ЭММ конфликтных управленческих ситуаций и их анализ с использованием аппарата теории игр

Таким образом, можно  сделать вывод, что полученная модель адекватна и применима к прогнозированию и оптимизации товарных групп предприятия, что позволит увеличить его прибыльность, сократить издержки на хранение и сбыт лишних товаров.

 

 

2.2 Задача 17.

В данной задаче приведены  показатели спроса и предложения  в зависимости от цены продукции:

Таблица 1. Показатели спроса и предложения.

ЦЕНА	1	2	3	4	5	6	7	8	9
СПРОС	75	68	60	57	54,5	52	50	49,7	45
ПРЕДЛОЖЕНИЕ	24	25,8	26,1	27,3	28	28,9	29,2	29,8	30,1

Для построения наиболее оптимальных моделей спроса и  предложения воспользуемся методом тренда. Для расчета применяем MS Excell, рисунки 6-7.

Рисунок 6. Модель спроса.

Рисунок 7. Модель предложения.

Таким образом, наиболее оптимальными функциями явились: для  модели спроса – логарифмическая:

y=-13,2ln(x)+75,58, с квадратом коэффициента корреляции R² = 0,987

для модели предложения - полиноминальная 3-го порядка:

y=0,002x³-0,092x²+1,462x+22,78, с квадратом коэффициента корреляции  R² = 0,989. Обе модели достаточно близко описывают функции спроса и предложения.

  Эффективность полученной модели оценим согласно критерию Стьюдента. Для этого используем формулу:

tст= = 4, где

r= = 0,988

Критическое значение критерия при 1% допустимых отклонений составляет 2,92. Поскольку 4 > 2,92, то принимает гипотезу Н1, модель является адекватной.

Для нахождения равновесной цены графическим  способом продлим линии тренда графиков до их пересечения, как на рисунке 8. Точка пересечения и будет являться равновесной ценой.

Рисунок 8. Нахождение равновесной цены графическим способом.

Для более точного графического определения равновесной цены воспользуемся методом модельных описаний. Для этого произведем расчет показателей спроса и предложения на основе полученных моделей в интервале цены 24-25, как в таблице 2.

Цена	Модель спроса	модель предложения
24	33,62969	32,524
24,08	33,58576	32,56449
24,16	33,54198	32,60566
24,24	33,49835	32,6475
24,32	33,45485	32,69003
24,4	33,4115	32,73325
24,48	33,36829	32,77716
24,56	33,32523	32,82178
24,64	33,2823	32,8671
24,72	33,23951	32,91314
24,8	33,19686	32,9599
24,88	33,15435	33,00739
24,96	33,11198	33,05561
25,04	33,06974	33,10457
25,12	33,02763	33,15428
25,2	32,98566	33,20474
25,28	32,94382	33,25595

Таблица 3. Расчет модулируемых показателей.

Далее графически отображаем полученные результаты и находим равновесную цену, как на рисунке 9. Получаем значение в пределе 24,96-25,04.

Рисунок 9. Равновесная  цена.

Для более точного  определения равновесной цены воспользуемся  инструментом ПОДБОР ПАРАМЕТРА. Для этого создаем таблицу, куда вносим значения цены, а также полученные функции спроса и предложения. Далее вызываем инструмент ПОДБОР ПАРАМЕТРОВ, и заносим туда соответствующие значения, как показано в таблице 3:

цена	предложение модель	предложение	спрос модель	спрос	поиск равновесной цены	подбор параметров
1	24,152	24	75,58	75	1	-51,4280
2	25,352	25,8	66,43046	68
3	26,392	26,1	61,07832	60
4	27,284	27,3	57,28091	57
5	28,04	28	54,33542	54,5
6	28,672	28,9	51,92878	52
7	29,192	29,2	49,89399	50
8	29,612	29,8	48,13137	49,7
9	29,944	30,1	46,57664	45

Таблица 3. Нахождение равновесной цены подбором параметров.

В ячейку “подбор параметров” заносим формулу, в виде разницы между спросом и предложении. Ячейку “поиск равновесной цены” делаем равной значению цены в ячейке “цена”. Далее заполняем форму как на рисунке 10.

Рисунок 10. Расчет равновесной цены подбором параметров.

 В результате получаем  значение равновесной цены 25,0095 р. Далее подставляем полученное значение равновесной цены в модель предложения, и получаем значение равновесного предложения = 33,08582.

 

2.3 Задача 27

А) Для определения  наилучшей стратегии фирмы для  определенного периода, применим теорию игр. Если фирма работала придерживаясь исключительно определенной тактики, использованной в предыдущие месяцы и рассчитывая на логичное поведение клиентов, решение задачи находится в чистых стратегиях.

В данном случае для цены игры и седловой точки применим минимаксную и максимильную стратегии.

Для фирмы нижняя цена игры составит:

= max(28;-35;-20;59;67)=67

Для покупателей находим  верхнюю цену игры:

= min(67;124;119;102;145)=67

Таким образом, цена игры υ = 67 в данном случае является седловой точкой, поскольку α=β. Следовательно, поскольку найдена седловая точка, то любое отклонение фирмы или покупателей от 5-ой стратегии будет им в убыток.

Таким образом, в случае решения игры в чистых стратегиях, фирме необходимо придерживаться стратегии А5.

 

Б) Во втором случае фирма  сочетает различные стратегии предыдущих месяцев, при этом опять же рассчитывая на логичное поведение потребителей. В связи с этим решение в данном случае будет находиться в смешанных стратегиях.

Однако, сперва, необходимо исключить заведомо невыгодные стратегии и отрицательные значения (путем прибавления ко всем числам одинакового слагаемого).

Поскольку в первоначальной матрице стратегия А2 во всех случаях  меньше стратегии А5, то мы исключаем  стратегию А2. Затем прибавляем ко всем числам 20. В итоге получаем матрицу:

           Далее, путем последующих шагов, преобразуем игру в смешанных стратегиях в ЗЛП. Для этого вводим дополнительные величины:

υ- выигрыш, который будет  максимизироваться, = 1/Z

p- частота применения конкретной стратегии,

ξ – отношение частоты к выигрышу = υ/p

           Таким образом, ЗЛП будет иметь вид:

Z= ξ1 + ξ2 + ξ3 + ξ4 + ξ5 min

            Получаем следующую систему ограничений:

        76*ξ1 + 48*ξ2 + 139*ξ3 + 122*ξ4 + 165*ξ5 >= 1

     0*ξ1 + 144*ξ2 + 128*ξ3 + 111*ξ4 + 125*ξ5 >= 1

     79*ξ1 + 113*ξ2 + 109*ξ3 + 121*ξ4 + 101*ξ5 >= 1

     87*ξ1 + 107*ξ2 + 135*ξ3 + 102*ξ4 + 116*ξ5 >= 1

Ұ ξ >= 0

          Далее заполняем соответствующие  ячейки в MS Excell, вводим вышеприведенные формулы в строки ограничений. Затем вызываем П ОИСК РЕШЕНИЯ и вводим в графы соответствующие ограничения, как показано на рисунке 11.

Рисунок 11.  Решение задачи оптимизации ЗЛП.

           В результате получаем  значения, приведенные на рисунке 12.

Рисунок 12. Расчет частоты применения стратегий.

Таким образом, т.к. υ = 1/Z, находим υ:

υ = 1/0,008626 = 115,92

ξ3= 0,03642

ξ4= 0,004984, следовательно

p3= ξ3* υ = 0,422

p4= ξ4* υ = 0,578

Таким образом, оптимальным  для фирмы в данных условиях будет  чередование стратегии А4 с частотой 0,422 (42%) и стратегии А5 с частотой 0,578 (58%).

 

В) В случае если клиенты в будущем поведут себя непредсказуемо, для принятия решения о поведении фирмы воспользуемся таким разделом теории игр, как игры с природой.

В случае игры с природой необходимо произвести расчеты по нескольким различным критериям, и затем выбрать наиболее оптимальный среди них.

Рассмотрим критерии ЛаПласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Критерий  Лапласа

В данном случае это ситуация, при который потребители действуют  исключительно в интересах фирмы.

Л= = 145, что соответствует стратегии А1

Однако полагаться на данный критерий при выборе стратегии крайне рискованно.

Критерий  Вальда

Это наиболее осторожная стратегия игрока, предполагающая, что обстоятельства могут сложиться не в его пользу в любой момент.

W= = 67, соответствует стратегии А5.

Критерий  Сэвиджа

Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить  чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Используется матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

S = = (121; 65; 29; 39; 27) = 27, стратегия А4

Критерий  Гурвица

Данный критерий основан на использовании  так называемого коэффициента доверия. Обозначим его и предположим, что природа окажется в самом выгодном состоянии с вероятностью и в самом невыгодном состоянии с вероятностью 1- .

Критерий Гурвица ориентирован на установление баланса между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих исходов. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле

где - степень оптимизма и изменяется в диапазоне [0, 1].

Н = max (0,5*(-35) + 0,5*(145))= 55 , стратегия А1.

 Однако при выборе  оптимальной стратегии для фирмы  данный критерий тоже не стоит применять, поскольку он предполагает большую степень риска.

Таким образом, предпочтительным для фирмы будет чередование стратегий А4 и А5. В случае следования данным стратегиям, фирма получит гарантированную прибыль, равную цене игры (в данном случае 67 млн. руб.), или возможно даже большую прибыль, если будет следовать стратегии А4.