Контрольная работа по "Эконометрике"

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ

ФГБОУ ВПО «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

 

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «Экономика»

 

 

 

 

 

 

 

 

К О Н Т  Р О Л Ь Н А Я    Р А Б О Т А

 

 

По дисциплине: Эконометрика

 

На тему: __________________________________________________

 

Вариант № 8

 

 

 

Выполнила:

Студентка __2__ курса

_____3______ семестра

Удодова В.С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Когалым, 2013

 

Содержание

 

 

ЗАДАЧА  1

 

Имеется  информация  по 10 предприятиям  оптовой  торговли  об  объеме  реализацииY  относительно  размера торговой  площади Х: 

 

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	700	750	800	830	850	900	920	950	980	890
Y	6350	7800	7600	8600	8600	9200	9000	9100	9950	9000

 

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = b₀ + b₁X + e  по  методу  наименьших  квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок b₀, b₁, теоретических коэффициентов b₀, b₁ при уровнях значимости a = 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте объем реализации  при размере торговой  площади X = 1000 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания M(Y|X = 1000).

5. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных значений объемов реализации при доходе X = 1000.

6. Оцените на сколько изменится объем реализации, если площадь вырастет на 100.

7. Рассчитайте коэффициент детерминации R²

8. Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

 

Решение:

Введем обозначения:

 

Для  простоты  расчетов,  преобразуем  данные:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	0,700	0,750	0,800	0,830	0,850	0,900	0,920	0,950	0,980	0,890
Y	6,350	7,800	7,600	8,600	8,600	9,200	9,000	9,100	9,950	9,000

 

X – факторный признак – размер  торговой  площади (тыс.ед.).

Y – результативный признак – объем реализации  (тыс.ед).

Графически исследуемая  совокупность будет выглядеть следующим образом:

 

В данном случае явно прослеживается линейная зависимость. Все точки расположены в вытянутой зоне и легко аппроксимируются при помощи прямой линии тренда.

Таким образом, видно, что объем  реализации находится в прямой зависимости от размера  торговой  площади, что является вполне объяснимым, исходя из экономического смысла исследуемых величин.

Рассчитаем необходимые для  дальнейших расчетов параметры и  результаты представим в следующей  таблице:

 

N	Факторный показатель,	Результативн. показатель,	X2	Y2	XY
	X	Y
1	0,7	6,35	0,49	40,3225	4,445
2	0,75	7,8	0,5625	60,84	5,85
3	0,8	7,6	0,64	57,76	6,08
4	0,83	8,6	0,6889	73,96	7,138
5	0,85	8,6	0,7225	73,96	7,31
6	0,9	9,2	0,81	84,64	8,28
7	0,92	9	0,8464	81	8,28
8	0,95	9,1	0,9025	82,81	8,645
9	0,98	9,95	0,9604	99,0025	9,751
10	0,89	9	0,7921	81	8,01
Σ	8,57	85,2	7,4153	735,295	73,789

1. Оценим коэффициенты линейной регрессии Y = b₀ + b₁X + e  методом  наименьших  квадратов

 

Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

Ŷ = b₀ + b₁X     (1.1)

где

Ŷ– теоретические  значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

b₀, b₁ – соответствующие оценки коэффициентов (параметры) уравнения регрессии.

Параметры уравнения b₀ , b₁ находят методом наименьших квадратов (МНК) (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), т.е. в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных Y_i от выровненных Ŷ, найденных по уравнению регрессии:

 

S = ® min  (1.2)

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных S = S(b₀, b₁) приравниваем к нулю ее частные производные, т.е.

 

,      (1.3)

 

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

      (1.4)

 

Решим эту систему  в общем виде:

 

 

 

 

Таким образом, в данном случае:

 

= -0,832

 

= 10,897

 

Определив значения оценок коэффициентов уравнения  регрессии b₀, b₁, подставим их в уравнение Ŷ= b₀ + b₁X

Следовательно, в данном случае уравнение линейной регрессии запишется в следующем виде:

 

Ŷ = 10,897X – 0,832

 

Параметр b₁ уравнения регрессии называется коэффициентом регрессии и характеризует изменение результата с изменением фактора на 1 единицу.

Коэффициент b₁ уравнения регрессии служит мерой тесноты линейной связи двух переменных. При наличии прямой корреляционной зависимости коэффициент регрессии имеет положительное значение, а в случае обратной зависимости коэффициент регрессии – отрицательный.

 

Положительный коэффициент регрессии в уравнении  Ŷ = 10,897X – 0,832, (b = 10,897 > 0) подтверждает прямую зависимость между объемом  реализации  и  размером  торговой  площади.

 

2. Проверим статистическую значимость оценок b₀, b₁ теоретических коэффициентов b₀, b₁ при уровнях значимости a = 0,05.

 

При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость  проверки значимости (существенности) каждого коэффициента регрессии. При  этом выясняют, насколько вычисленные  параметры характерны для отображения  комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин.

 

Значимость коэффициентов  простой линейной регрессии (применительно  к совокупностям, у которых n < 30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента.

 

В данном случае уровень  значимости a = 0,05 соответствует вероятности p = 1 – 0,05 = 0,95 = 95%.

 

На первом этапе выдвигается  гипотеза о том, что тот или  иной коэффициент уравнения регрессии  незначительно отличен от 0, т.е. имеет  случайную природу.

При этом вычисляются расчетные (фактические) значения t-критерия:

 

– для параметра b₀: 

 

– для параметра b₁: 

где

m_b0, m_b1 – стандартные ошибки по параметру b₀ / b₁ соответственно вычисляются по формулам:

 

 

 

s_ост – среднее квадратическое отклонение результативного показателя Y от выровненных значений Ŷ, рассчитываемое по формуле:

 

 

n – объём  выборки (в данном случае n = 10).

 – среднее значение факторного  показателя X, вычисляемое по формуле средней арифметической простой:

 

 

Рассчитаем  необходимые для дальнейших расчетов показатели и результаты представим в следующей таблице:

n	X	Y	Ŷ	(Y – Ŷ)2
					(Х-Хср)2
1	0,7	6,35	6,7959	0,1988	0,0246
2	0,75	7,8	7,3408	0,2109	0,0114
3	0,8	7,6	7,8856	0,0816	0,0032
4	0,83	8,6	8,2125	0,1501	0,0007
5	0,85	8,6	8,4305	0,0287	0,0000
6	0,9	9,2	8,9753	0,0505	0,0018
7	0,92	9	9,1932	0,0373	0,0040
8	0,95	9,1	9,5202	0,1765	0,0086
9	0,98	9,95	9,8471	0,0106	0,0151
10	0,89	9	8,8663	0,0179	0,0011
Σ	8,57	85,2	85,0673	0,9630	0,0708

 

Тогда:

s_ост – среднее квадратическое отклонение = = 0,12

 

▪ Стандартные  ошибки:

 

 

 

▪ Расчетные (фактические) значения t-критерия:

 

– для параметра b₀: 

 

– для параметра b₁: 

Вычисленные по вышеприведенным формулам значения сравнивают с критическими t, которые определяют по таблице Стьюдента с учетом уровня значимости α и числом степеней свободы вариации k = n – 2.

 

Параметр признаётся значимым (существенным) при условии, если t_расч > t_табл

 

В этом случае гипотеза о случайно природе формирования данного параметра отклоняется.

 

Следовательно, в данном случае:

 

По таблице  распределения Стьюдента находим  критическое значение t-критерия для k = 10 – 2 = 8 и уровня значимости a = 0,05 = 5,0%.

 

t_табл = 2,306

 

– Параметр b₀

 

t_b0 > t_табл (-0,734 < 2,306),

 

Следовательно, данная оценка теоретического коэффициента регрессии является не значимой, т.е. данный параметр сформировался под действием несистематически влияющего фактора.

 

– Параметр b₁

 

t_b1 > t_табл (8,369 > 2,306),

 

Следовательно, данная оценка теоретического коэффициента регрессии является значимой, т.е. данный параметр не случайно отличен от нуля и сформировался под действием систематически влияющего фактора.

 

3. Рассчитаем 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

 

Доверительные интервалы для теоретических  коэффициентов регрессии рассчитываются с предварительным определением предельной ошибки D для каждого из параметров.

▪ Предельные ошибки коэффициентов рассчитываются:

 

– для параметра b₀: D_b0 = t_табл ´ m_b0

 

– для параметра b₁: D_b1 = t_табл ´ m_b1

 

где

m_b0, m_b1 – стандартные ошибки по параметру b₀ / b₁ соответственно.

t_табл – табличное значение t-критерия Стьюдента.

 

Тогда доверительные  интервалы для теоретических  коэффициентов при соответствующем  уровне значимости (вероятности) будут  вычисляться:

 

g_b0 = b₀ ± D