = 0,05):

 

– Параметр b₀

 

g_b0 = b₀ ± D = -0,832 ± 2,58

 

– верхняя  граница 95%:     g_b0 ^верх= b₀ + D_b0 = -0,832 + 2,58 = 1,748

– нижняя граница 95%:     g_b0 ^нижн = b₀ – D_b0 = -0,832 – 2,58 = -3,412

– Параметр b₁

g_b1 = b₁ ± D =10,897 ± 3,002

– верхняя  граница 95%:     g_b1 ^верх= b₁ + D_b1 = 10,897 + 3,002 = 13,899

– нижняя граница 95%:     g_b1 ^нижн = b₁ – D_b1 = 10,897 – 3,002 = 7,895

 

4. Спрогнозируйте объем реализации при размере торговой  площади X = 1,000 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания M(Y|X = 1,000).

Подставляем значение X = 1,000 в рассчитанное уравнение регрессии Ŷ = 10,897X – 0,832:

 

В данном случае потребление  при доходе X_k = 1,000 составит:

 

Ŷ_k  = 10,897 ´ 1,000 – 0,832 = 10,897 – 0,832 = 10,065

 

Доверительный интервал прогноза индивидуального значения рассчитывается аналогично доверительным интервалам для теоретических коэффициентов регрессии с предварительным определением предельной ошибки D:

 

▪ Предельная ошибка индивидуального прогнозного значения:

 

= t_табл ´

где

t_табл – табличное значение t-критерия Стьюдента.

 – стандартная ошибка индивидуального  прогноза значения.

 

▪ Стандартная ошибка индивидуального прогнозного значения:

 

где

X_k – конкретное индивидуальное значение (в данном случае X_k = 1,000).

s_ост – среднее квадратическое отклонение X (рассчитано ранее = 0,12)

n – – число  наблюдений. (в данном случае n = 10).

 

▪ 95%-й доверительный интервал индивидуального прогнозного значения:

 

Следовательно, в данном случае:

 

Уровень вероятности p = 95% соответствует уровню значимости a = 100% – 95% = 5% = 0,05

 

По таблице распределения  Стьюдента находим критическое  значение t-критерия для k = 10 – 2 = 8 и уровня значимости a = 0,05 = 5,0%.

 

t_табл = 2,306

 

▪ Стандартная ошибка индивидуального  прогнозного значения

(для условного  математического ожидания M(Y|X = 1000)):

 

 

▪ Предельная ошибка индивидуального  прогнозного значения:

(для условного  математического ожидания M(Y|X = 1,000)):

 

95% доверительный  интервал индивидуального прогнозного  значения:

(для условного  математического ожидания M(Y|X = 1,000)):

 

 

5. Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов реализации при торговой  площади X = 1,000.

Построение 95%-го доверительного интервала индивидуального  прогнозного значения позволяет  рассчитать границы интервалы, в  которых будет сосредоточено не менее 95% возможных значений  объемов  реализации:

– верхняя  граница 95%:  

 

– нижняя граница 95%:  

Следовательно, в данном случае:

 

– верхняя  граница 95%:  

 

– нижняя граница 95%:  

 

Ширина интервала = 0,39 ´ 2 = 0,78

 

Таким образом,

 

95% возможных  объемов реализации Y при размере торговой  площади X = 1,000 будут сосредоточены в интервале 9,675 £ Y £ 10,455.

 

6. Оценим насколько изменится объем реализации, если размер  торговой  площади вырастет на 0,100 тыс.ед.

В данном случае ранее было рассчитано среднее значение факторного признака (оборот капитала):

 

= 0,857

 

Если размер  торговой  площади вырастет на 0,100, то соответственно новое его значение составит:

 

X_k = 0,857 + 0,100 = 0,957.

 

Подставляем значение X = 0,957 в рассчитанное хранение регрессии  Ŷ = 10,897X – 0,832:

 

В данном случае объем  реализации  при  размере  торговой  площади  X_k = 0,957 составит:

 

Ŷ_k  = 10,897 ´ 0,957 – 0,832 = 10,428 – 0,832 = 9,596

 

t-критерий Стьюдента в данном случае составляет: t_табл = 2,306

▪ Стандартная  ошибка индивидуального прогнозного  значения

▪ Предельная ошибка индивидуального прогнозного  значения:

 

▪ 95% доверительный  интервал индивидуального прогнозного значения:

 

 

– верхняя  граница 95%:  

 

– нижняя граница 95%:  

 

Следовательно, если размер  торговой  площади  возрастет на 0,100, то с вероятностью 95% объем  реализации будет находиться в интервале 9,159 < Y < 10,033.

 

7. Рассчитаем коэффициент детерминации R²

 

При линейной форме уравнения применяется  показатель тесноты связи – линейный коэффициент корреляции:

 

,     (1.5)

 

где

n – число наблюдений.

 – соответствующие средние  значения факторного и результативного  признаков.

 

Для практических вычислений при малом числе наблюдений (n ≤ 20÷30) линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле:

 

    (1.6)

 

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале: -1≤ r ≤ 1.

 

Отрицательные значения коэффициента указывают на обратную связь, положительные –  на прямую.

 

Квадрат линейного  коэффициента корреляции R² называется линейным коэффициентом детерминации: R² = (R_XY)²

 

Из определения  коэффициента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, то есть 0 ≤ R² ≤ 1.

 

Следовательно, в данном случае:

 

▪ Коэффициент  корреляции R_XY:

 

 

= 0,947

При R_XY = 0 линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при R_XY = ±1 – связь функциональная.

 

В данном случае линейный коэффициент корреляции близок к единице, следовательно, связь между параметрами достаточно тесная.

 

▪ Коэффициент  детерминации R²:

 

R² = (R_XY)² = 0,947² = 0,897

 

Следовательно, исходя из рассчитанных параметров связь  между факторным и результативным признаками тесная.

 

8. Рассчитаем F-статистику для коэффициента детерминации и оценим его статистическую значимость.

 

На первом этапе  расчета F-критерия Фишера для коэффициента детерминации выдвигается гипотеза о том, что отсутствует влияние факторного признака X на результирующий признак Y.

 

Далее рассчитывает фактическое значение F-критерия Фишера:

 

где

R² – коэффициент детерминации.

n – число наблюдений.

 

На следующем  этапе производится сравнение вычисленного значения F_факт. и F_табл. и делаются соответствующие выводы:

 

– если F_факт. > F_табл., то гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется, т.е. вычисленное значение F-отношения признается достоверным и отличным от единицы; при этом делается вывод о существенности связи признаков.

– если F_факт. < F_табл., то вероятность предполагаемой гипотезы выше заданного уровня значимости и она не может быть отклонена без серьезного риска сделать вывод о наличии связи.

 

В этом случае гипотеза об отсутствии связи между  факторным и результативным показателями не отклоняется, и уравнение регрессии считается статистически незначимым.

 

Следовательно, в данном случае:

 

▪ Фактическое  значение F-критерия Фишера:

 

 = 142,94

 

Уровень вероятности p = 95% соответствует уровню значимости a = 100% – 95% = 5% = 0,05

 

По таблице  теоретических рассчитанных значений F-критерия Фишера находим теоретическое значение критерия для количества параметров k₁ = 1, числа степеней свободы k₂ = 10 – 2 = 8 и уровня значимости a = 0,05 = 5,0%.

 

▪ Теоретическое значение F-критерия Фишера:

 

F_табл. = F_0,05;1;8 = 5,32

 

F_факт. > F_табл. (142,94 > 5,32)

 

▪ Значимость F-критерия Фишера:

 

F_факт. > F_табл. (142,94 > 5,32), следовательно, гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется, т.е. вычисленное значение F-отношения признается значимым и отличным от единицы.

 

Следовательно:

 

Связь между  факторным и результирующим признаками (величиной дохода и величиной  потребления) является существенной.

 

 

ЗАДАЧА 2.

Имеются данные о динамике оборота розничной торговли и потребительских цен региона за два года. Используя метод Ш.Алмон, оцените параметры модели с распределенным лагом. Длину лага выберите не более 4, степень аппроксимирующего полинома – не более 3. Оцените качество построенной модели.

Месяц	Оборот розничной торговли, % к предыдущему месяцу	Индекс потребительских  цен, % к предыдущему месяцу
Январь	70,8	101,7
Февраль	98,7	101,1
Март	97,9	100,4
Апрель	99,6	100,1
Май	96,1	100,0
Июнь	103,4	100,1
Июль	95,5	100,0
Август	102,9	105,8
Сентябрь	77,6	145,0
Октябрь	102,3	99,8
Ноябрь	102,9	102,7
Декабрь	123,1	109,4
Январь	74,3	110,0
Февраль	92,9	106,4
Март	106,0	103,2
Апрель	99,8	103,2
Май	105,2	102,9
Июнь	99,7	100,8
Июль	99,7	101,6
Август	107,9	101,5
Сентябрь	98,8	101,4
Октябрь	104,6	101,7
Ноябрь	106,4	101,7
Декабрь	122,7	101,2