Математические модели

• Если операционная математическая модель состоит из линейной целевой функции, и входящие в систему ограничений равенства и неравенства также линейны, то такая модель относится к классу оптимизационных задач линейного программирования

• Если наряду с указанными выше ограничениями потребовать, чтобы все переменные  xj(j = 1,n) были целыми, то задача становится задачей целочисленного линейного программирования.

• Ограничения задачи определяют в n-мерном пространстве выпуклую область OABCD. Эта область изображена на рисунке в плоскости двух координат Хк и Хi. Узлы целочисленной решётки показаны точками. Такие точки, расположенные внутри области OABCD, являются допустимыми решениями задачи целочисленного программирования.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу  

• Для приобретения оборудования фирма может выделить 36 тыс. руб. Оборудование должно быть размещено на производственных площадях не превышающих 60 кв. м. Фирма может заказать оборудование двух видов: менее мощные машины типа А стоимостью 3 тыс. руб., каждая из которых требует для размещения производственную площадь 3 кв. м., и обеспечивает производительность за смену 2 т, и более мощные машины В стоимостью 4 тыс. руб., каждая из которых занимает площадь 5 кв. м. И обеспечивает производительность 2,7 т.

• В качестве управляющих переменных выбираем х1 – количество приобретаемых машин типа А и х2 – количество приобретаемых машин типа В. Тогда определив целевую функцию Z, выражающую суммарную производительность, которую требуется максимизировать, получим математическую модель задачи в виде

• Z  =2x1 + 2,7x2        max При ограничениях
• 3x1 + 5x2 < 60
• 3x1 + 4x2 < 36
• x2 < 8
• x1 >0, x2 >0
• x1, x2 – целые числа

Фирма занимается составлением диеты, содержащей по крайней мере 20 единиц белков, 30 единиц углеводов, 10 единиц жиров и 40 единиц витаминов. Составить диету из 5 продуктов, имеющую минимальную стоимость, в которой содержание каждого вида ингредиентов были бы не менее установленного предела. Цена  за 1 кг. пяти имеющихся продуктов  и содержание ингредиентов в 1 кг. продукта указаны в таблице. 

10 

18 

32 

36 

12 

Цена 

2 

6 

4 

2 

2 

Витамины 

4 

0 

3 

8 

1 

Жиры 

3 

4 

0 

0 

12 

Углеводы 

2 

1 

10 

12 

2 

Белки 

Молоко 

Фрукты 

Рыба 

Соя 

Хлеб 

Ингредиенты