Контрольная работа по «Экономико-математическим методам и прикладным моделям»

Министерство образования РФ

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра Экономико-математических методов  и моделей

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

 

Вариант 8

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель:

Специальность: «Бухучет, анализ и аудит»

Группа:

№ зачетной книжки:

Руководитель: Гармаш А.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2006

 

Задача 1

 

1.8. Имеется два вида корма  I и II,  содержащие питательные вещества (витамины) S₁ S₂ и S₃. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице

                                                                                                            

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ  в 1 кг корма
		I	II
S1 S2 S3	9 8 12	3 1 1	1 2 6

 

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

Необходимо составить дневной  рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

 

Решение:

 

1. Построим ЭММ задачи. Введем необходимые обозначения.

 

Пусть:

х₁ – количество корма первого вида подлежащего включению в дневной рацион (кг)

х₂ - количество корма второго вида подлежащего включению в дневной рацион (кг)

Таким образом дневной рацион представляет собой вектор Х (х₁;х₂).

В данной задаче критерий оптимальности  – минимум затрат на дневной рацион.

 

С учетом введенных обозначений  ЭММ задачи имеет вид:

min f (х_1,; х _2, ) = 4х₁ + 6х₂

3х₁ + х₂  ≥ 9 – ограничение по содержанию питательного вещества S₁

х₁ + 2х₂  ≥ 8 – ограничение по содержанию питательного вещества S₂

х₁ + 6х₂  ≥ 12 – ограничение по содержанию питательного вещества S₃

х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0 – прямые ограничения

2. Приведенная задача линейного  программирования (ЗЛП) – задача с двумя переменными, а значит мы ее можем решить графическим методом.

2.1. Построим область определения  этой задачи (ОДР). Прямые ограничения задачи говорят о том, что ОДР будет находится в I четверти прямоугольной системы координат.

Функциональные ограничения неравенства определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

I   3х₁ + х₂  = 9, проходящей через точки (3;0) и (0;9)

II  х₁ + 2х₂  = 8, проходящей через точки (8;0) и (0;4)

III х₁ + 6х₂  = 12, проходящей через точки (12;0) и (0;2)

Представим ОДР на рисунке:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пересечение указанных выше полуплоскостей в первой четверти системы координат представляет собой область с вершинами АВСD – заштрихованную область на рисунке.

2.2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции. Соединим его вершину с началом координат О (0; 0). При минимизации целевой функции необходимо двигаться в противоположном направлении вектора-градиента.

2.3. Построим некоторую  линию уровня: 4х₁ + 6х₂ = а.

Положим, например, а=0. Линии уровня 4х₁ + 6х₂ = 0 отвечает прямая ОХ (всегда перпендикулярная вектору градиенту).

2.4. При минимизации  целевой функции (ЦФ) необходимо перемещать линию уровня ОХ в противоположном направлении вектора-градиента. Предельной точкой при таком движении является точка В и точка О. Для определения координат точки В необходимо решить систему уравнений:

3х₁ + х₂  = 9 

  х₁ + 2х₂ = 8       

Решением этой системы являются следующие значения переменных:

х₁ = 2, х₂ = 3

Соответственно минимальное значение ЦФ равно:

min f (х₁; х₂) = 4*2 + 6*3 = 26

 

Вывод:  В дневной рацион должно входить 2 кг корма I вида и 3 кг корма II вида. С таким дневным рационом связаны затраты в 26 ден. ед.

 

Задача на максимум не разрешима, т.к. не существует конечного максимума на неограниченном множестве допустимых решений (вследствие неограниченности целевой функции на ОДР).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

2.8. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья на ед. продукции			Запасы               сырья
	I вид	II вид	III вид
I II III	1 3 1	2 0 4	1 2 0	430 460 420
Цена изделия	3	2	5

 

 Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 10ед., а II - уменьшить на 80ед;

- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида с ценой 7у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.

 

Решение:

1. Построим ЭММ задачи. Обозначим через х_i - объем выпуска готовой продукции j-го вида. С учетом критерия оптимальности «max выручки», будем иметь ЭММ задачи:

max f (х) = 3х₁ + 2х₂ + 5 х₃

 

Ограничения отражают условия ограниченности запасов сырья.

1х₁ + 2х₂ + 1х₃ ≤ 430 - затраты 1-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

3х₁ + 2х₃ ≤ 460 - затраты 2-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

1х₁ + 4х₂  ≤ 420 - затраты 3-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

х_j  ≥ 0,

Реализуя эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение:

 

Переменная	х1	х2	х3
	0	100	230
Коэффициент	3	2	5		1350
	1	2	1	430	430
	3	0	2	460	460
	1	4	0	400	420

 

Оптимальный план выпуска продукции: Х^*= ( 0, 100, 230),

 f (Х^*) = 1350

 

2. Для  определения двойственных оценок  построим двойственную задачу:

min φ (y) = 430y₁ + 460y₂ + 420y₃

1y₁ + 3y₂ + 1y₃ ≥ 3

2y₁ + 4y₃ ≥ 2

1y₁ + 2y₂ ≥ 5

 y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0, y₃ ≥ 0

Для нахождения двойственных оценок используем вторую теорему двойственности. Определим, как удовлетворяется система функциональных ограничений исходной задачи при подстановке в нее оптимального плана:

Х^*= (0, 100, 230),  f (Х^*) = 1350

1*0 + 2*100 + 1*230 = 430 = 430- выполняется как строгое равенство

3*0 + 2*230 = 460 = 460 - выполняется как строгое равенство

1*0 + 4*100 = 400 < 420 - выполняется как строгое неравенство

Поскольку 3-е ограничение в системе  ограничений выполняется как  строгое неравенство, то по второй теореме  двойственности   у₃^*= 0

С другой стороны, так как х₂^* > 0, x₃^* > 0, то имеют место равенства:

2y₁^* + 4y₃^* = 2

1y₁^* + 2y₂^*  = 5

Поскольку у₃^* = 0, то из этой системы равенства получим: у₁^*= 1, у₂^*= 2

Вычислим значение целевой функции  двойственной задачи при полученных значениях двойственных переменных:

 φ (y^*) = 430*1 + 460*2 + 420*0 = 430 + 920 = 1350, т.е. φ (y^*) = f (х^*).

Таким образом, по первой теореме двойственности мы делаем вывод, что двойственные оценки найдены правильно.

 

3. Поскольку для 1-ого вида сырья затраты на единицу сырья превышают выручку от реализации единицы сырья, то ее выпуск экономически не оправдан х₁^* = 0:

1*1 + 3*2 + 1*0 = 7 > 3 оценка затрат на единицу продукции 1-ого вида.

 

4. 1) В пределах интервалов устойчивости найденных двойственных оценок имеют место следующие выводы: первый и третий вид сырья, участвующие в производстве являются дефицитными, а второй находится в избытке. При этом с позиции максимизации выручки более дефицитен третий вид сырья. Прирост на единицу первого вида сырья дает приращение выручки 1 у.е., второго – 2 у.е., т.е. сравнительная норма взаимозаменяемости составляет 1:2.

 

2) 1х₁ + 2х₂ + 1х₃ ≤ 440 - затраты 1-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

3х₁ + 2х₃ ≤ 380 - затраты 2-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

 

Структура плана остается той же, то есть х₁ = 0. Совмещая эти два вывода будем иметь:

0 + 2х₂ + х₃ = 440

0 + 2х₃ = 380

Решая эту систему уравнений  получаем: х₂ = 105 х₃ = 190

f (Х^*) = 1160

 

Реализуя эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение:

 

Переменная	х1	х2	х3
	0	105	190
Коэффициент	3	2	5		1160
	1	2	1	400	440
	3	0	2	380	380
	1	4	0	420	420