Контрольная работа по эконометрике

 

     5 а₀ + 310 а₁ = 516                       ·62

    310 а₀ + 19524 а₁ = 32408               

     310 а₀ + 19220 а₁ = 31992

    310 а₀ + 19524 а₁ = 32408

    -304 а₁ = -416

    а₁ = 1,368

    

    у₁ = 18,358 + 1,368 х

    S_{ост 1} = å(у - у_расч.1)² = å E_t ² = 205,540 

     5 а₀ + 375 а₁ = 605                       ·75

    375 а₀ + 28151 а₁ = 45437               

     375 а₀ + 28125 а₁ = 45375

    375 а₀ + 28151 а₁ = 45437

    -26 а₁ = -62

    а₁ = 2,385

    

    у₂ = -57,848 + 2,385 х

    S_{ост 2} = å(у - у_расч.2)² = å E_t ² = 66,158

    Находим критерий Фишера:

    

    F_расч < F_табл = F_{a = 0,05; 1; 3} = 10,13 → гетероскедастичность отсутствует.

    Осуществить проверку значимости параметров уравнения  регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).

    

    где S_aj – стандартная ошибка параметра a_j.

    

    где

    

    

    где

    

    где S_y – стандартная ошибка отклонений

    

    

    

    

    

    Критическое значение t-критерия: t_{a=0,05; 8} = 2,31.

    t_a0 < t_{a=0,05; 8} → параметр а₀ не является значимым.

    t_a1 > t_{a=0,05; 8} → параметр а₁ является значимым.

    Определим индекс корреляции (или линейный коэффициент  парной корреляции):

    

    Т.е. связь между объемом капиталовложений х и объемом выпуска продукции у прямая и очень тесная.

    Коэффициент детерминации:

    R² = r_yx² = 0,913² = 0,833

    Т.е. 83,3% изменения объема выпуска продукции объясняется изменением объема капиталовложений.

    Коэффициент эластичности: 

    

    При увеличении фактора х – объема капиталовложений - на 1% от своего среднего значения результат у – выпуск продукции - увеличивается на 0,86% от своего среднего значения.

    Средняя относительная ошибка аппроксимации:

     %

    Т.е. в среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических на 4,2%. Т.к. S < 5%, то модель очень точная.

    F-критерий  Фишера:

    

    F_табл = F_{a = 0,05; 1; 8} = 5,32

    F_расч > F_табл Þ уравнение статистически значимо.

    Таким образом, модель является качественной.

    Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

    х_{прогноз.} = 0,8 · х_max = 0,8 · 79,0 = 63,2 (млн. руб.)

    у_{прогноз.} = 15,927 + 1,404 · 63,2 = 104,66 (млн. руб.) – точечный прогноз

    Интервальный  прогноз находим следующим образом:

    у_{прогноз.} ± t_α,ν · S_прогн.

    t_α,ν = 1,86 – табличное значение t-критерия Стьюдента;

    S_прогн. – средняя квадратическая ошибка прогноза;

    t_α,ν · S_прогн. – ширина доверительного интервала.

    

    где S_y – среднее квадратическое отклонение

    

    где р – количество параметров модели.

    

    104,66 ± 1,86 · 6,504

    104,66 ± 12,10

    (92,56 – 116,76) – интервальный прогноз.

    

    Рис.2. Фактические уровни и линейная модель 
 
 
 

    Построим  степенную модель:

    у = а₀  х^а₁

    Для построения этой модели проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования (расчеты в таблице 3).

    Таблица 3

 

    lg y = lg (a₀ x^a₁)

    lg y = lg a₀  + lg x^a₁

    lg y = lg a₀  + a₁ lg x

    a = lg a₀

    lg y = a  + a₁ lg x

     na + a₁ å lg x = å lg y

    a å lg x + a₁ å lg² x = å (lg x lg y)

     10 a + 18,3187 а₁ = 20,4630                   ·1,83187

    18,3187 a + 33,5923 а₁ = 37,5148          

     18,3187 a + 33,5575 а₁ = 37,4866

    18,3187 a + 33,5923 а₁ = 37,5148

    -0,0348 а₁ = -0,0292

    а₁ = 0,8404

    

    lg a₀ = 0,5069 Þ a₀ = 10^0,5069 = 3,213

    Уравнение степенной модели:

    у = 3,213 х^0,840

    Коэффициент детерминации:

    

    Т.е. 83,0% изменения объема выпуска продукции объясняется изменением объема капиталовложений.

    Коэффициент эластичности: 

    

    При увеличении фактора х – объема капиталовложений - на 1% от своего среднего значения результат у – выпуск продукции - увеличивается на 0,84% от своего среднего значения.

    Средняя относительная ошибка аппроксимации:

     %

    Т.е. расчетные значения для степенной модели в среднем отличаются от фактических на 4,25%. Т.к. S < 5%, то модель точная.

    

    Рис.3. Фактические данные и степенная  модель 
 
 
 
 

    Построим  показательную функцию:

    у = а₀ а₁^х

    Для построения этой модели необходимо провести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения (расчеты в таблице 4).

    Таблица 4