Теория экономического роста

      рис. 3.1. График производственной функции  в модели Р. Солоу.

      Это означает, что общий продукт (выпуск) равняется сумме произведений затраченного количества труда L и капитала К на их предельные продукты, т.е. на приросты продуктов ∆Y от увеличения затрат труда ∆L и затрат капитала ∆К.

      Для упрощения функции обозначим:

      y = Y / L,

      где y – производительность труда;

      k = K / L,

      где k – капиталовооружённость (фондовооружённость) труда.

      Тогда производственную функцию можно  записать:

      y = f (k),

      где f(k) = F (k,1).

      Графическое изображение данной функции представлено на рис. 3.1.

      График  показывает, что капиталовооружённость  k определяет размер выпуска продукции в расчёте на одного работника: y = f (k). Тангенс угла наклона касательной h равен предельной производительности капитала: если k увеличивается на одну единицу, то y возрастает на МРК единиц. При этом мы видим, что по мере роста капиталовооружённости труда его производительность увеличивается, но с убывающей скоростью, поскольку предельная производительность капитала снижается.

      Совокупный  спрос в модели Р. Солоу определяется инвестиционным и потребительским  спросом. Уравнение выпуска в  расчёте на одного работника примет вид:

      Y = c + і,

      где с и і – потребление и инвестиции в расчёте на одного занятого.

      Поскольку доход используется на потребление  и сбережения в соответствии со сложившейся  склонностью к сбережению, то функцию  потребления можно представить  как

      c = (1 – s) y,

      где s – норма сбережения.

      Тогда y = c + і = (1 – s) y + і, откуда

      і = sy

      иначе говоря, в условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и пропорциональны  доходу.

      Таким образом, мы получили две составляющие модели Р. Солоу – производственную функцию и функцию спроса. В результате условие равенства спроса и предложения может быть представлено как:

      f (k) = c + і или f (k) = і / s

      Производственная  функция определяет предложение  на рынке товаров, а накопление капитала – спрос на произведенную продукцию  [6, с. 529].

      Теперь  посмотрим, как накопление капитала обеспечивает экономический рост. Объём  капитала меняется под воздействием инвестиций и выбытия: инвестиции увеличивают  запас капитала, выбытие – уменьшает.

      Инвестиции  в расчёте на одного работника  являются частью дохода, приходящегося на одного работника (і = sy), так что, заменив y выражением производственной функции, получим уравнение инвестиций как функцию от капиталовооружённости:

      і = sf (k)

      Из  уравнения следует, что, чем выше уровень капиталовооружённости  k, тем выше уровень производства f (k) и больше инвестиции і. Это свидетельствует о наличии связи между существующими запасами капитала k и накоплением нового капитала і, что иллюстрирует рис. 3.2. На нём показано, как норма сбережений s определяет деление произведенного продукта на потребление c и инвестиции і. Для любого уровня капиталовооружённости k объём производства составляет f (k), инвестиции – s f (k), а потребление соответственно f (k) – s f (k) [3, с. 405].

      

 

      Рис. 3.2. Производство y и спрос (c + і) в расчёте на одного работника.

      Для определения объёма амортизации  капитала допустим, что ежегодно выбывает определённая его доля d, называемая нормой амортизации. Таким образом, количество капитала, которое выбывает каждый год, составляет dk.

      Таким образом, влияние инвестиций и выбытия  на запасы капитала можно выразить следующей формулой:

            ∆k = і – d k,

      где ∆k – изменение запасов капитала, приходящееся на одного работника.

      Используя равенство инвестиций и сбережений, получим:

            ∆k = s f (k) – d k

      Оно показывает, что запас капитала k будет увеличиваться (∆k > 0) до уровня, пока инвестиции не уравняются с объёмом выбытия (s f (k) = d k. На рис. 3.3 это состояние изображает точка Е, которой соответствует уровень капиталовооружённости труда k.

      

      Рис. 3.3. Инвестиции, выбытие и устойчивый уровень капиталовооружённости.

      При достижении k٠экономика находится в состоянии долгосрочного равновесия. Независимо от первоначального объёма капитала, с которого экономика начинает развиваться, она затем достигает устойчивого состояния.

      Если  запасы капитала ниже устойчивого уровня k₁, инвестиции превышают выбытие, капиталовооружённость увеличивается и будет расти, пока не приблизится к уровню k٠. Если запасы капитала соответствуют точке k₂, то инвестиции меньше, чем износ, а значит, запасы капитала будут сокращаться, приближаясь к уровню k٠.

      На  равновесный уровень капиталовооружённости  оказывает влияние норма накопления. Её рост с s₁ до s₂ сдвигает кривую инвестиций с s₁ f (k) до s₂ f (k), и экономика переходит в новое равновесное состояние с большей капиталовооружённостью (k₂^٠) и более высокой производительностью труда (рис. 3.4)

      

      Рис. 3.4. Влияние нормы сбережений на равновесное состояние в экономике.

      Таким образом, модель Р. Солоу показывает, что норма сбережения – ключевой фактор, определяющий уровень устойчивой капиталовооружённости. Более высокая  норма сбережения обеспечивает больший  запас капитала и более высокий  уровень производства [2, с. 131].

      Вместе  с тем очевидно, что процесс  накопления как результат повышения  нормы сбережения не объясняет механизма  экономического роста, а лишь показывает переход от одного равновесного состояния  к другому. Поэтому дальнейшее развитие модели Р. Солоу предполагает изменение численности населения (занятых работников) и ускорения технического прогресса. Сначала введём фактор роста населения.

      Равновесный уровень капиталовооружённости  при росте населения. Предположим, что население растёт с постоянным темпом n. Очевидно, что увеличение численности работников при прочих равных условиях приведёт к сокращению капиталовооружённости труда. В результате уравнение, показывающее изменение запаса капитала на одного работника, будет выглядеть следующим образом:

      ∆k = і – d k – n k  → ∆ k = і – (d + n) k

      Поскольку капиталовооружённость труда снижается (так как запас капитала распределяется между возросшим числом занятых), то для поддержания его на прежнем  уровне необходим такой объём  инвестиций, который не только покрывал бы выбытие капитала, но и обеспечивал бы капиталом новых работников в том же объёме, что и старых.

      Математически это требование, характеризующее  устойчивое равновесие в экономике  при неизменной капиталовооружённости  k٠, примет вид:

      ∆k = s f (k) – (d + n) k = 0   или   s f (k) = (d + n) k

      Составляющая  (d + n) k в уравнении характеризует критическую величину инвестиций – такой их объём, который необходим для поддержания капитала, приходящегося на одного работника, на постоянном уровне.

      Чтобы изобразить графически модель Р. Солоу с учётом роста населения, обозначим устойчивый уровень капиталовооружённости труда k٠. Как мы только что установили, экономика будет находиться в равновесном состоянии, если капитал на одного работника k = const. Если k₁ < k٠, то фактические инвестиции больше их критической величины и k₁ растёт. Если k₁ > k٠, инвестиции меньше их критического уровня и k₂ падает (рис. 3.5) [3, с.408].

      

      Рис. 3.5. Рост населения в модели Р. Солоу.

      Модель  показывает, что, для того чтобы экономика находилась в устойчивом состоянии, инвестиции s f (k) должны компенсировать последствия выбытия капитала и роста населения (d + n) k, что изображает на рис. 3.5 точка Е. В этом случае капиталовооружённость k и производительность труда y остаются неизменными. Но постоянство капиталовооружённости при росте населения означает, что капитал должен возрастать с тем же темпом, что и население, т.е.

      ∆Y / Y = ∆L / L = ∆K / K = n

      Отсюда  следует вывод: рост населения – одна из причин непрерывного экономического роста в условиях устойчивого состояния экономики.

      Однако  если рост населения не сопровождается увеличением инвестиций, то это ведёт  к уменьшению запаса капитала на одного работника. Таким образом, модель Р. Солоу объясняет, что страны с более высокими темпами роста населения имеют меньшую капиталовооружённость, а значит – более низкие доходы.

      Учёт  в модели Р. Солоу  технического прогресса. Третьим источником экономического роста после инвестиций и увеличения численности занятых является технический прогресс. В неоклассической теории под техническим прогрессом понимается не машинизация производства, а качественные изменения в производстве (повышение образовательного уровня работников, улучшение организации, рост масштабов производства и т.п.) [3, с. 409].

      Включение в модель технического прогресса  изменит исходную производственную функцию, и она примет вид:

      Y = f (K, L, ε),

      где  ε – эффективность труда одного работника;

            L ε – численность эффективных единиц рабочей силы.

      Технический прогресс вызывает прирост эффективности ε с постоянным темпом g. Такая форма технического прогресса называется трудосберегающей, а g – темпом трудосберегающего технического прогресса.

      Теперь  можно определить устойчивый уровень  капиталовооружённости при техническом  прогрессе. Если численность занятых L растёт с темпом n, а эффективность ε растёт с темпом g, то L ε будет увеличиваться с темпом n + g. Капитал на единицу труда с постоянной (начальной) эффективностью составит k₁ + [K / (L ε)], а объём производства на единицу труда с постоянной эффективностью y₁ = Y / (L ε). Состояние устойчивого равновесия в этом случае будет достигаться при условии:

      s f (k₁) = (d + n + g) k₁

      Равенство показывает, что существует лишь один уровень капиталовооружённости  k₁^٠, при котором капитал и выпуск, приходящиеся на единицу труда с неизменной эффективностью, постоянны. Это устойчивое состояние представляет собой долгосрочное равновесие экономики (рис. 3.6). 

      

      Рис. 3.6. Учёт технического прогресса в модели Р. Солоу.

      В устойчивом состоянии k₁^٠ при наличии технического прогресса общий объём капитала К и выпуск Y будут расти с темпом n + g. В расчёте на одного работника капиталовооружённость К / L и выпуска Y / L будут расти с темпом g. Это говорит о том, что технический прогресс в модели Р. Солоу – единственное условие непрерывного роста уровня жизни.