ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ 

КАФЕДРА АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ  ОБРАБОТКИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ  ИНФОРМАЦИИ 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

по дисциплине «Эконометрика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Архангельск 2011 
 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Задача 1……………………………………………………………

 

2. Список  используемой литературы………………………………

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    По  предприятиям легкой промышленности региона  получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.).

 

    Требуется:

    1. Найти параметры уравнения линейной  регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

    2. Вычислить остатки; найти остаточную  сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S_Е², построить график остатков.

    3. Проверить выполнение предпосылок  МНК.

    4. Осуществить проверку значимости  параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).

    5. Вычислит коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения  регрессии с помощью F-критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

    6. Осуществить прогнозирование среднего  значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

    7. Представить графически: фактические  и модельные значения Y, точки прогноза.

    8. Составить уравнения нелинейной  регрессии:

    - гиперболической;

    - степенной;

    - показательной.

    Привести  графики построенных уравнений  регрессии.

    9. Для указанных моделей найти  коэффициенты детерминации и  средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 
 

    Решение

    Находим параметры а₁ и а₀ уравнения линейной регрессии у = а₀ + а₁х  методом наименьших квадратов:

     na₀ + a₁ åx = åy

          a₀ åx + a₁ åx² = åxy

    Расчеты представлены в таблице 1.

     10 а₀ + 685 а₁ = 1121                       ·68,5

    685 а₀ + 47675 а₁ = 77845               

     685 а₀ + 46922,5 а₁ = 76788,5

    685 а₀ + 47675 а₁ = 77845

    -752,5 а₁ = -1056,5

    а₁ = 1,404

    

    Уравнение линейной регрессии:

    у = 15,927 + 1,404 х

    Коэффициент регрессии а₁ = 1,404 показывает, что возрастание объема капиталовложений на 1 млн. руб. приводит к увеличению объема выпуска продукции в среднем на 1,404 млн. руб.

 

    

    Таблица 1

 

    

    Остатки рассчитываем по формуле:

    E_t = у - у_расч.

    (см. графу 7 таблицы 1).

    Остаточная  сумма квадратов:

    S_ост = å(у - у_расч.)² = å E_t ² = 297,588

    Дисперсия остатков:

    

    

    Рис.1. График остатков 

    Проверим выполнение предпосылок МНК.

    Оценим  адекватность линейной модели.

    1) Проверим случайность остаточной компоненты по критерию пиков (поворотных точек):

    

    Получили  шесть поворотных точек (см. графу 8 таблицы 1), т.е. m = 6.

    

    m > 2 Þ свойство выполняется; значения остатков случайные.

    2) Проверим независимость уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона (критические уровни: d₁ = 1,08 и d₂ = 1,36):

    

    d₂ < d_расч < 2  Þ свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция отсутствует.

    3) Проверим нормальность распределения остатков по R/S-критерию (критические уровни: 2,76 – 3,57):

    

    E_max = 10,257; E_min = -7,783

    

    

    Т.к. значение R/S-критерия попадает в интервал 2,76 – 3,57, то свойство выполняется; остаточная компонента подчинена нормальному закону распределения.

    4) Проверим равенство математического ожидания уровней ряда остатков нулю по критерию Стьюдента (критический уровень t_табл.=2,31 определили по таблице значений t-критерия Стьюдента для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы df=n-2=10-2=8):

    

    

    

    Т.к. t_расч. < t_табл., то свойство выполняется; гипотеза о том, что математическое ожидание остаточной компоненты равно нулю, принимается.

    Таким образом, последовательностью остатков выполняются все свойства по выбранным критериям, следовательно, можно сделать вывод о том, что линейная модель у = 15,927 + 1,404 х является адекватной. 

    Для оценки гетероскедостичности применим метод Гольдфельда-Квандта:

    Упорядочим  наблюдения по мере возрастания переменной х, разделим совокупность на две части, для каждой части определим уравнение регрессии и остаточную сумму квадратов отклонений (расчеты в таблице 2).

    Таблица 2