Контрольная работа по "Эконометрике"

 

 

Задание 1

Исходные данные о  продаже автомобилей записаны в  виде следующей таблицы:

х	22	21	22	21	22	22	23	24	24	23
у	1	1	2	2	3	4	4	4	5	6

 

 Трансформируем эту таблицу. Она примет вид:

х	у
1	22
1	21
2	22
2	21
3	22
4	22
4	23
4	24
5	24
6	23

 

Поскольку одинаковое количество продавцов в разные дни продавали  разное количество машин, найдем среднее  количество машин. Таблица примет вид:

х	У
1	21,5
2	21,5
3	22,0
4	23,0
5	24,0
6	23,0

 

Поскольку предлагаемая модель регрессии , является нелинейной по переменной х и метод наименьших квадратов применить нельзя, устраним нелинейность по переменной х путем замены переменной:  . После этого уравнение регрессии становится линейным: . Для определения параметров a и b запишем следующую расчетную таблицу:

 

i	z	y	z2	zy
1	1.000	21.5	1	21.500
2	1.414	21.5	2	30.406
3	1.732	22.0	3	38.105
4	2.000	23.0	4	46.000
5	2.236	24.0	5	53.666
6	2.449	23.0	6	56.338
∑	10.832	135.0	21	246.015

Параметры a и b находим по формулам:

Где     ;       ;     

 В данном случае n=6

Подставляя в формулы  значения сумм из предыдущей таблицы, получим:

= 1.805;         =22.5;       = 3.5;       = 41.002

Находим значения параметров а и b:

 

            

                      

Таким образом, гиперболическая модель регрессии имеет вид:

= 19,63+1,59

Оценим тесноту связи  с помощью показателей корреляции и детерминации, имея ввиду линеаризированное  уравнение регрессии:

=19,63+1,59·z

Коэффициент корреляции между z и y равен:

А коэффициент детерминации R² равен:

Где :       cov(z.y) =

- · ;        var (z) = - ( )² ;   var(y) = - ( )² ;

var(

) = - ( ) ;        var (e) = (y- )²

 

При этом выполняется равенство:

r

.y = r_z,y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем следующую расчетную  таблицу:

i	z	y	z2	zy		(y- )2	( - )2	(y- )2
1	1,000	21,5	1	21,500	21,219	1,000	1,640401	0,078838
2	1,414	21,5	2	30,406	21,878	1,000	0,386887	0,142882
3	1,732	22,0	3	38,105	22,383	0,250	0,013573	0,147069
4	2,000	23,0	4	46,000	22,810	0,250	0,095884	0,036233
5	2,236	24,0	5	53,666	23,185	2,250	0,469364	0,664059
6	2,449	23,0	6	56,338	23,525	0,250	1,049672	0,275137
∑	10,832	135,0	21	246,015	135,000	5,000	3,655782	1,344218
среднее	1,805	22,5	3,5	41,002	22,5	0,833	0,609	0,224
						var(y)	var( )	var (e)

 

Тогда имеем:

cov(z.y) = 41,002-1,805·22,5 = 0,383

 

var (z) = 3,5-1,805² = 0,241

 

 

 

Проверим выполнение равенства

 

 

, т.е. расчеты проведены верно.

 

Чем ближе коэффициент  детерминации к единице, тем лучше качество подгонки, т. Е. тем точнее аппроксимирует у.

Значение  = 0,731 показывает, что 73,1% вариации зависимой переменной у (количество проданных автомобилей) объясняется регрессией. Определим с помощью среднего коэффициента эластичности силу влияния фактора на результат и оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения регрессии средний показатель эластичности рассчитывается по формуле.

 

Это означает, что с увеличением количества продавцов на 1% количество проданных автомобилей возрастет в среднем на 12,76%. Средняя ошибка аппроксимации это среднее отклонение расчетных значений  от фактических значений, т.е.

Практически полагают, что  значение средней ошибки аппроксимации  не должно превышать 12-15% для  грубого  приближения регрессии к реальной зависимости.

Для расчета  воспользуемся следующей таблицей

i	y		y-	(y- )/y	|(y- )|/y|
1	21,5	21,219	0,281	0,01306	0,01306
2	21,5	21,878	-0,378	-0,01758	0,017581
3	22,0	22,383	-0,383	-0,01743	0,017432
4	23,0	22,810	0,190	0,008276	0,008276
5	24,0	23,185	0,815	0,033954	0,033954
6	23,0	23,525	-0,525	-0,02281	0,022806
∑	135,0	135,000	0,000	-0,00253	0,113109

 

Таким образом, значение средней ошибки аппроксимации свидетельствует  о высоком качестве уравнения  регрессии.

Оценим статистическую значимость параметров а и b регрессии и корреляции с помощью t – критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,05.

Пусть в теоретической  зависимости y= α+ β·z+ε

Случайный член ε распределен  нормально с неизвестной дисперсией σ². Хотя  величина β и неизвестна, имеется основание предполагать, что она равна заданной величине β₀.

Выдвигаются нулевая  гипотеза Н₀ и конкурирующая гипотеза Н₁:

Пусть по выборочным данным получена оценка b.

В качестве критерия проверки гипотезы Н₀ принимают случайную величину

,

Которая имеет распределение  Стьюдента с ʋ=n-2 степенями свободы вычисляется наблюдаемое значение критерия t. По таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы ʋ=n-2 находят критическую точку t_кр.  Вычисленный критерий t сравнивается с критическим значением t_кр. 

 

Если | t |< t_кр, то Н₀ принимается;

Если | t |> t_кр, то Н₀ отвергается.

 

В экономических исследованиях  проверку гипотез проводят при 5% и 1% уровнях значимости. Для установления значимости коэффициента регрессии b используется гипотеза Н₀ : β = 0.

 

Тогда соответствующая t- статистика будет

Где S_b – стандартная ошибка коэффициента регрессии b , которая равна

;

- остаточная дисперсия.

Поскольку конкурирующая гипотеза  Н₁ : β ≠ 0 двусторонняя, то и критическая область двусторонняя. Аналогично решается вопрос с параметром a. В этом случае

,

Где 

 

А также t-критерий  для коэффициента корреляции r_z,y:

Н₀ : ρ = 0

Итак, оценим значимость коэффициента регрессии b=1,59

Найдем стандартную  ошибку S_b:

 

 

 

 

Найдем t_кр для α = 0,05 и ʋ = 6 – 2 = 4

t_кр = 2,45

 

Так как t_b = 3,3 > t_кр = 2,45, то нулевая гипотеза Н₀ отвергается, т.е. коэффициент регрессии b=1,59 значим.

 

Аналогично, имеем для  а = 19,63:

 

 

 

 

t_а = 21,7 > t_кр = 2,45

 

Следовательно, коэффициент  регрессии а=19,63 значим.

Для r_z,y=0,855:

 

 

Так как t_r = 3,3 > t_кр = 2,45, то коэффициент корреляции r_z,y=0,855 значим.

 

И, наконец, на последнем  этапе выполним более строгую  оценку статистической надежности моделирования  с помощью F-критерия Фишера, т.е. проверим значимость коэффициента детерминации R² по F-критерию. Для этого проверим нулевую гипотезу Н₀ о статистической не значимости полученного уравнения регрессии по условию: если при заданном уровне значимости α теоретическое (расчетное) значение F-критерия больше его критического значения Fкр, то нулевая гипотеза отвергается и полученное уравнение регрессии принимается значимым.

Для модели парной регрессии  число степеней свободы ʋ₁=1 (одна объясняющая переменная) и    ʋ₂ = n – 2  При этом

 

 

Для нашего случая имеем:

 

Найдем F_кр для   α=0,05    и    ʋ₁=1    и    ʋ₂ = 6 – 2  = 4:

 

F_кр=7,71

 

Так как F=10,87> F_кр=7,41, то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент детерминации R² значим.

 

 

 

Задание 2

 

Стандартная ошибка коэффициента b в уравнении парной линейной регрессии y = a + b · x + ε   равна , т. е. .

Определим  значимость коэффициента b с помощью t-критерия Стьюдента с вероятностью 97%. Тогда уровень значимости α=0,03. Поскольку для экономических исследований проверку гипотез проводят для α=0,05 или α=0,1 и , если нулевая гипотеза отклоняется при 1%-ном уровне значимости, то она автоматически отклоняется и при 5%-ном уровне значимости, а если принимается при 5%-ом уровне, то принимается и при 1%-ном уровне. Если же при 5%-ном уровне нулевая гипотеза отклоняется, а при 1%-ном принимается, то результат проверки гипотезы приводятся при двух уровнях значимости.

Тогда имеем:

Поскольку объем выборки не задан, будем считать его большим (n>30). Тогда число степеней свободы ʋ>30. Для таких ʋ   критическое значение t_кр практически больше t = 2 < t_кр. Тогда  нулевая гипотеза Н₀ принимается для уровня значимости 2 = 0,02, следовательно, она принимается и для α = 0,03.

Таким образом, с вероятностью 97% можно утверждать, что коэффициент  регрессии b не значим, следовательно результирующий фактор y  не зависит от х.

 

 

Задание 3

 

В результате регрессионного анализа получено уравнение регрессии:

y = 7,1 + 0,6х + 0,4х₂ + 0,1х₃

t – статистики коэффициентов регрессии равны соответственно 24,5;   9,7;  0,7;   1,3. Коэффициент детерминации R²=0,9.

 

Оценим надежность уравнения  регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия найдем по формуле: