Математические модели

• a^m1x¹ + a^m2x² + a^m3x³ + … + a^mnxⁿ < b^m

 

^{……………………………………………………………} 

• a³¹x¹ + a³²x² + a³³x³ + … + a³ⁿxⁿ < b³

 

• a²¹x¹ + a²²x² + a²³x³ + … + a²ⁿxⁿ < b²

 
 

• a¹¹x¹ + a¹²x² + a¹³x³ + … + a¹ⁿxⁿ < b¹

 

c¹x¹ + c²x² + c³x³ + … + cⁿxⁿ →® max

Ситуационная задача  

0,6 

2,5 

1 

Краска  жёлтая 

0,7 

1,2 

2 

Краска  красная 

0,8 

2 

1,5 

Краска  зелёная 

Затраты  сырья на 1т., тонн 

Затраты  труда ИТР на 1т., часов 

Затраты  труда рабочих  на 1т., часов 

Вид продукции

Последовательность действий 

• Определяем оптимизируемые параметры проектной задачи. В нашем случае этими параметрами являются: х 1 – ежедневное производство красной краски (в тоннах), х 2 – ежедневное производство зелёной краски (в тоннах), х 3 – ежедневное производство жёлтой краски (в тоннах)

Последовательность действий 

• Составляем качественную модель задачи. Для этого дадим словесное описание последовательно всех основных требований нашей проектной задачи.
• Численность рабочих предприятия такова, что при выпуске любых видов продукции в течение рабочего дня не может быть использовано более 200 часов труда рабочих.
• Численность ИТР предприятия такова, что при выпуске любых видов продукции в течение рабочего дня не может быть использовано более 300 часов управленческого труда .

• Производственные мощности предприятия таковы, что в течении рабочего дня можно использовать не более 90 тонн сырья. 
  Искомые параметры х 1 , х 2, х 3 (ежедневная программа выпуска краски каждого вида) должны удовлетворять перечисленным требованиям и при этом должны обеспечивать максимальную суммарную прибыль, которую в соответствии с требованиями задачи определим в качестве целевой функции (критерия эффективности проектной задачи)

Опишем математически каждое из требований.  

• Суммарные затраты физического труда при изготовлении х 1 тонн зелёной краски, х 2 тонн красной краски и х 3 тонн жёлтой краски не могут превышать 200 часов. 
  1,5*Х 1 +2*Х 2+1*Х 3 <200 – труд рабочих
• Суммарные затраты управленческого труда при изготовлении х 1 тонн зелёной краски, х 2 тонн красной краски и х 3 тонн жёлтой краски не могут превышать 300 часов 
  2*Х 1 +1,2*Х2 +2,5*Х 3 <300 – управление
• Суммарные затраты сырья при изготовлении х 1 тонн зелёной краски, х 2 тонн красной краски и х 3 тонн жёлтой краски не могут превышать 90 тонн 
  0,8*Х 1 +0,7*Х 2 +0,6*Х 2 <90
• Целевая функция Ф отражающая суммарную прибыль, запишется так 
  Ф = 9*Х 1 +8*Х 2 +10*Х 3

• Ко всем перечисленным требованиям следует добавить требование неотрицательности всех Х, так как очевидно, что объёмы выпуска изделий не могут быть отрицательными числами:Х1 >0, Х2 > 0, Х3 >0

полученная математическая модель, состоящая из целевой функции и системы ограничений, формализует проектную задачу в виде задачи математического программирования  

• максимизировать целевую функцию прибыли  
  Ф = 9*Х1+8*Х2*10* Х3→® max При ограничениях1,5*Х1+2*Х2+1*Х3<200
• 2*Х1+1,2*Х2+2,5*Х3<300 0,8*Х1+0,7*Х2+0,6*Х3<90
• Х1 >0, Х2 > 0, Х3 >0