Применение экономико-математического моделирования в прогнозировании издержек

    Важнейшим этапом построения регрессионной модели (уравнения регрессии) является установление в анализе исходной информации математической функции. Сложность заключается в том, что из множества функций необходимо найти такую, которая лучше других выражает реально существующие связи между анализируемыми признаками. Выбор типов функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явлении, опят предыдущих аналогичных исследований, или осуществляться эмпирически – перебором и оценкой функций разных типов и т.п.

    При изучении связи экономических показателей  производства (деятельности) используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчётов преобразуют (путём логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

 
y = a 0 + a 1 x ,

     
где y - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

    a 0, a 1- коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

    Поскольку a 0 является средним значением у в точке х=0 , экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна. Коэффициент парной линейной регрессии a 1 имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Вышеприведенное уравнение показывает среднее значение изменения результативного признака у при изменении факторного признака х на одну единицу его измерения, то есть вариацию у , приходящуюся на единицу вариации х. Знак a1 указывает направление этого изменения. 

Понятие корреляции и регрессии.

    В экономике различают два вида зависимости между показателями- функциональную и корреляционную. Функциональная зависимость проявляется определенно и точно в каждом конкретном случае, в каждом наблюдении.

В отличии  от функциональной  корреляции зависимость  проявляется приблизительно и лишь в массе наблюдений. Две случайные  величины называются корреляционно  связанными, если математическое ожидание одной из них меняется в зависимости от изменения другой.

Корреляционный  анализ позволяет количественно  оценить связи между большим  числом взаимодействующих факторов.

   Корреляционный анализ-это один из методов математической статистики, широко применяемый в научных исследованиях, инженерных и экономических расчетах и многих других областях.

Задачами  корреляционного анализа экономической  деятельности предприятия, его подразделений  является выявление факторов, влияющих на результаты производства, количественное измерение подразумеваемой связи в виде уравнений регрессии, оценка вклада каждого из факторов в изменение результата.

   При проведении корреляционного  анализа необходимо выполнить  ряд этапов:

1. Определить показатели результатов производства и набор факторов на них влияющих.
2. Собрать статистические данные по этим показателям.
3. Выбрать функции для построения уравнения регрессии.
4. Оценить качественные характеристики построенных уравнений.
5. Провести экономический анализ показателей, вытекающих из полученных расчетов.

Регрессионным анализом называют систему методов  оценки параметров регрессии - коэффициентов  регрессии на основе имеющихся наблюдений x и y. Регрессионный анализ является как бы частью корреляционного анализа.

 Важным  этапом анализа является постановка задачи регрессионного анализа. На этом этапе определяются показатели, включаемые в уравнение регрессии, форма взаимосвязи, требуемые статистические данные для проведения расчетов.

Виды  уравнений регрессии.

При исследовании корреляционной зависимости прежде всего должно быть построено уравнение регрессии.

Уравнение регрессии - это модель, которая в численной форме выражает зависимость показателя результатов деятельности от влияющих на нее факторов.

   Простейший случай представляет  собой парная корреляция (простая линейная регрессия), где рассматривается зависимость между двумя показателями:  показателем результатов (y) и одним фактором (x), от которого зависит этот показатель. Такие модели называются однофакторными. Форма зависимости может быть линейной и нелинейной. Нелинейность может проявляться как относительно факторов, так и входящих в функцию коэффициентов. В экономических исследованиях наиболее часто встречаются шесть следующих формул: 

1. y=a0+a1*x – линейная. 

2. y= a0+a1/x – гиперболическая. 

3. y= a0+a1*x+a2*x^2 –квадратная или полином y=a0+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n. 

4. y= a0*x^a1 – степенная. 

5. y= a0*a1^x – показательная. 

6. y= e^a1*x – экспоненциальная 

   Исходными материалами для составления  уравнения регрессии являются значения показателей x и y по наблюдениям, т.е. имеется некоторая таблица, в которой фактическим значением x соответствует фактическое значение y, другими словами задана табличная функция.

   Графический способ предполагает построение корреляционного  поля по осям абсцисс и ординат откладывается фактические значения x и y по каждому наблюдению. В результате получим множество точек, по которым ещё нельзя судить о характере функции взаимосвязи. Разделим диапазон значений x на равные интервалы и в каждом из этих интервалов среднему значению x точек интервала поставим в соответствие среднее значение y. Таким образом, в каждом интервале вместе всех попавших в неё точек, получаем одну. Соединим средние величины на каждом интервале и выявим эмпирическую линию регрессии, по которой уже можно судить о том, как с изменением x будет меняться y.

   Если  значительно увеличить число  наблюдений и уменьшить величину интервала, то эмпирическая линия регрессии  будет приближаться к теоретической  линии регрессии, которая и характеризует  сложившуюся взаимосвязь между исследуемыми показателями. Уравнение теоретической линии регрессии может быть чрезвычайно сложным, поэтому выбирают одну из известных функций, график которой приближается к теоретической линии регрессии.  

Статистические  характеристики

   Следующий шаг в регрессионном анализе – это решение вопроса о надёжности оценок, полученных из регрессионного анализа. Для этого рассчитывается ряд статистических характеристик, которые можно разделить на две группы:

1. Характеристики качества исходной информации;
2. Характеристики качества уравнения регрессии.

 

   К первой группе относятся коэффициенты парной корреляции, средние квадратические отклонения, и коэффициенты вариации.

   Из  курса математической статистики известно, что лучшей характеристикой ряда наблюдений считается среднеарифметическое. Для характеристики степени отклонения индивидуальных значений от среднего используют дисперсию, а квадратный корень из дисперсии называют среднеквадратическим отклонением. С помощью уравнения регрессии найдена количественная связь между зависимой и независимой переменной. Насколько оценка по уравнению надёжнее оценок с помощью средней? На этот вопрос можно ответить коэффициентом детерминации R². Он показывает на сколько сократилась сумма квадратов отклонений при переходе от средней арифметической к оценке по уравнению регрессии. Коэффициент детерминации обычно рассчитывается программой регрессионного анализа и равен:

               S² _факт – S² _рас

   R² = --------------------------------

                     S² _факт 

   S² _рас – среднее квадратическое отклонение исследуемой величины, рассчитанной по уравнению регрессии;

   S² _факт – среднее квадратическое отклонение исследуемой величины из экспериментальных наблюдений.

   Коэффициент детерминации представляет собой отношение  квадратов отклонений. Часто он выражается в процентах и интерпретируется, как количество точек, охваченных построенным уравнением регрессии.

   Корень  квадратный из коэффициента детерминации называется коэффициентом корреляции – r.

          ____

  r = √ R² 

  Таким образом уравнение связи и  коэффициент корреляции являются двумя важнейшими характеристиками корреляционной зависимости изучаемыми показателями. Уравнение в конкретной количественной форме показывает, какая существует зависимость между переменными, а коэффициент корреляции позволяет судить о силе этой зависимости, о тесноте изучаемой связи. Для коэффициента парной корреляции r возможно три крайних случая: r ≈ 1, r ≈ -1, r ≈ 0. По абсолютной величине он не превышает единицы. Когда r близок к единице, то можно говорить о положительной, прямой взаимосвязи между переменными, если r близок  к -1, то имеется обратная зависимость. Близкая к нулю говорит об отсутствии статистической зависимости между показателями. 

3. Практическая часть

3.1. Построение модели затрат на производство продукции 

    В ходе данной работы необходимо построить модель величины затрат на производство продукции АО «Автоагрегат» на участке металлопокрытий. Исходными данными является величина издержек производства за последние 2 года 2006-2007 г.г.(см. таблицу.№1)

    Необходимо  рассчитать предполагаемые затраты на период с января по июнь 2008 года. Расчет производится методом корреляционного анализа с использованием программы Excel. 

      Таблица№1. Исходные данные. 
 
 

    Выберем функцию для построения уравнения  регрессии. В качестве приближающей функции может быть выбрана одна из следующих:

• Линейная  ;
• Степенная  ;
• Показательная  ;
• Многочлен  .

      Для этого рассмотрим каждую из функций. 

      Линейная  функция: в таблице №2 представлен расчет коэффициентов уравнения a,b.

      Введем  условные обозначения: x – месяц, y – затраты.

      Основываясь на методе наименьших квадратов, суть которого в том, что необходимо подобрать такую приближающую функцию, при которой сумма квадратов отклонений точного и расчетного значений будет минимальной, расчет значения коэффициентов исходного уравнения будем проводить по формулам:

       ;

       .

      Для этого рассчитаем вспомогательные  показатели: x², xy, также рассчитаем среднеарифметическое значение показателей x, y, x², xy.

      Для того чтобы сделать вывод о  выборе подходящей приближающей функции, рассчитаем коэффициенты корреляции и детерминации.

       - коэффициент детерминации

            - дисперсия вычисленная  с учетом фактических значений;

              - дисперсия, вычисленная с использованием рассчитанных значений,

      Где y_i – i-значение результата (фактическое);

            y_ir – i-значение результата (расчетное).

       - коэффициент корреляции.

      Для этого рассчитываем вспомогательные  значения (y-y_r)² (y-y_s)².

      

      

      Оба рассчитанных показателя удовлетворяют  условию, что эти коэффициенты должны стремиться к 1. Однако делать вывод  о том, является ли линейная функция  приближающей рано, так как не рассчитаны значения коэффициентов для других функций.