Модели сетевого планирования

 

Коэффициент “пессимизма” равен 0,3. 

     Решение:

     Критерий  Байеса используется, если в результате исследований известны вероятности всех состояний «природы» (q_j). При этом, если учтены все из n возможных состояний, то

= 1. 

     В этом случае в качестве показателя, который необходимо максимизировать, берется среднее значение выигрыша 

B =

× q_j.

     Определим наилучшую стратегию по критерию Байеса: 

     81 × 0,15 + 05 × 0,2 + 90 × 0,35 + 33 × 0,25 + 69 ×0,05 = 56,35,

     80 × 0,15 + 11× 0,2 + 37 × 0,35 + 14 × 0,25 + 88 ×0,05 = 35,05,

     63 × 0,15 + 54 × 0,2 + 80 × 0,35 + 28 × 0,25 + 75 ×0,05 = 59,

     71 × 0,15 + 69 × 0,2 + 09 × 0,35 + 02 × 0,25 + 75 ×0,05 = 31,85,

     17 × 0,15 + 65 × 0,2 + 84 × 0,35 + 16 × 0,25 + 81 ×0,05 = 53. 

     Наилучшая стратегия С₃ дает максимальный средний «выигрыш» в размере 59 ден.ед.

     Критерий  Лапласа применяется в случае наибольшей неопределенности обстановки. При этом все n состояний «природы» принимаются равновероятными, т.е. вероятность каждого из состояний q_j = . Согласно этому критерию «недостаточного основания» находится максимальный «средний» выигрыш. 

L =

.

     Определим наилучшую стратегию по критерию Лапласа: 

     (81 + 5 + 90 + 33 + 69) / 4 =69,5,

     (80 + 11 + 37 + 14 + 88) / 4 = 57,5,

     (63 + 54 + 80 + 28 + 75) / 4 = 75,

     (71 + 69 + 9 + 2 + 75) / 4 = 56,6,

     (17 + 65 + 84 +16 + 81) / 4 = 65,75. 

     Наилучшая стратегия С₃ дает максимальный средний «выигрыш» в размере 75 ден.ед.

     Критерий  Вальда – это максиминный критерий крайнего пессимизма, или наибольшей осторожности, перестраховки. Такой  подход характерен для того, кто  очень боится проиграть и считает природу разумным, вредным и агрессивным конкурентом, назло мешающим нам достигнуть успеха. В этом случае оптимальной стратегией для игрока С_i будет чистая стратегия С, при которой наименьший «выигрыш» будет максимальным, т.е. при которой гарантируется выигрыш, в любом случае не меньший, чем нижняя цена игры с природой: 

V =

а_ij. 

     Используя матрицу игры, определяем минимальный  выигрыш для всех стратегий

     a₁ = 5;  a₂ = 11;  a₃ = 28;  a₄ = 2,  a₅=16. 

     Наилучшая стратегия С₃ дает максимальный (из минимальных) «выигрыш» в размере 28 ден.ед.

     Критерий  Сэвиджа сводится к тому, чтобы  любыми путями избежать большого риска  при принятии решения. Оптимальной  будет стратегия С_i, при которой минимизируется величина максимального риска в наихудших условиях: 

S =

r_ij.

     Используя матрицу рисков, находим максимальные риски для всех стратегий 

     r₁ = 19  r₂ = 31  r₃ =  81;  r₄ =  64,  r₅.= 64. 

     Наилучшая стратегия С₁ допускает минимальный риск (из максимальных) в размере 19 ден.ед.

     Критерий  крайнего оптимизма (максимакса)  предполагает выбор стратегии, при которой из самых больших «выигрышей» для каждой стратегии выбирается наибольший. Этот критерий характерен для легкомысленного руководителя, полагающегося на «авось»:

M =

а_ij.

     Наивыгоднейшая  стратегия может дать «выигрыш»  в размере 90 ден.ед., но ей же соответствует и наибольший риск (81 ден.ед.).

     Критерий  Гурвица является линейной комбинацией  пессимистической и оптимистической позиций. Стратегия выбирается из условия 

G =

{k × а_ij + (1 - k) × а_ij},

     где k – коэффициент «пессимизма».

     Коэффициент k меняется от 0 до 1, не принимая этих граничных значений (0 < k < 1). Коэффициент k выбирается на основании опыта или из субъективных соображений. Чем опаснее ситуация, тем менее мы склонны к риску, тем больше мы хотим подстраховаться, а значит, тем ближе к единице выбирается k. При k = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда, а при k = 0 – в критерий «крайнего оптимизма». Примем k = 0,6, тогда 

     0,7 × 5 + 0,3 × 90 = 30,5,

     0,7 × 11 + 0,3 × 88 = 34,1,

     0,7 × 28 + 0,3 × 80 = 73,6,

     0,7 × 2  + 0,3 × 75 = 23,9,

     0,7 × 16 + 0,3 × 84 = 36,4.

           Наилучшая стратегия  С₃ дает «выигрыш» в размере 43,6 ден.ед. По большинству критериев наилучшей стратегией является С₃. 

Игровые модели 

     Найти решение игровых ситуаций графически, аналитически и представить игру в виде задачи линейного программирования.

     Допустим  в матричной игре два игрока имеют  возможность выбора из нескольких вариантов  решений. Аi (i=1-m) – стратегии игрока А, Вj (j=1-n) – стратегии игрока В. Значения выигрышей представлены в матрицах по вариантам.

     

     Решение:

      Пусть игра задана в виде платежной матрицы 
 
 

 

     Игра (2 х 3) не имеет седловой точки a = 4, b = 5, a ¹ b, имеем игру в смешанных стратегиях.

 

Решим задачу графически и аналитически. Для игрока А: получаем игру 2 х 2, используя стратегии В₂ и В₃ игрока В: 

Для игрока В: