Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Обслуживание  требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований Входящий поток требований - совокупность требований, поступающих в СМО. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными. Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Одной из важнейших  характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность  всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может  изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований. Интенсивность обслуживания показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом  в единицу времени.

Экономические показатели, характеризующие работу СМО:

P_k - доля времени работы k каналов, k=0,1,+,n;

L - средняя  длина очереди

P₀ - вероятность того, что система свободна

П - вероятность образования очереди

Pотк - вероятность отказа в обслуживании

g - относительная пропускная способность

А - абсолютная пропускная способность

n_зан - среднее количество занятых каналов

t_ож - среднее время нахождения в очереди.

2. В  магазине самообслуживания работают  две кассы с интенсивностью  µ=(β+300)/100 (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(β+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной λ =(700- β)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

Пусть β =577. Тогда µ=8,77 (треб./мин.), а первоначальное значение λ равно 9,77 (треб./мин.)

α = 9,77/8,77=1,114

р₀= (2-1,114)/(2+1,114) = 0,886/3,114 = 0,284 (р₀ = 28,4%)

L₁ = (1,114)³ /4- (1,114) = 1,382/2,886 = 0,478 (треб.)

Если  интенсивность λ станет равной (700-577)/10 = 12,3 (треб./мин.), то в силу неравенства 12,3 ˂ 2·8,77 условие стационарности СМО выполнено, и можно вычислить среднюю длину очереди:

α=12,3/8,77=1,402,

L₂=(1,402)³/4-(1,402)=2,755/2,598=1,06 (треб.),

₌=2,217.

Итак, при  интенсивности обслуживания µ=8,77 (треб./мин.) и интенсивности выхода λ =9,77 (треб./мин.), доля времени простоя касс составляет 28,4%, а средняя длина очереди равна 0,478 треб. Если же интенсивность входа станет равной 12,3 треб./мин., то средняя длина очереди увеличится в 2,217 раза. 
 

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 5 Модели управления запасами

1. Сформулируйте  задачу оптимального управления  запасами.

Задача: определить такой объем заказываемой партии товара, при котором затраты  на складские операции в единицу  времени будут минимальные и  темп поступления заказанного товара будет превышать норму спроса на этот товар.

2. Дайте  экономическую интерпретацию предельной  арендной платы.

Предельная  арендная плата λ экономически интерпретируется как предельная (максимальная) арендная плата за использование дополнительных складских емкостей. Если фактическая  арендная плата α  меньше либо равна  предельной λ , т.е. α ≤ λ, то аренда выгодна, если же α › λ, то аренда не выгодна.

3. Сделайте  вывод о целесообразности аренды  дополнительных складских емкостей  или о необходимости сокращения  объема заказываемой партии товара  с учетом имеющихся складских  емкостей при сравнении фактической  α (руб/кг*сут) и предельной λ (руб/кг*сут) арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.

α = (700 –  β) / 4000,

λ = (β  – 400) / 4000.

Решение

α = (700 – 577) / 4000 = 0,031 (руб/кг*сут)

λ = (577– 400) / 4000 = 0,044 (руб/кг*сут)

α ˂ λ

Вывод: предельная арендная плата больше фактической арендной платы. Следовательно, аренда дополнительных складских емкостей выгодна. 
 
 
 

Задание 6. Модели теории игр

1.Объясните смысл элементов платежной таблицы и способы выбора стратегий с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма.

Ответ: Рассмотрим проблему уценки неходового товара с целью получения возможно большей выручки от реализации. Предположим, что эластичность спроса в зависимости от цены неизвестна, т.е. неясно, как отреагирует рынок на то или иное снижение цены. Иными словами, нужно принять решение в условиях неопределенности. В таком случае можно использовать методы теории игр. Обозначим А₁, А₂, …, А_m – стратегии снижения цены на товар на α₁%, α₂%,…, α_m% соответственно. Возьмем достаточно подробный перечень возможных значений эластичности ε₁, ε₂ ,…, ε_n. Если выбрать определенную стратегию А_i и знать эластичность товара ε_j, то, используя еще некоторые, обычно известные величины, можно подсчитать выручку от реализации товара а_ij. Проделав это для всех А_i и для всех ε_j, получим платежную таблицу. В таблице представлен подробный перечень различных ситуаций. Для принятия решения можно использовать следующие способы.

Подход  с позиции крайнего пессимизма

Он заключается  в том, чтобы считать, что при  выборе любой стратегии А_i эластичность товара будет самая неблагоприятная и выручка α_i будет минимально возможной, т.е.

α_i = min (α_i1, α_i2,…,α_im).

Вычислив  все величины α_i (α₁, α₂,…,α_m), нужно взять наибольшую из них α:

α = max (α_i).

Та стратегия, которая соответствует числу  α, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе говоря, такая стратегия  есть наилучший выбор из плохих ситуаций, и эта стратегия гарантирует, что, как бы ни сложилась действительная ситуация, выручка будет не меньше, чем α.

Подход  с позиции крайнего оптимизма 

Он заключается  в том, чтобы считать, что при  выборе любой стратегии А_i эластичность будет наиболее благоприятной и выручка β_i наибольшая, т.е.

β_i= max (α_i1, α_i2,…,α_im).

Вычислив  все β_i, нужно взять наибольшую из них: β = max (β_i).

Та стратегия, которая соответствует величине β, и есть искомая.

Подход  с позиции пессимизма-оптимизма 

Рассмотрим  величину H = max [(1-)+ ], где

λ –  числовой параметр, 01

Предлагается  выбирать стратегию, соответствующую  величине H.

При λ = 0 Н = max α_i= α, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма. При λ = 1 Н = max β_i=β , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма. Вообще, величина Н при изменении λ от 0 до 1 непрерывно изменяется от α до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим, а затем выберем наибольшее из них

Стратегию, на которой достигается величина γ, будем называть соответствующей  подходу с позиции пессимизма-оптимизма.

2. Выберите  стратегии с позиций крайнего  пессимизма, крайнего оптимизма  и оптимизма-пессимизма для следующей  платежной таблицы. Укажите соответствующие  выигрыши.

 

Решение:

Для числа  β=577 таблица приобретает вид:

 

Выберем по каждой строке таблицы минимальное из чисел α_i, максимальное β_i ,а затем вычислим их полусумму γ_i.

 

Получим:

α= max (α₁, α₂, α₃,)=(43,33,27)=43;

β= max (_β1, β₂, β₃)=max (97;53;63)=97;

γ= max (γ₁, γ₂, γ₃)=max (70,43,45)=70.

Так как  α =43 и это число находится в строке, соответствующей А₂, то А₂ – стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 43 единицам. Так как β =97 и это число находится в строке, соответствующей А₁, то А₁ стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 97 единицам.

Так как  γ =70 и это число находится в строке, соответствующей А₁, то А₁ стратегия оптимизма-пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 70 единицам. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 7. Эконометрические модели. Выборочный метод

1. Дайте  понятия генеральной и выборочной  совокупностей. 

Совокупность  генеральная - множество результатов  всех возможных наблюдений, которые  могли бы быть получены при данном исследовании. При выборочном наблюдении совокупность генеральную называют совокупность (множество) объектов, из которых производится выборка.