Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 

Задача 1

В выборке представлены данные по цене P некоторого блага и  количеству (Q) данного блага, приобретаемому хозяйством ежемесячно в течение  года.

Месяц	1	2	3	4	5	6
P	10,86	20, 86	15, 86	25, 86	30, 86	35, 86
Q	110, 86	75, 86	100, 86	80, 86	60, 86	55, 86

 

Месяц	7	8	9	10	11	12
P	40, 86	35, 86	25, 86	40, 86	45, 86	40, 86
Q	40, 86	80, 86	60, 86	30, 86	40, 86	30,86

1. Постройте корреляционное поле и по его виду определите формулу зависимости между P и Q.
2. Оцените по МНК параметры уравнения линейной регрессии.
3. Оцените выборочный коэффициент корреляции rpq.
4. Проинтерпретируйте результаты.

Решение

Для определения формулы зависимости между P и Q построим поле корреляции.

На основании поля корреляции можно сделать вывод, что между факторным (P) и результативным (Q) признаками существует линейная зависимость вида: y_x = a₀ + a₁x.   

Оценим по МНК параметры  уравнения линейной регрессии.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,89657885
R-квадрат	0,803853635
Нормированный R-квадрат	0,963635329
Стандартная ошибка	5,145848744
Наблюдения	1

 

 

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	12	1085,202407	90,43353392	40,98233654	7,81501Е-05
Остаток	10	264,797593	26,4797593
Итого	22	1350

 

 

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	Р-значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересе-чение							1,1464Е-302	1,1464Е-302
Перемен-ная Х1							264,797593	264,797593
Перемен-ная Х2							3,45624Е+18	3,45624Е+18
Перемен-ная Х3							0	0
Перемен-ная Х4	5,145848744	1085,202407	0,004741833	0,996309841	-2412,835786	2423,127	-2412,835786	2423,127484
Перемен-ная Х5							13869621248	13869621248
Перемен-ная Х6							0	0
Перемен-ная Х7							52,81731606	56,39951107
Перемен-ная Х8							3,6153Е-301	3,6154Е-301
Перемен-ная Х9							-4,1824Е+152	4,1824Е+152
Перемен-ная Х10							-30903441944	30903441944
Перемен-ная Х11	54,60841357	4,046848652	13,49405877	9,62103Е-08	45,59147289	63,62535	45,59147289	63,62535424
Перемен-ная Х12	-0,377461707	0,058962317	-6,401744804	7,81501Е-05	-0,508837936	-0,24609	-0,508837936	-0,246085478

Уравнение регрессии  примет следующий вид: y_x = 54,61 – 0,38 х.

Множественный индекс корреляции составляет 0,89657885, что свидетельствует о достаточно тесной связи между ценой некоторого блага и количеством данного блага.

Значение коэффициента детерминации, равное 0,803853635 свидетельствует  о том, что теснота связи результата и факторов объясняет 80,39%  вариации цены некоторого блага. Расчетное значение Фишера по F-критерию составляет 40,98 при статистической значимости 7,81501Е-05.

Оценим выборочный коэффициент  корреляции.

Наименование	Переменная 1	Переменная 2
Средняя	30,51	63,84333333
Дисперсия	122,7272727	692,4242424
Наблюдения	12	12
Корреляция  Персона	-0,89657885
Гипотетическая  разность средних	0
df	11
t-статистика	-3,156901157
Р (Т≤t) одностороннее	0,004564605
t критическое одностороннее	1,795884814
Р (Т≤t) двухстороннее	0,00912921
t критическое двухстороннее	2,200985159

Выборочные средние  равны 30,51 и 63,84333333, выборочный коэффициент корреляции равен  -0,89657885.

 

Задача 2 

Имеются данные за 10 лет по прибылям X и Y (в %) двух компаний:

Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19,286	15,886	12,586	10,386	5,786	-5,886	-3,586	5,286	7,386	6,786
Y	20,186	18,086	10,386	12,586	6,086	-6,886	-2,886	3,086	8,586	8,086

1. Постройте регрессионную модель Y=b₀+b₁X+e.
2. Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии.
3. Оцените коэффициент детерминации R2 данного уравнения.
4. Постройте регрессионную модель Y=bX+u.
5. Приведите формулы расчета коэффициента b, его стандартной ошибки Sb и стандартной ошибки регрессии S (обратите внимание на число степеней свободы при расчете данной оценки).
6. Значимо или нет различаются коэффициенты b1 и b?
7. Какую из построенных моделей вы предпочтете?
8. Можно ли на основе построенных регрессий утверждать, что прибыль одной из компаний является следствием прибыли другой?

Решение

Регрессионная статистика
Множественный R				0,982932224
R-квадрат				0,966155756
Нормированный R-квадрат				0,961925226
Стандартная ошибка				1,525899047
Наблюдения				10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS		F	Значимость F
Регрессия	1	531,7456232	531,7456232		228,3769773	3,63716Е-0,7
Остаток	8	18,6269432	2,328367901
Итого	9	550,3725664

 

 

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	Р-значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	0,347592177	0,669930643	0,518848004	0,617909841	-1,197270655	1,892455008	-1,197270655	1,892455008
Переменная  Х1	0,910835075	0,060271058	15,11214668	3,63716Е-07	0,771839765	1,049810385	0,771839765	1,049810385

Уравнение регрессии примет следующий вид: y_x = 0,35 + 0,91 х.

Множественный индекс корреляции составляет 0,9829, что свидетельствует о достаточно тесной связи между прибылью двух компаний.

Стандартная ошибка регрессионного коэффициента b равна квадратному корню из дисперсии b, в данном случае стандартная ошибка равна 1,5259.

Расчетное значение Фишера по F – критерию составляет 228,377 при статистической значимости 3,64. Поскольку фактический уровень значимости меньше α = 0,05, можно сделать соответствующий вывод о статистической значимости уравнения в целом.

 

Задача 3 

Для прогноза возможного объема экспорта на основе ВНП предложено использовать линейную регрессионную  модель. При этом используются данные за 1995 – 2004 годы.

Годы	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
ВНП	1000	1090	1150	1230	1300	1360	1400	1470	1500	1580
Экспорт	190	220	240	240	260	250	280	290	310	350

1. Сформулируйте соответствующую регрессионную модель, дав интерпретацию ее параметров.
2. Рассчитайте на основе имеющихся данных оценки параметров модели.
3. Вычислите стандартную ошибку регрессии.
4. Рассчитайте стандартные ошибки коэффициентов.
5. Определите 90 и 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.
6. Проанализируйте статистическую значимость коэффициентов при уровнях значимости a=0,1 и a=0,05.
7. Оцените коэффициент корреляции между ВНП и экспортом.
8. Дайте прогнозы по объему экспорта на 2006 и 2009 годы.
9. Определите 95%-е доверительные интервалы для этих прогнозов.
10. Рассчитайте коэффициент детерминации и сравните его с коэффициентом корреляции.
11. Какие предпосылки относительно случайного отклонения модели необходимы для обоснованности выводов по предыдущим пунктам?
12. Сделайте выводы по предыдущим пунктам.